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河南三门峡市2025-2026学年高二下学期7月期末质量检测数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知随机变量X服从正态分布，则（ ）
A. B. C. D.
2.某物体沿直线运动，位移y（单位：m）与时间t（单位：s）的关系为y(t)＝t2-t+1，则该物体在t＝5时的瞬时速度是（ ）
A. 8 m/s B. 9 m/s C. 10 m/s D. 11 m/s
3.市图书馆古籍修复志愿队有15名男志愿者和12名女志愿者（均已完成基础培训），现要从男、女志愿者中各选1人，组成见习搭档协助修复师完成线装古籍的辅助工作，则不同的搭档组合种数为（　　）
A. 27 B. 66 C. 105 D. 180
4.随机变量，则等于（ ）
A. 3 B. 5
C. 12 D. 15
5.已知变量，具有线性相关关系，由样本数据（，2，3，4，5）得到关于的经验回归方程为，若，，则当时，的预测值为（ ）
A. B. C. D.
6.已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.3%患有色盲症，随机抽一人发现患色盲症，其为男子的概率为（设男子和女子的人数相等）（　　）
A. B. C. D.
7.已知是定义域为的函数的导函数，的图象如图所示，且有3个零点，则下列结论正确的是（ ）
A. 在单调递增 B. 有3个极大值点
C. 不可能小于0 D. ，可以同时小于0
8.中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字．如图，在中国的半个象棋棋盘（4×8的矩形中每个小方格都是单位正方形）中，若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量，表示马走了“一步”．若马从图中的 B处跳到C处，且要求走的步数最少，则马不同的行走路径有（ ）
A. 7种 B. 6种 C. 5种 D. 4种
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.某学校为了了解该校学生对于某项运动的爱好是否与性别有关，通过随机抽查110名学生，得到如下2×2的列联表：
喜欢该项运动 不喜欢该项运动 总计
男 40 20 60
女 20 30 50
总计 60 50 110
由公式，算得χ2≈7.82
附表
α 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 3.841 6.635 7.879 10.828
参照附表，以下结论正确的是（　　）
A. 依据小概率值α=0.001的独立性检验，认为“爱好该项运动与性别有关”
B. 依据小概率值α=0.001的独立性检验，认为“爱好该项运动与性别无关”
C. 认为“爱好该项运动与性别无关”，此推断犯错的概率不超过1%
D. 认为“爱好该项运动与性别有关”，此推断犯错的概率不超过1%
10.若(4x-3)n展开式中所有二项式系数之和为1024，且(4x-3)n＝a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+an(x-1)n，则
A. a1＝40
B. a1+a2+…+an＝510
C. a1+2a2+…+nan能被200整除
D. a0+2a1+4a2+…+2nan除以7所得的余数为2
11.已知函数，则下列结论正确的是（）
A. 函数有两个极值点
B. 直线与的图象有且仅有两个公共点
C. 若有三个零点，则
D. 若，对，都有
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，其中，则的单调增区间为 ．
13.无人机送货成为一种新的物流配送方式．现在有3部不同无人机可供调用给4个街区送货（如图），若每部无人机只能给1个街区或者两个相邻街区进行送货，所有街区均需配送，则不同分配方案的种数为 ．
14.AI对芯片的性能要求很高，传统的硅基芯片在逐渐接近1 nm 工艺之后面临的技术限制很多，某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进，试产期每天都需要同步进行产品检测，检测方式包括智能检测和人工检测，选择检测方式的规则如下：第一天选择智能检测，随后每天由计算机随机等可能生成数字“0”或“1”，连续生成4 次，把4 次的数字相加，若和小于3，则该天检测方式和前一天相同，否则选择另一种检测方式.设表示事件第天该企业产品检测选择的是智能检测，则
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知的展开式中，第3项与第5项的二项式系数相等．
(1)求；
(2)求含的项．
16.(本小题15分)
已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3)求的最小值．
17.(本小题15分)
随着科技的进步，近年来，我国新能源汽车产业迅速发展，2006年，在国家节能减排的宏观政策指导下，科技部在“十一五”启动了“863”计划新能源汽车重大项目.自2011年起，国家相关部门重点扶持新能源汽车的发展，也逐步得到消费者的认可.各大品牌新能源汽车除了靠不断提高汽车的性能和质量来提升品牌竞争力，在广告投放方面的花费也是逐年攀升，小张同学对某品牌新能源汽车近8年出售的数量及广告费投入情况进行了统计，具体数据见下表：
年份代码 1 2 3 4 5 6 7 8
年销售量/十万辆 3 4 5 6 7 9 10 12
广告费投入/亿元 3.6 4.1 4.4 5.2 6.2 7.5 7.9 9.1
(1)求广告费投入y（亿元）与年销售量x（十万辆）之间的线性回归方程（精确到0.01）；
(2)若某人随机在甲、乙两家汽车店购买一辆汽车，如果在甲汽车店购买，那么购买新能源汽车的概率为0.6；如果在乙汽车店购买，那么购买新能源汽车的概率为0.8，求这个人购买的是新能源汽车的概率.
参考数据：
附：回归直线中.
18.(本小题17分)
已知函数．
(1)当时，证明：；
(2)若存在两个极值点，，且，
（i）求实数的取值范围；
（ii）证明：．
19.(本小题17分)
近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某地区随机调查了经常使用某AI工具的360名用户，统计他们的年龄都位于，得到如下直方图：
(1)利用直方图中的数据，求的值，并估计该 AI工具用户的平均年龄；
(2)已知用分层随机抽样的方法，从上面360名用户中随机抽取了12人，现从这12人中随机抽取4人，记抽到第一组的人数为s，第二组的人数为n．设，求的分布列及其期望；
(3)已知该工具对某20个问题能准确答对其中的（，且）个．若从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，当t变化时，要使得恰好答对3个问题的概率取到最大值，求此时的取值．
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】BD
10.【答案】ACD
11.【答案】AC
12.【答案】
13.【答案】18
14.【答案】
15.【答案】解：（1）由已知得，由二项式系数具有对称性，得．
（2）由（1）得所求二项式为，
其展开式的通项为：，其中且，
令，解得，
将代入通项，得含的项为：．

16.【答案】解：（1），函数定义域为，
，即切点坐标为．
，
切线斜率．
切线方程为，
整理得．
（2）由（1）得，
对任意，恒成立，
得，解得或，
得，解得，
的单调递增区间为和，单调递减区间为．
（3）由（2）知极大值为，极小值为，
又，
当或时，，当，时，
当时，取得最小值．

17.【答案】解：（1），，
由参考数据
所以
故广告费投入y关于年销售量x的回归方程为.
（2）设“在甲汽车店购买汽车”，“在乙汽车店购买汽车”，
“购买的是新能源汽车”，
，，，
由全概率公式得，.

18.【答案】解：(1)的定义域为，
当时，，
．令，则，
当时，；当时，．
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
所以，
所以．
（2）（i）因为，所以，
因为存在两个极值点，，且，所以在上有两个不等正根，
即有两个不等正根，令,
则，即，解得．
故实数的取值范围为
（ii）由（i）可得，，
，
所以．
要证，
只需证
即证．
令，
只需证，
令，则，
所以，所以在上单调递增，
因为，所以，即．所以．

19.【答案】解：（1）根据频率直方图的性质可得，解得,
利用中点值可估计平均年龄为；
（2）由题意得，这12人中，年龄在第一组内的有（人），
年龄在第二组内有人，年龄在第三组内有人，
年龄在第四组内有人，年龄在第五组内有人，
则的所有可能取值为0，1，2，3，4，
所以，，
，，
则的分布列为：
0 1 2 3 4
所以；
（3）从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，恰好答对3个问题的概率为，
设，由，且得，
所以，
显然，，
令，
当时，有，，即，
此时；
当时，有，，即，
此时，即，所以．

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