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21.3 课时2 不规则图形的边长面积问题、特殊变化率问题
1. 能利用一元二次方程解决不规则图形的边长、面积等问题.
2.能利用一元二次方程解决连续增长（或减少）的增长率（或减少率）不相同的实际问题.
3.并进一步认识方程模型的重要性，并能根据具体问题的意义，检验结果是否合理.
2.平均变化率问题数量关系：
变化前的量× (1±百分率)n=变化后的量
a× (1±x)n=b
平均变化率保持不变；解决“变化率问题”的关键步骤：找出变化前的数量、变化后的数量，找出相应的等量关系．
注意：增长率不可为负，但可以大于1，下降率不能大于1.
如果每次的变化率不相同，这个式子还适用吗？
1.“变化率问题”的基本特征：
问题1 某工厂计划在两年后实现产值翻一番，那么这两年中产值的平均年增长率应为多少？
思路点拨：翻一番，即为原产值的 2 倍．若设原产值为 1 个单位，那么两年后的产值就是 2 个单位．
若平均年增长率为 x，则第一年的产值为 1×(1+x) 元，第二年的产值为 1×(1+x)元的 (1+x) 倍.
（一）增减变化问题
解：设年平均增长率为 x，根据题意，得(1 + x)2 = 2.
解这个方程，得x1 = ≈ 0.414，x2 = ≈ -2.414 (舍去).
经检验，x ≈ 0.414 = 41.4%符合本题要求．
答：平均年增长率为41.4%.
规范解答：
试一试1：如果调整计划，两年后的产值为原产值的1.5倍、1.2倍……那么两年中的平均增长率分别应调整为多少？
.
解得.
(舍去).
.
解得.
(舍去).
该怎样列方程呢？
试一试2：如果第二年的增长率为第一年的2倍，那么第一年的增长率为多少时，可以实现两年后产值翻一番？你能列出相应的方程并求解吗？
(1+x)(1+2x)=2.
平均变化率问题数量关系：
变化前的量× (1±百分率)n=变化后的量
a× (1±x)n=b
特殊情况：对于增减变化问题，若一个量经过两个时期由a变为b，第一期的增长率为x，第二期的增长率为y，则有等式 а(1+x)(1+y)=b，当增长率为负数时，表示负增长.
注意：可根据x,y的数量关系，将它们转化为同一个未知数来表示.
适用于增长率不同的情况.
1. 某药品经两次降价，零售价降为原来的一半. 已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率，列出方程即可.（精确到 0.1%）.
解：设原价为 1 个单位，每次降价的百分率为 x.
根据题意，得
2. 某种药品原价100元/盒，经两次降价后，该药品的售价为56元/盒，其中第二次的降价率比第一次降价率多10个百分点，求该药品第一次的降价率.
解：设该药品第一次的降价率为 x ，则第二次的降价率为( x ＋10％).
依题意，得100(1－ x )[1－( x ＋10％)]＝56.
整理，得50 x2－95 x ＋17＝0.
解得 x1＝0.2＝20％， x2＝1.7(不符合题意，舍去).
答：该药品第一次的降价率为20％.
前后两次的降价率不相同，
如何设未知数列方程呢？
注意：对于增长率问题，遇到连续增长（或减少）的增长率（或减少率）不相同的问题时，分层次将其增长（或减少）情况表达清楚，使方程准确地反映数量的变化过程.
列一元二次方程解应用题的一般步骤：
审题---设未知数--- 找等量关系--- 列方程----解方程--- 检验---答
问题2 小明把一张边长为10 cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折叠成一个无盖的长方体盒子，如图.
（1）如果要求长方体的底面积为81 cm2，那么剪去的正方形边长为多少？如何列方程呢？
（二）不规则图形的边长、面积问题
规范解答：
解：(1)小正方形边长为x cm，
则底面边长为(10-2x)cm.
根据题意，得(10-2x)2 =81.
解得x1=0.5，x2=9.5(舍去).
答:小正方形边长0.5 cm.
10
10
10 - 2x
10 - 2x
x
x
方法归纳：如果图形不规则应割或补成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程.
（2）如果按下表列出的长方体底面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生怎样的变化 折叠成的长方体的侧面积又会发生怎样的变化
折叠成的长方体 底面积（cm2） 81 64 49 36 25 16 9 4
剪去的正方形 边长（cm）
折叠成的长方体 侧面积（cm2）
1
32
1.5
48
2.5
3
42
4
0.5
18
42
2
50
48
3.5
18
随着底面积的减小，小正方形的边长在变大，侧面积先增大后减小
（3）观察下表，你认为折叠成的长方体侧面积会不会有最大的情况？请以剪去的正方形边长为自变量，折叠成的长方体侧面积为它的函数，在平面直角坐标系中画出相应的点.
剪去的正方形 边长（cm）
折叠成的长方体 侧面积（cm2）
1
32
1.5
48
2.5
3
42
4
0.5
18
42
2
50
48
3.5
18
侧面积=4x(10-2x)
最大值
所作的函数图象如下：
3.如图所示，用一块长 80 cm，宽 60 cm 的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为 1500 cm2 的没有盖的长方体盒子．
求截去的小正方形的边长.
80
60
60 - 2x
80 - 2x
x
x
(80 - 2x)(60 - 2x)＝1500
得 x1＝55，x2＝15.
解：设截去的小正方形的边长 x cm，则长和宽分别为 (80 - 2x) cm、(60 - 2x) cm.
检验：当 x1＝55 时，
长为 80－2x＝－30 cm，宽为 60－2x＝－50 cm．
想想，这符合题意吗？
不符合．
舍去．
当 x2＝15时，
长为 80－2x＝50 cm，宽为 60－2x＝30 cm．
符合题意
所以只能取 x＝15．
答：截取的小正方形的边长是 15 cm.
利用一元二次方程解决实际问题
不规则几何图形
常见几何图形面积是等量关系.（割补法）
本节课我们学到了哪些知识与方法？
增长率问题
变化率相同的数量关系：
a× (1±x)n=b
变化率不同的数量关系：
а(1+x)(1+y)=b
1.如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距(纸张的边线到打印区域的距离)，上、下、左、右页边距分别为a cm，b cm，c cm，d cm.若纸张大小为16 cm×10 cm，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的70%，则需如何设置页边距？
【解】设需设置页边距为x cm.
根据题意得(16－2x)(10－2x)＝16×10×70%，
解得x＝1或x＝12(大于10，舍去)．
答：需设置页边距为1 cm.
2.杨老师某一天利用“微信运动”记录自己走了10 000步,假设平均每步长是0.5米,他第二天通过增加步数和提高平均步长的方式增加运动量,第二天走了6 600米,其中运动步数的增长率是平均步长增长率的2倍,请你帮助计算一下杨老师平均步长的增长率是多少
【解析】设杨老师平均步长的增长率是x,则运动步数的增长率是2x,
根据题意得:10 000(1+2x)×0.5(1+x)=6 600,
整理,得x2+1.5x-0.16=0,
解得:x1=0.1=10%,x2=-1.6 (不符合题意,舍去).
答:杨老师平均步长的增长率是10%.

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