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北京市门头沟区2025—2026学年度第二学期期末综合练习八年级数学
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）
A. B. C. D.
2.下列问题中的两个变量不是函数关系的是（ ）
A. 正方形面积随边长的变化而变化 B. 一天内的时间随气温的变化而变化
C. 某人的身高随年龄的变化而变化 D. 时间不变，路程随速度的变化而变化
3.下列计算正确的是（）
A. B. C. D.
4.如果函数是关于的一次函数，那么的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5.若一个多边形的内角和与外角和相等，则此多边形是（）
A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形
6.以下列各组数为边长，可以组成直角三角形的是（）
A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 4，5，6 D. 6，6，6
7.如果、、的平均数是8、方差是3，那么、、的平均数和方差分别是（ ）
A. 18、13 B. 8、3 C. 18、3 D. 8、13
8.顺次连接四边形各边中点形成的四边形叫做中点四边形，有关中点四边形的描述如下：
①任意四边形的中点四边形一定是平行四边形；
②矩形的中点四边形一定是矩形；
③正方形的中点四边形一定是正方形；
④非正方形的中点四边形一定不是正方形．
其中所有正确推断的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ①②③④
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
10.如果，那么满足的条件是 ．
11.写出一个图象不经过第四象限的函数的表达式 ．
12.如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，若BC=6，则DE= ．
13.如图，在矩形中，对角线与交于点，如果，，那么这个矩形的面积是 ．
14.我区5月份每天的最高温度整理后绘制了箱线图，如下，则第三四分位数是 ．
15.如图，在菱形中，，点到点的距离是2，连接，取的中点，连接，点在运动的过程中，的最小值为 ．
16.小红和小丽约好一起去公园集合赏花，小红家距离公园较远，决定骑共享单车去，小丽步行前往，已知小红家、小丽家、公园在同一条公路上，如图是两人距离小丽家的路程（单位：米）与时间（单位：分钟）的函数图象，则小红距离小丽100米时， 分钟．
三、解答题：本题共10小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题4分)
已知x=-1，y=+1，求代数式x2-y2的值.
18.(本小题6分)
在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．
(1) 求，两点的坐标，并画出它的图象；
(2) 当时，直接写出的取值范围；
(3) 的面积为 ．
19.(本小题5分)
下面是小明设计的尺规作图过程：
已知：，．
求作：矩形．
作法：①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；
②作直线，交于点；
③以点为圆心长为半径画弧，交的延长线于点；
④连接、；
即四边形为所求作的矩形．
根据小明设计的尺规作图过程，回答以下问题：
(1) 使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2) 完成下面的证明：
证明：连接，，，．
，，
点，均在线段的垂直平分线上．
直线是线段的垂直平分线．
．
，
四边形是平行四边形（ ）；
，，
（ ）；
，
四边形是矩形（ ）．
20.(本小题5分)
如图，在中，，分别是的中点，过点A作交的延长线于点F．
(1) 求证：四边形是菱形；
(2) 若，，求的长．
21.(本小题6分)
【问题情境】随着新能源车普及，消费者常关注“用车经济性”．某课外小组开展了“利用能耗数据对新能源车进行经济性评估”的项目化学习活动．该小组从两款不同品牌的新能源车（车A：插混轿车；车B：增程）中各随机选取了10次实测数据，分别记录了每次的百公里油耗（L）和百公里电耗（度），再根据92号汽油7.5元/L、居民充电0.5元/度，计算了“百公里综合费用（元）”（油耗+电耗），整理数据如下：（保留一位小数）
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
车A：油耗/电耗 3/14 4/13 3/15 4/13 4/12 3/15 3/16 4/14 3/15 3/16
车A：综合费用 29.5 36.5 30.0 36.5 36.0 30.0 30.5 37.0 30.0 30.5
车B：油耗/电耗 7/18 7/17 7/18 6/19 8/16 6/19 7/18 7/17 8/16 6/19
车B：综合费用 61.5 61.0 61.5 54.5 68.0 54.5 61.5 61.0 68.0 54.5
【实践探究】分析数据如下：
平均数 中位数 众数 方差
车A：综合费用 10.0
车B：综合费用 60.6 61.3 54.5和61.5 22.4
【问题解决】填空：
(1) 上述表格中： ， ， ；
(2) 这两种车从经济性稳定性角度看，车 的百公里综合费用波动比较小；
(3) 若某次实测数据为：百公里油耗，百公里电耗16.0度，请计算其百公里综合费用，并判断它来自于车__________的可能性比较大．
22.(本小题6分)
在平面直角坐标系中，一次函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点．
(1) 求这个一次函数的表达式；
(2) 当时，对于的每一个值，函数的值小于的值，直接写出的取值范围．
23.(本小题7分)
活动课上，老师给同学们发放了一些函数的相关数据，让大家根据这些数据完成函数的图象和性质的探究，以下是小杰拿到的数据和探究过程，请补充完整：
(1) 下表是两个函数的几组对应值：
… …
… …
… …
上述表格中： ；
(2) 通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在同一平面直角坐标系中，已经画出与的函数图象，请画出与的函数图象；
(3) 通过观察图象可知，当时，的取值范围 ．
24.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，一次函数与的图象交于点．
(1) 求、的值；
(2) 过点作轴的平行线交的图象于点，过点作轴的平行线交的图象于点；
①当时，直接写出与的数量关系；
②当，求的取值范围．
25.(本小题9分)
如图，在正方形中，点是边上一点（点不与点，重合，且），线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、．
(1) 依题意补全图形；
(2) 猜想与的数量关系并证明；
(3) 连接，取的中点，连接，过点作的垂线交于点，连接交于点．用等式表示线段与的数量关系，并证明．
26.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，对于线段和点，我们规定：如果，且，则称点为线段的“正等距点”．
(1) 如图1已知，．在、、中，为线段的“正等距点”的是 ；
(2) 如图2，点，点，点，点在线段上，点为线段的“正等距点”，求的取值范围；
(3) 如图3点，点，过点，作轴的平行线，如果该平行线上存在线段的“正等距点”，求的取值范围．
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】 /答案不唯一
12.【答案】3
13.【答案】
14.【答案】33
15.【答案】2
16.【答案】5或7
17.【答案】解：∵x=-1，y=+1，
∴x2-y2
=（x+y）（x-y）
=（-1++1）（-1--1）
=2×（-2）
=-4．
18.【答案】【小题1】
解：，
当为0时，，当为0时，，
，．
的图象如图所示：
【小题2】
解：由图象可知，随的增大而减小，
当时，，当时，，
当时，的取值范围为．
【小题3】
2

19.【答案】【小题1】

【小题2】
对角线互相平分的四边形是平行四边形
直角三角形斜边上中线等于斜边的一半
对角线相等的平行四边形是矩形

20.【答案】【小题1】
证明：∵点、分别是边的中点，
∴是的中位线，，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
，
，
∴平行四边形是菱形．
【小题2】
解：如图，连接，
∵，四边形是菱形，
，
∴是等边三角形，
，
，
∴是等边三角形，
，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
，
．

21.【答案】【小题1】

【小题2】
A
【小题3】
解：百公里综合费用：（元），
车A的油耗在之间，且综合费用最高约37元，该次油耗为6.0 L，不符合车A；
车B油耗在，综合费用接近54.5元，因此来自车B的可能性更大．

22.【答案】【小题1】
解：∵一次函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点，
∴平移后的直线解析式为，
代入，得，
∴解析式为；
【小题2】
解：当 时，对于每一个，都有
移项得
分三种情况讨论：
当，不等式变为，恒成立，
∴ 可以；
当，两边同除以正数，不等号方向不变：
，
要使此式对所有 都成立，必须满足：
解得：
结合，得，
即：
当，两边同除以负数，不等号方向改变：
由于 是负数，而 可以取比它更小的数（例如），故不能对所有 成立，舍去．
综上所述．

23.【答案】【小题1】

【小题2】

【小题3】


24.【答案】【小题1】
解：将代入一次函数得，
，
∴
将代入得，
；
【小题2】
解：①，
当时，
把代入得，∴
当时，代入得，∴，
∴，
故；
②，
，；
当时，
，；
，
解得；
当时，
，；
，
解得；
当时，
，，
，
，
解得，
，
综上或．

25.【答案】【小题1】

【小题2】
；
证明：过点作垂直的延长线于点，
线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
四边形是正方形，
，，
，
．
，
，，
，
，
，
，
，，
；
【小题3】
数量关系：．
证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
正方形中，为中点，
，
，
是中点，
，
，
，
，
，
．

26.【答案】【小题1】
，
【小题2】
解：由（1）得：是等边三角形，
∴将点绕着点逆时针或顺时针旋转即可得到满足条件的点，
设点绕着点顺时针旋转，得到点，点绕着点逆时针旋转得到点，
如图所示，连接，
∵，，，
∴，，
∴，
∴在中，，
∴，，
将绕着点顺时针旋转，得到，
∵，
∴由旋转的性质可得：点在线段上，，，，
∴点为中点，
∴的坐标为，
过点作轴，垂足为，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点在第四象限，
∴的坐标为，
∵点绕着点顺时针旋转，得到点，
又∵点在线段上，
∴点在线段上，
∴此时点的纵坐标介于和的纵坐标之间，
∴；
同理：将绕着点逆时针旋转，得到，
∵，
∴由旋转的性质可得：点在线段轴上，，，，
∴的坐标为，
过点作轴，垂足为，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点在第二象限，
∴的坐标为，
∵点绕着点逆时针旋转，得到点，
又∵点在线段上，
∴点在线段上，
∴此时点的纵坐标介于和的纵坐标之间，
∴；
综上：．
【小题3】
解：设点为线段的“正等距点”，，，，，
∴点在线段上，点在线段上，
当点与点重合，即时，连接，，将绕着点顺时针旋转得到，连接，如图所示：
∵，，，，
∴，，，，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，
由旋转的性质可得：点在轴上，，，，
∴点的坐标为，是等边三角形，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
过点作轴，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
∵点绕着点顺时针旋转，得到点，
又∵点在线段上，
∴点在线段上，
∴此时点的纵坐标介于和的纵坐标之间，
∴①；
当点与点重合，即时，连接，，将绕着点逆时针旋转得到，如图所示：

∵，，，
∴，，，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，
由旋转的性质可得：，，，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴三点共线，
∴点的坐标为，，
过点作轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
∵点绕着点逆时针旋转，得到点，
又∵点在线段上，
∴点在线段上，
∴此时点的纵坐标介于和的纵坐标之间，
∴②；
当点与点重合，即时，连接，，将绕着点逆时针转得到，连接，如图所示：

同理可得：，，，，是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，，
∴三点共线，
∴点的坐标为，
∴，
过点作，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
∵点绕着点逆时针旋转，得到点，
又∵点在线段上，
∴点在线段上，
∴此时点的纵坐标介于和的纵坐标之间，
∴③；
当点与点重合，即时，连接，，将绕着点顺时针旋转得到，如图所示：
同理可得：，，，，
∵轴，
∴，
∴，
∴三点共线，
∴点的坐标为，
过点作，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
∵点绕着点顺时针旋转，得到点，
又∵点在线段上，
∴点在线段上，
∴此时点的纵坐标介于和的纵坐标之间，
∴④；
综合①②③④的范围可得：，
∴要使过点作的轴平行线上存在线段的“正等距点”，则．

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