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21.2.4 一元二次方程根的判别式
1. 理解一元二次方程根的判别式.
2. 会应用根的判别式判断一元二次方程根的情况.
3. 能应用根的判别式解决一元二次方程根的相关问题.
我们在用配方法推导一元二次方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)的求根公式的过程中，得到
①
观察上面的式子，你能分别讨论b2 - 4ac > 0，= 0，< 0时会怎样影响方程的根吗？
(1) b2－4ac ＞0，
这时 ＞0，由①得
则方程有两个不相等的实数根
(2) b2 - 4ac = 0，
这时 = 0，由①可知，方程有两个相等的实数根
(3) b2 - 4ac ＜0，
这时 ＜0，由①可知 ＜0，
x1 = x2 = - .
而 x 取任何实数都不能使 ＜0，因此方程无实数根.
两个相等的实数根
我们把 b2－4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号 Δ 表示，
即 Δ＝b2－4ac. 并且有：
ax2 + bx + c = 0(a≠0)
Δ ＞ 0
Δ= 0
Δ＜ 0
两个不相等的实数根
无实数根
根据Δ的取值，可以判断方程根的情况.
例1 不解方程，判断下列方程的根的情况　
（1）3x 2 =5x - 2; （2） ;
解：(1)原方程可变形为 3x2-5x+2=0
因为 =(-5)2-4×3×2=1>0,
所以方程有两个不相等的实数根
(2)因为 =
所以方程有两个相等的实数根
（3）4(y2+1)-y=0
（3）4(y2+1)-y=0
(3)原方程可变形为4y2-y+4=0
因为 =(-1)2-4×4=-15<0
所以方程没有实数根.
判断一元二次方程根的情况的一般步骤
1.变形:化已知方程为一般形式;
2.定系:用a,b,c写出各项系数;
3.计算: 确定b2-4ac的符号;
4.判断：b2-4ac >0 两个不相等的实数根;
b2-4ac =0 两个相等的实数根;
b2-4ac<0 没有实数根.
1.不解方程，判断下列方程的根的情况：
（1）3x2 + 4x 3 = 0；（2）4x2 = 12x 9；（3）7y = 5( y2 + 1 ).
解：（1）∵a = 3，b = 4，c = 3，
∴ Δ = b2 4ac = 42 4×3×( 3) = 52＞0.
∴ 方程有两个不相等的实数根．
（2）方程化为 4x2 12x + 9 = 0，a = 4，b = 12，c = 9，
∴ Δ = b2 4ac = ( 12)2 4×4×9 = 0.
∴ 方程有两个相等的实数根．
（3）7y = 5( y2 + 1 ).
（3）方程化为 5y2 7y + 5 = 0，a = 5，b = 7，c = 5，
∴ Δ = b2－4ac = ( 7)2－4×5×5 = 51＜0.
∴ 方程没有实数根．
例2 已知关于x的方程2x2-(3+4k)x+2k2+k=0.
(1)当k取何值时，方程有两个不相等的实数根；
(2)当k取何值时，方程有两个相等的实数根；
(3)当k取何值时，方程没有实数根；
解：因为a=2，b=-(3+4k)，c=2k2+k,
所以 =[-(3+4k)]2-4×2×(2k2+k)=16k+9
此时的a,b,c
是什么 你能表示出Δ吗？
（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴16k+9>0，解得k>
（2）∵方程有两个相等的实数根，
∴16k+9=0，解得k=
（3）∵方程没有实数根，
∴16k+9<0，解得k<
=[-(3+4k)]2-4×2×(2k2+k)=16k+9
在数形结合的学习过程中，缩小是最具挑战性的环节之一。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。棱柱表面积与棱柱表面积之间存在密切联系，都需要标准化的技能。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。在加权平均数的学习过程中，运用是最具挑战性的环节之一。等差数列的通项公式a =a +(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。在几何概型的学习过程中，系统化是最具挑战性的环节之一。
2. 若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 （ ）
A. k＜5 B. k＜5且k≠1 C. k≤5且k≠1 D. k＞5
【解析】由题意知方程(k-1)x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，
∴ k＜5且k≠1，
故选B.
B
两个不相等的实数根
两个相等的实数根
没有实数根
两个实数根
判别式的情况
根的情况
Δ= b2 4ac > 0
Δ= b2 4ac = 0
Δ = b2 4ac< 0
Δ= b2 4ac≥0
注意：1.一元二次方程化为一般式
2. ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
针对本节课关键词“根的判别式”，谈谈你的收获.
1.连线
Δ的值
4
0
根的情况
有两个相等的实数根
有两个不相等的实数根
没有实数根
方程
3. 关于 x 的一元二次方程 x －10x＋a = 0 有两个相等的实数根，则 a = ______.
2. 若一元二次方程 kx ＋2x－1 = 0有两个实数根，则 k 的取值范围是 ( )
A. k > -1 B. k ≥ -1
C. k ≤ -1 D. k ≥ -1且 k ≠ 0
D
4.已知a、b、c是△ABC的三边长，且关于x的一元二次方程a(1＋x2)＋2bx－c(1－x2)＝0的两根相等，则△ABC的形状为____________.
直角三角形
思路点拨：将关于x的一元二次方程a(1＋x2)＋2bx－c(1－x2)＝0
化为一般形式(a+c)x2＋2bx+(a-c)=0，
∵x的两根相等，
∴Δ =0，即(2b)2-4(a+c)(a-c)=0，
化简得b2+c2=a2，满足勾股定理，
∴△ABC是直角三角形.
5.已知关于x的方程x2－2x＋k－1＝0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若x＝k＋1是方程x2－2x＋k－1＝4的一个解，求k的值．
解：(1)∵关于x的方程x2－2x＋k－1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝(－2)2－4(k－1)＞0，解得k＜2.
(2)把x＝k＋1代入方程，得(k＋1)2－2(k＋1)＋k－1＝4，
整理，得k2＋k－6＝0，解得k1＝2，k2＝－3.
∵k＜2，∴k的值为－3.

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