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2026学年八年级数学上册（1-5章）暑假预习卷
一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分。）
1．在平面直角坐标系中，点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ）
A．1，， B．3，4，5 C．5，12，13 D．20，21，31
3．如图，两把相同的直尺的一边分别与射线、重合，另一边相交于点，则平分的依据是（ ）
A．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角的两边距离相等
C．线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
D．以上均不正确
4．若为正整数，且满足，则的值为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．如图1，在矩形中，动点从点出发，沿运动至点停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图2所示，则的最大值是（ ）
A．12 B．21 C．30 D．78
6．如图，的内角与外角的平分线交于点，连接，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中有点，第1次点A跳动至点，第2次点跳动至点，第3次点跳动至点，第4次点跳动至点，……，依此规律跳动下去，则点与点之间的距离是（ ）
A．2025 B．2026 C．2027 D．2028
8．定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为1，则称点A为“和一点”．例如：点到x轴、y轴距离和为1，则点B是“和一点”，点也是“和一点”．一次函数的图象l经过点，且图象l上存在“和一点”，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共8小题，每题2分，共16分）
9．如图，，相交于点O，连接，，如果，要使，还需添加的一个条件是_________．
10．比较大小：___________．
11．如图，在中，，分别以，为边向外作正方形，面积分别为、，若，，则________．
12．在平面直角坐标系中，线段的两端点坐标分别为，将线段平移后，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为______．
13．若一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 _________ ．
14．在中，，和的平分线分别交于点G、F，若，，求___________．
15．如图，圆柱形容器中，高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为___________m（容器厚度忽略不计）．
16．如图，已知直线与两坐标轴分别交于、两点，与直线交于点，点在的内部（不包括边界），则的取值范围是______________．
三．解答题（本题共10小题，共68分）
17．计算：
(1)； (2)．
18．求下列各式中的x的值．
(1)； (2)．
19．如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、．
(1)在平面直角坐标系中画出，则的面积是______；
(2)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为______；
(3)已知P为x轴上一点，若的面积为3，求点P的坐标．
20．如图，在中，，平分，于点，点在上，且．
(1)求证：；
(2)请你判断与之间的数量关系，并说明理由．
21．如图，有一辆环卫车沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为和，，环卫车周围以内为受噪声影响区域．
(1)学校C会受噪声影响吗？为什么？
(2)若环卫车噪声影响该学校持续的时间有，求环卫车的行驶速度为多少？
22．蓝莓是一种极具营养价值的水果，某水果店以元购进两种不同品种的盒装蓝莓，若按标价出售可获利润元（利润售价进价），这两种盒装蓝莓的进价、标价如表所示：
价格品种 品种 品种
进价（元盒）
标价（元盒）
(1)求这两个品种的蓝莓各购进多少盒？
(2)该店计划下周购进这两种品种的蓝莓共盒（每种品种至少进盒），所进蓝莓能够全部售出，其中品种不少于盒，如何安排进货，才能使利润最大，最大利润是多少？
23．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P分别到x轴、y轴和坐标原点的距离均为整数时，称点P为“完美点”．
(1)点______（填“是”或“否”）“完美点”；
(2)若点，，求a的值并判断点B是否为“完美点”；
(3)若n为整数，点，求证：点C为“完美点”．
24．综合与实践：
材料（一）小明遇到一个问题：在中，，，三边的长分别为、、，求的面积．小明是这样解决问题的：如图所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为），在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法．参考小明解决问题的方法，完成下列问题（每个小正方形的边长为）
(1)小明发现无论怎样画，这样的三角形形状大小都是一样的，这个结论的依据是______
(2)图2是一个的正方形网格．利用构图法在图中画出格点，使，，；直接写出的面积______
(3)如图，已知，以，为边向外作正方形，正方形，连接，与面积之间的关系为______；
(4)请利用以上的解题方法求出图中六边形花坛的面积（正方形面积为；正方形面积为，正方形面积为）为______．
25．如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的坐标分别为，，．点P为直线上一点（不与点A，B重合），连接．
(1)三角形的面积为______；
(2)若轴，探究和是否相等，说明理由；
(3)若，求点的横坐标．
26．综合与探究如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，，点是线段上的一个动点（不与，重合），连接，设点的横坐标为．
(1)点的坐标为______，点的坐标为______；
(2)求的面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3)当的面积时，
①判断此时线段与的数量关系并说明理由；
②第一象限内是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题
1．D
解：∵点的横坐标，纵坐标 ，
∴点位于第四象限．
2．D
解：选项A：最长边为
∵
∴ 能构成直角三角形，不符合题意；
选项B：最长边为
∵
∴ 能构成直角三角形，不符合题意；
选项C：最长边为
∵
∴ 能构成直角三角形，不符合题意；
选项D：最长边为
∵ ，，
∴ 不能构成直角三角形，符合题意；
3．A
解：平分的依据是：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
4．C
解：∵，
∴，
化简得，
∵，
∴，即，
∵为正整数，满足，
∴．
5．B
解：由图（2）可知，当时，随的增大而增大，此时点在上运动，
；
当时，保持不变，此时点在上运动，
；
四边形是矩形，
；
当点在上运动时，的底边不变，高为，此时面积最大，
的最大值为．
6．D
如图，过点作，，，垂足分别为，，，
是的平分线，，，
，
同理可得，
，
，，
是的平分线，
．
7．C
解：第1次点A跳动至点，
第2次点跳动至点，
第3次点跳动至点，
第4次点跳动至点，
第5次点跳动至点，
第6次点跳动至点，
……，
第次跳动至点，
第次跳动至点，
∴点的坐标为，
点的坐标为，
∴点与点之间的距离是：
，
故选：C．
8．A
解：由题意可得：点A到x轴，y轴的距离和为1，即，去绝对值后可得：
，
将“和一点”的函数表示在直角坐标系中如图：
∵一次函数的图象l经过点，且图象l上存在“和一点”，
∴一次函数至少与“和一点”构成的图象有1个交点，
当k最小时，一次函数与图象最右侧点相连，如图；
此时一次函数经过两点，
则有，解得：，即k的最小值为．
当k最大时，一次函数与图象最下面的点相连，如图∶
此时一次函数经过两点，
则有，解得：，即k的最大值为．
∴k的取值范围为．
故选A．
二、填空题
9．或或
解：∵，，
∴当时，；
当时，；
当时，；
故答案为：或或
10．
解：
，
，
，
，
即，
．
11．
解：由题意知，，
由勾股定理得，
，
故答案为：．
12．
解：点平移后对应点，则平移方式是向右平移个单位，
∴点向右平移个单位得点的坐标为．
故答案为：．
13．
解：由一次函数的图象可知:
当时，，
当时，，
关于的不等式的解集为．
14．12
解：∵，
∴，，
∵平分，平分，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴==，
故答案为：12．
15．
解：如图，将容器侧面展开，作A关于的对称点，过作交的延长线于D，则四边形为矩形，连接交于F，则即为最短距离．
∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点A处，
∴，，
∴在直角中，．
故答案为：．
16．
解：∵直线与两坐标轴分别交、两点，
∴令时，则，
解得，
∴；
∴令时，则，
∴；
∵直线与直线交于点，
∴，
解得，
解得，
∴，
∴，
∵点在的内部，
∴在直线 （即 x 轴）的上方，即，
∴
解得，
∵点在的内部，
∴在直线：的下方，
依题意，把代入，得，
即，
∴，
∴，
∴，
∵点在的内部，
∴在直线 的下方，
依题意，把代入，得，
即，
∴，
∴，
∴，
∵且且，
∴，
故答案为：．
三．解答题
17．（1）解：
（2）解：
18．（1）解：
解得；
（2）解：
解得．
19．（1）解：∵、、．
∴在平面直角坐标系中画出如下；
∴；
故答案为：4；
（2）解：∵点D与点关于y轴对称，
则点D的坐标为；
故答案为：；
（3）解：∵P为x轴上一点，的面积为3，
即，
∴，
∴，
∵，
∴点P的横坐标为：或，
∴P点坐标为：或．
20．（1）证明：∵平分，，
∴，，
在中，
，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下，
由（1）得，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
21．（1）解：学校会受噪声影响，理由如下：
如图，过点作于，
∵AC=200m，，，
．
是直角三角形，．
，
，
即，
，
环卫车周围以内为受噪声影响区域，
学校会受噪声影响．
（2）解：如图，当，时，正好影响学校，
∴ED===50m，
，
环卫车噪声影响该学校持续的时间有，
环卫车的行驶速度为：，
答：环卫车的行驶速度为．
22．（1）解：设品种的蓝莓购进盒，品种的蓝莓购进盒，
由题意可得，
解得，
答：品种的蓝莓购进盒，品种的蓝莓购进盒；
（2）解：设品种蓝莓购进盒，总利润为元，则品种蓝莓购进盒，
由题意可得，
解得，且为正整数，
由题意可得，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，取得最大值，此时，，
答：当品种的蓝莓购进盒，品种的蓝莓购进盒时，利润最大，最大利润是元．
23．（1）解：∵，
∴点到轴的距离为3，到轴的距离为4，
∴点到原点的距离为，
∴点分别到x轴、y轴和坐标原点的距离均为整数，
∴点是“完美点”；
（2）解：由题意，，
解得，
∴，，
∴点到轴的距离为12，到轴的距离为5，到原点的距离为13，均为整数，
∴点B是“完美点”；
(3)
证明：∵，
∴点到原点的距离为，
∵为整数，
∴，均为整数，
∴点到轴的距离为，到轴的距离为，到原点的距离为，均为整数，
∴点C为“完美点”．
24．（1）解：∵，，三边的长分别为、、，三边长一定，
∴根据，无论怎样画，这样的三角形都与全等，
∴这样的三角形形状大小都是一样的．
故答案为：
（2）解：如图所示：
由勾股定理可知，，，
∴．
故答案为：
（3）解：由图可知：
∴，，
∴．
故答案为：
（4）解：∵正方形面积为；正方形面积为，正方形面积为9，
∴，，，
∴把图中六边形花坛在边长为的网格中画出，如图所示：
∴，
，
，
，
∴六边形花坛的面积．
故答案为：
25．（1）解：∵，，
∴，轴，
∵，
∴点到的距离为，
∴三角形的面积为．
（2）．
理由如下：
∵轴
∴，，
∵，
∴，
解得，
∵，
∴．
（3）解：∵，
∴，
∴点不可能在线段的延长线上，
∴当在线段上时，如图，
∵，
∴，
解得，
∴，
解得，
当在线段的延长线上时，如图，
∵
∴；
解得，
∴，
解得，
∴点的横坐标为或．
26．（1）解：当时，
可得：，
解得：，
点的坐标为；
当时，
可得：，
点的坐标为；
（2）解：点是线段上的一个动点，
设点的坐标为其中，
的面积为，
；
（3）①解：，
理由如下：
点的坐标为，点的坐标为，
，，
，，
，
，
解得：，
点的坐标为，
，
；
②解：当时，如下图所示，
过点作轴，过点作，
点的坐标为，
点的坐标是，
点的坐标为，
，，
，
，
轴，，
，
，
，
在和中，，
，
，，
，
点的坐标是；
当时，如下图所示，
过点作，过点作交的延长线于点，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，，
，，
点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或．

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