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第2课时 角的平分线的判定
知识要点分类练 夯实基础
知识点 1 角的平分线的判定
1.下列作图中，点 M 到AC，BC 两边的距离相等的是 ( )
2. 如 图 14-3-13, ∠AOB =70°, QC ⊥ OA, QDOB,垂足分别为 C,D.若QC = QD, 则∠AOQ = °.
3. (教材练习 T1 变式)如图14-3-14,BF⊥AC 于点 F,CE⊥AB 于点 E,BF 和 CE 交于点D,且 BE=CF.求证:AD 平分∠BAC.
知识点 2 三角形内外角的平分线
4.如图 14-3-15，为了促进当地旅游业的发展，某地要在三条公路围成的一块三角形平地ABC 上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等，则它应该修在 ( )
A.△ABC 的三条中线的交点处
B.△ABC 的三条角平分线的交点处
C.△ABC 的三条高所在直线的交点处
D.△ABC 的三边的垂直平分线的交点处
5. 如图14-3-16,AE 与 BF 交于点O,连接CO并延长，交AB 于点G，根据尺规作图的痕迹，判断下列说法中不正确的是 ( )
A. AE,BF 是△ABC 的角平分线
B. CG 是△ABC 的角平分线
C. AO=BO=CO
D.点O到△ABC 三边的距离相等
6. 如 图 14-3-17, 点 O 在△ABC内，且它到三边的距离相等.若∠A=60°,则∠BOC= °.
7. (教材练习 T2 变式)如图14-3-18,∠ABC 的 平 分线 与△ABC 的外角∠ACP 的平分线相交于点 D,连接 AD.求证:AD 是△ABC 的外角∠CAQ 的平分线.
规律方法综合练 训练思维
8. 如图 14-3-19,在△ABC 中,AB=9,AC=3,BC = 7,点 D 在边 BC 上,点 D 到边AB,AC的距离相等,且AE=AC,则△BDE的周长等于 ( )
A.10 B.13 C.16 D.19
9. 如图14-3-20,△ABC 的三边AC,BC,AB 的长分别是 8,12,16,O 是△ABC 的三条角平分线的交点,则 S△OAB : S△OBC : S△OAC 的值为 ( )
A.4:3:2 B.5:3:2
C.2:3:4 D.3:4:5
10.如图 14-3-21 是三条两两相交的笔直公路，某物流公司现要修建一个货物中转站，使它到三条公路的距离相等，则这个货物中转站可选的位置有 ( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.1个
11. 如图14-3-22 所示,△ABC 是一个正在修建的口袋公园.要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路 AB，AC 的距离相等，且使得 则凉亭 H 的位置是 ( )
A.∠BAC 的平分线与 AC 边上的中线的交点
B.∠BAC 的平分线与AB 边上的中线的交点
C.∠ABC 的平分线与 AB 边上的中线的交点
D.∠ABC 的平分线与BC边上的中线的交点
12. 如图 14-3-23,在 Rt△ABC 中,∠ACB =90°,CD⊥AB 于点D.
(1)尺规作图：在BC 边上求作点Q，使得点Q 到边AB 的距离等于CQ 的长(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)的条件下,连接AQ交CD 于点 P.若∠ABC=56°,求∠CPQ 的度数.
13. 如图 14-3-24,在△ABC 中,点 D 在 BC 边上,∠BAD=80°,∠ABC 的平分线交AC 于点E,过点 E 作 EF⊥AB,交 BA 的延长线于点F,且∠AEF=40°,连接DE.
(1)求∠CAD 的度数;
(2)求证:DE 平分∠ADC;
(3)若AB=6,AD=3,CD=7.2,且 10.2,求△ABE 的面积.
1 C 2. 35
3. 证明:∵BF⊥AC,CE⊥AB,
∴∠BED=∠CFD=90°.
在△BDE 与△CDF 中 ∴△BDE≌△CDF(AAS).∴DE=DF.
又∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴AD 平分∠BAC.
4. B 5. C 6. 120
7. 证明:过点 D 分别作 DE⊥BQ 于点 E,DF⊥AC 于点F,DG⊥BP 于点G.
∵BD,CD 分别是∠ABC 与∠ACP 的平分线，
∴DE=DG,DF=DG.∴DE=DF.
又∵DE⊥BQ,DF⊥AC,
∴AD 是△ABC 的外角∠CAQ 的平分线.
8. B 9. A 10. B 11. A
12. (1)略 (2)∠CPQ=73°
13. 解:(1)∵EF⊥AB,∠AEF=40°,
∴∠FAE=90°-∠AEF=90°-40°=50°.
∴∠CAD = 180°-∠BAD - ∠FAE =180°-80°-50°=50°.
(2)证明:过点 E 分别作 EG⊥AD 于点G,EH⊥BC于点 H,如图.
∵∠FAE = ∠CAD = 50°, EF ⊥ BF,EG⊥AD,
∴EF=EG.
∵BE平分∠ABC,EF⊥BF,EH⊥BC,
∴EF=EH.∴EG=EH.
又∵EG⊥AD,EH⊥BC,
∴DE 平分∠ADC.
即
∴EG=2.∴EF=EG=2.
∴△ABE 的面积 2=6.

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