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同步探究学案
课题 25.2.2 公式法 单元 第二十五章 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 1．对一般形式配方，推导求根公式． 2．理解根的判别式，能根据的正负判断方程实数根的三种情况． 3．掌握公式法解方程完整步骤，能选择公式法求解任意一元二次方程．
重点 自主配方推导求根公式，理解根的判别式意义，熟练运用公式法解任意一元二次方程，根据Δ判断方程实数根的三种情况．
难点 含字母参数的一元二次方程一般形式的完整配方推导，理解判别式取值与方程实数根数量之间的内在逻辑．
探究过程
导入新课 【引入思考】 1．什么是配方法？ 答案：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法. 2．说一说用配方法解一元二次方程的步骤？ 答案：一移：将常数项移到方程的右边． 二化：二次项系数不是1时要化为1； 三配：两边都加上一次项系数一半的平方． 四解：利用直接用开平方法求出方程的解．
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助配方法，研究用公式法解一元二次方程。 探究：任何一个一元二次方程都可以化成一般形式 能否用配方法得出它的解呢 想一想：我们能不能根据用配方法解一元二次方程的经验解决这个问题呢？ 解：移项，得 二次项系数化为1，得 配方，得 即 ① 说一说：可以直接开平方吗？ 只有当≥0的时候，可以直接开平方． 因为a≠0，所以4a2＞0，所以的符号由b2－4ac决定． 式子的值有以下三种情况: (1)当时，，由①得 方程有两个不相等的实数根 (2)当时，，由①可知，方程有两个相等的实数根 (3)当时，，由①可知，而取任何实数都不能使成立，因此方程无实数根. 可以发现，式子可以判别一元二次方程的根的情况，因此把它叫作一元二次方程的根的判别式，通常用希腊字母“”表示，即. 对于方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根. 归纳：当时，方程的实数根可写为 的形式，这个式子叫作一元二次方程的求根公式. 求根公式表达了用配方法解一般形式的一元二次方程的结果. 解一个具体的一元二次方程时，把各系数代入求根公式，可以直接得出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法. 例：用公式法解下列方程: (1)； (2)； (3)； (4). 注意：确定的值时，要注意它们的符号. 解:(1)因为，所以 方程有两个不相等的实数根 即 (2)因为，所以 方程有两个相等的实数根 (3)方程化为，此时，所以 方程有两个不相等的实数根 即 (4)方程化为，此时，所以 方程无实数根. 归纳：公式法解一元二次方程的一般步骤 第1步：先把方程化为一般形式； 第2步：确定a，b，c的值； 第3步：计算b2－4ac的值； 第4步：当b2－4ac≥0时，把a，b，c的值代入一元二次方程的求根公式，求得方程的根；当b2－4ac＜0时，方程没有实数根． 简记为：一化二定三算四求． 回到本章引言中列出的一元二次方程 用公式法解这个方程，得 即 如果结果保留小数点后两位， 那么. 关于这两个根，只有符合问题的实际意义，因此雕像腰部以下身长约为.
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ） A． B． C． D． 答案：D 2．若关于的方程有实数根，则的取值范围是______． 答案： 3．用公式法解下列方程． (1)； (2)； (3)． 解：（1）， ， ， ， ； （2）方程整理得：， ， ， ， ； （3）， ， ， ． 选做题： 4．定义新运算：☆，例如：☆，则关于的方程☆（k是任意实数）的根的情况是（ ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．只有一个实数根 D．有两个不相等的实数根 答案：D 【综合拓展类练习】 5．已知关于 的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个根均为整数，求整数 的值． 证明：（1）方程为一元二次方程，故即， 判别式， 方程总有两个实数根． （2）由求根公式得 计算得，， 两根均为整数，为整数， ， 解得或 ．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ） A． B． C． D． 答案：D 2．若方程无实数根，则m应满足的条件是______． 答案： 3．用公式法解方程： (1) (2) (3) (4)． 解：（1）， ， ， 故该方程有两个不相等的实数根， ， ． （2）， 化简得， ， ， 故该方程在实数范围内无解． （3）， ， ， 故该方程有两个不相等的实数根， ， ． （4）， 化简得， ， ， 故该方程有两个不相等的实数根， ， ． 选做题： 4．对于实数，定义运算“”为，例如：，则关于的方程的根的情况是______． 答案：有两个不相等的实数根 【综合拓展类作业】 5．已知关于的方程． (1)求证：无论取何值时，方程总有实数根； (2)若该方程两个根的平方和为25，求的值． 证明：（1）对于方程， 其中， ， ， 恒成立， 无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根 （2）由（1）知，利用求根公式： 解得：
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课题 25.2.2 公式法 单元 第二十五章 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 1．对一般形式配方，推导求根公式． 2．理解根的判别式，能根据的正负判断方程实数根的三种情况． 3．掌握公式法解方程完整步骤，能选择公式法求解任意一元二次方程．
重点 自主配方推导求根公式，理解根的判别式意义，熟练运用公式法解任意一元二次方程，根据Δ判断方程实数根的三种情况．
难点 含字母参数的一元二次方程一般形式的完整配方推导，理解判别式取值与方程实数根数量之间的内在逻辑．
探究过程
导入新课 【引入思考】 1．什么是配方法？ 2．说一说用配方法解一元二次方程的步骤？
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助配方法，研究用公式法解一元二次方程。 探究：任何一个一元二次方程都可以化成一般形式 能否用配方法得出它的解呢 想一想：我们能不能根据用配方法解一元二次方程的经验解决这个问题呢？ 解：移项，得 二次项系数化为1，得 配方，得 即 ① 说一说：可以直接开平方吗？ 只有当0的时候，可以直接开平方． 因为a≠0，所以4a2＞0，所以的符号由__________决定． 式子的值有以下三种情况: (1)当时，，由①得 方程有__________的实数根 (2)当时，，由①可知，方程有__________的实数根 (3)当时，，由①可知，而取任何实数都不能使成立，因此方程__________实数根. 可以发现，式子可以判别一元二次方程的根的情况，因此把它叫作一元二次方程的__________，通常用希腊字母“”表示，即. 对于方程，当时，方程有__________的实数根；当时，方程有__________的实数根；当时，方程__________实数根. 归纳：当时，方程的实数根可写为 的形式，这个式子叫作一元二次方程的__________. 求根公式表达了用配方法解一般形式的一元二次方程的结果. 解一个具体的一元二次方程时，把各系数代入求根公式，可以直接得出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作__________. 例：用公式法解下列方程: (1)； (2)； (3)； (4). 注意：确定的值时，要注意它们的符号. 归纳：公式法解一元二次方程的一般步骤 第1步：先把方程化为一般形式； 第2步：确定a，b，c的值； 第3步：计算b2－4ac的值； 第4步：当b2－4ac≥0时，把a，b，c的值代入一元二次方程的求根公式，求得方程的根；当b2－4ac＜0时，方程没有实数根． 简记为：一化二定三算四求． 回到本章引言中列出的一元二次方程 用公式法解这个方程，得 即 如果结果保留小数点后两位， 那么. 关于这两个根，只有符合问题的实际意义，因此雕像腰部以下身长约为.
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ） A． B． C． D． 2．若关于的方程有实数根，则的取值范围是______． 3．用公式法解下列方程． (1)；(2)；(3)． 选做题： 4．定义新运算：☆，例如：☆，则关于的方程☆（k是任意实数）的根的情况是（ ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．只有一个实数根 D．有两个不相等的实数根 【综合拓展类练习】 5．已知关于 的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个根均为整数，求整数 的值．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ） A． B． C． D． 2．若方程无实数根，则m应满足的条件是______． 3．用公式法解方程： (1) (2)(3)(4)． 选做题： 4．对于实数，定义运算“”为，例如：，则关于的方程的根的情况是______． 【综合拓展类作业】 5．已知关于的方程． (1)求证：无论取何值时，方程总有实数根； (2)若该方程两个根的平方和为25，求的值．
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