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北京市中国农业大学附属中学2025-2026学年第二学期高一数学期末试题
一、单项选择题：本大题共10小题，共50分。
1.已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知向量，，．若λ为实数，() //，则λ＝（ ）.
A. B. C. 1 D. 2
3.下列函数中，最小正周期为的奇函数是（ ）
A. B. C. D.
4.将函数的图象沿轴向右平移个单位，得到函数的图象，则（ ）
A. B. C. D.
5.在中，“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知，且为第二象限角，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知△ABC中，，则角A的值是（　　）
A. B. C. 或 D. 或
8.若，且，则向量与的夹角为
A. B. C. D.
9.函数(其中，，)的图像的一部分如图所示，则此函数的解析式是（ ）
A. B.
C. D.
10.在中，，，，点为所在平面内的一个动点，且，则的最大值是（ ）.
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题6分，共30分。
11.已知为虚数单位，则 .
12.已知，，与的夹角为，求 .
13.北海白塔位于北京北海公园琼华岛上，是清代建造的藏式佛塔，由于环绕琼华岛的水域太液池的阻碍，某数学小组在探测白塔高度的实践活动中，选取河岸边相距28m的两个观测点、，测得，，作，在观测点测得塔尖的仰角，根据以上数据，计算塔尖距湖面的距离 m.
14.如图，矩形中，，，为的中点，点在线段上运动，则的值为 ；若，则 .
15.已知函数，则以下正确结论的序号为 .
①函数的图象关于轴对称；
②函数的值域为；
③函数在区间上单调递减：
④当时，函数的图象与直线有且仅有两个交点.
三、解答题：本题共4小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题16分)
已知，，是同一平面内的三个向量，其中＝(1,2)．
(1)若||＝2，且// ，求的坐标；
(2)若||＝，且2＋与4－3垂直，求与的夹角θ.
17.(本小题16分)
已知函数．
(1)求的值；
(2)求函数的最小正周期；
(3)求函数在区间上的最大值及相应的的值．
18.(本小题19分)
在中，.
(1)求的大小：
(2)若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求边上中线的长.
条件①：；条件②：的面积为；条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
19.(本小题19分)
已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴向量，同时，称函数为向量的相伴函数.
(1)若向量的相伴函数为，当且时，求的值.
(2)设，其中为向量的相伴函数.证明：是函数的最小正周期.
(3)已知点，，函数的相伴向量为，在函数的图象上是否存在一点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.
说明：对于函数，如果存在一个非零常数，使得定义域内的每一个，都满足，那么就称函数为周期函数，是函数的一个周期.对于周期函数，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做该函数的最小正周期.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】C
10.【答案】A
11.【答案】-1
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】8 ； ； ； ； ； /
15.【答案】①②④
16.【答案】解：（1）∵，，
∴设，且，；
∴；
∴k=±2；
∴，或；
（2）∵，且，
∴
=
==0；
∴，
又，
∴与的夹角 为．
17.【答案】解：（1）因为，
所以；
（2）由得，
故函数的最小正周期为；
（3）因为，所以，所以，，
所以函数在区间上的最大值为，
此时，又，所以，解得，
故函数在区间上的最大值为，此时.

18.【答案】解：（1）由余弦定理及，得，
得，即，
又，所以，
因为，所以.
（2）当选择条件①时，，
由（1）知，.
所以
.
所以.
因为，所以，
所以，即，则，
所以是以为斜边的直角三角形.
因为，所以.
所以边上的中线的长为.
选②，的面积为，
即，即，解得，
因为，由余弦定理得，
即，解得，
由基本不等式得，但，出现矛盾，
故此时三角形不存在，不能选②.
选条件③：.
由余弦定理得，即.
设边上的中线长为，由余弦定理得
.
所以边上的中线的长为1.

19.【答案】解：（1）由题意，则，即，又，
解得或.即的值为或.
（2）由题意，则，则；
由
从而是函数的周期；
下面证明是函数的最小正周期，假设存在，
使得对任意，都满足成立，
即.
令，则，即，
解得或(舍去)，从而，则，
这与矛盾；
所以是函数的最小正周期.
（3）由题意，
从而，解得，所以；
从而，
设，，，
则，，由
所以；
整理化简得：，即，
由，从而，又，
从而要使，
当且仅当且成立，即，
从而存在，使得.

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