资源简介

(共20张PPT)
21.2.5 一元二次方程的根与系数的关系
1.理解一元二次方程根与系数的关系.
2.会应用一元二次方程根与系数的关系解决有关问题.
配方法
ax2 + bx + c = 0
(a ≠ 0)
求根
公式
注意
步骤
1. 变形
2. 定数
3. 判定
4. 计算：
a ≠ 0
Δ = b2 4ac≥0
公式法
一、一元二次方程的根与系数的关系
1. 求出一元二次方程 x2 + 3x - 4 = 0 的两根 x1 和 x2，并计算 x1 + x2 和x1·x2 的值．
做一做：
解：方程 x2 + 3x - 4 = 0 的两根为 x1 = 1，x2 = -4，
于是 x1 + x2 = -3，x1·x2 = -4.
2. 观察两根之和、两根之积与方程的系数a，b，c有什么关系？你能进行描述吗？
解：方程 x2 + 3x - 4 = 0 的两根为 x1 = 1，x2 = -4，
于是 x1 + x2 = -3，x1·x2 = -4.
想一想：对于任何一个二次项系数为1的一元二次方程，是否都有这样的结果呢
发现：这个方程的二次项系数为 1，它的两根之和 -3 等于一次项系数 3 的相反数，两根之积等于常数项 -4.
我们来考察方程 x2 + px + q = 0 ( p2 - 4q≥0 )．
由一元二次方程的求根公式，得到方程的两根分别为
所以
二次项系数为 1 的一元二次方程根与系数的关系：
设一元二次方程 x2 + px + q = 0 的两根为 x1、x2，那么 x1 + x2 = -p， x1·x2 = q.
例1 不解方程，求出方程的两根之和与两根之积：
(1) x2 + 3x - 5 = 0；
(2)2x2 - 3x - 5 = 0.
解： (1) 设两根为 x1、x2，由上述二次项系数为 1 的一元二次方程根与系数的关系，可得
x1 + x2 = -3，x1·x2 = -5.
解：(2) 方程两边同除以 2，得
设两根为 x1、x2，可得
它的根与系数之间是否也
存在相应的关系式呢？
例2 试探索一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0，b2 - 4ac≥0 ) 的根与系数的关系．
解：方程两边同除以 a，得
由二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系，可得
这就是一般情形下一元二次方程的根与系数的关系．
特例：x2 + px + q = 0 ( p2 - 4q≥0 )（二次项系数为1）
x1 + x2 = -p， x1·x2 = q.
(2)2x2 - 3x - 5 = 0
对于任意方程ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0，b2 - 4ac≥0 ) ，它的两个根 x1，x2 和系数 a，b，c 有如下关系：
注意：前提条件 b2 - 4ac ≥ 0.
文字语言：两根之和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比．
1. 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根 x1，x2 的和与积：
(1) x2 - 6x - 15 = 0； (2) 3x2 + 7x - 9 = 0；(3) 5x - 1 = 4x2.
解：(1) x1 + x2 = -( -6 ) = 6，x1x2 = -15.
(3) 方程化为 4x2 - 5x + 1 = 0，
2. 已知 x1，x2 是一元二次方程 x2 - 2x = 0 的两个实数根，则下列结论错误的是 (　　)
A. x1 ≠ x2 B. x12 - 2x1 = 0
C. x1 + x2 = 2 D. x1 x2 = 2
D
二、一元二次方程根与系数的关系的应用
例3 已知关于 x 的一元二次方程 x + ax + a - 5 = 0，若该方程的一个根为 1，求 a 的值及该方程的另一个根.
解：将 x = 1 代入方程得，1 + a + a - 5 = 0，
解得 a = 2.
∴原方程为x + 2x - 3 = 0.
由根与系数的关系可知，
该方程的另一个根为 -3.
你准备如何求解？说说你的想法.
题型1：求方程中待定字母的值
已知一根，利用根与系数的关系求方程中待定字母的值的策略：
方法1：已知方程的一根求另一根，可以直接将一根代入方程中求出待定字母的值，然后再解方程求另一根．
方法2：可以直接利用根与系数的关系求另一根及待定字母的值．
3.关于x的一元二次方程x2＋2x－2m＋1＝0的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是_________.
m＞
题型2：两根之和、两根之积的常用变形：
二、一元二次方程根与系数的关系的应用
例4 已知x1，x2 是 一元二次方程 3x ＋4x - 3 = 0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值.
(1) (2) (3)
(4) (5)
解：根据根与系数的关系得：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
4.方程已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0的两个实数根为x1，x2，若x12＋x22＝4，则m的值___________．
－1或－3
解：根据题意可得x1＋x2＝－m－3，x1x2＝m＋1，
∵x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2，
∴(－m－3)2－2(m＋1)＝4，
解得m1＝－1，m2＝－3，
并且当m＝－1或m＝－3时方程都有解，
∴m的值为－1或－3.
一元二次方程
的根与系数
的关系
内容
应用
如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么
1.求方程中待定字母的值.
2.两根之积、两根之和的变形求值.

展开更多......

收起↑