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2.2《立方根》暑假预习
一、单选题
1．8的立方根是（ ）
A． B． C．2 D．
2．下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法中错误的是（ ）
A．9的算术平方根是3 B．4的平方根是
C．27的立方根为 D．立方根等于1的数是1
4．下列结论正确的是（ ）
A．64的立方根是±4 B．没有立方根
C．－1的立方根为±1 D．
5．已知的算术平方根是，的立方根是，则的值为（ ）
A．3 B．5 C．3或7 D．5或7
6．下列说法：①64的平方根是，立方根是；②负数没有立方根；③16的算术平方根是4；④表示a的平方根，表示a的立方根；⑤一定是负数；其中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
7．正整数、分别满足，，则（ ）
A．4 B．8 C．9 D．16
8．已知a，b为实数，且，则的值为（ ）．
A．10 B．9 C．8 D．7
9．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
10．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1，每个三角形的三个顶点上的数组之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，若，y比x大2，将x，y填入图2的幻方中，则的值为（　　）
A．4 B． C． D．2
二、填空题
11．计算：________．
12．若 ，则_____________．
13．古希腊著名的三个几何作图难题，其中一个为“立方倍积”问题，即求作一个正方体，使它的体积等于已知正方体的体积的2倍．若已知正方体的棱长是1，则求作的这个正方体的棱长是______．
14．如果，，那么______．
15．小成编写了一个程序：输入正数立方根倒数算术平方根，则正数为_______．
16．一个正数a的两个不同的平方根分别是和，则的立方根为________．
17．已知a、b、c在数轴上位置如下图所示，化简______．
18．已知，都是有理数，观察表中的运算，则______．
，的运算
运算的结果 10
19．已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…，则按此规律可推得这一列数中的第个数是________．
20．阅读下列材料：，则．请根据上面的材料回答下列问题：________．
三、解答题
21．计算：．
22．已知：一个正数a的两个不同平方根分别是和．
(1)求x和a的值；
(2)求的立方根．
23．解方程
(1) (2)
24．计算：
(1)； (2)．
25．一个棱长为的正方体的容器中盛满水，将这些水倒入另一个正方体容器时，还需再加水才满，求另一个正方体容器的棱长．
26．依据图中呈现的运算关系，回答下列问题．
(1)求出图1中的值；
(2)求出图2中的值．
27．魔方，又叫魔术方块，也称鲁比克方块，是匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授在1974年发明的．魔方与中国人发明的“华容道”，法国人发明的“独立钻石”一同被称为智力游戏界的三大不可思议．如图1是一个4阶魔方，又称“魔方的复仇”，由四层完全相同的64个小立方体组成，体积为．
(1)求组成这个魔方的小立方体的棱长．
(2)图中阴影部分是一个正方形，求出该正方形的面积和边长．
(3)把正方形放在数轴上，如图2，使得点与1重合，那么点在数轴上表示的数是___________．
28．（1）【发现】
；
；
；
；
…
根据上述等式反映的规律，请你再写出一个这样的等式： ；
（2）【归纳】
等式，，，，所反映的规律，可归纳为一个结论：对于任意两个有理数，，若，则 ；（写出与之间的关系式）
（3）【应用】
根据（）中所归纳的结论，解决下列问题：
若，求；
若，且，求的值．
29．小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤：
①首先进行了估算：因为，，所以是两位数；
②其次观察了立方数：，，，，，，，，9；猜想的个位数字是7；
③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是；
④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立．
请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：
(1)______；
(2)若，则______；
(3)已知，且与互为相反数，求x，y的值．
30．观察下表：
0.0001 0.01 1 100 10000
0.01 0.1 1 10 100
(1)由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：__________________；
(2)根据你发现的规律填空：已知．
则___________，___________；
若，则___________；
(3)拓展提升：
①已知，则___________；
②已知，则___________．
参考答案
一、单选题
1．C
解：∵ ，
∴ 根据立方根的定义，的立方根是．
2．C
解：∵表示25的算术平方根，即，
∴A不符合题意，
∵，
∴B不符合题意，
∵，，两边相等，
∴C符合题意，
∵负数没有算术平方根，无意义，
∴D不符合题意．
3．C
解：A．9的算术平方根是3，正确；
B．4的平方根是，正确；
C．27的立方根是3，不是，错误；
D．立方根等于1的数是1，即若，则，正确．
故选C．
4．D
解：A、的立方根是，不是，所以 A错误；
B、 任何实数都有立方根，的立方根是，所以 B错误；
C、 的立方根是，不是，所以 C错误；
D、 =， = ，∴ = ，故D正确.
5．B
解：∵，
∴，
∵的算术平方根是，
∴．
∵的立方根是，，
∴．
∴．
故选B．
6．A
解：①64的平方根是，立方根是4，因此①不正确；
②负数有立方根，因此②不正确；
③16的算术平方根是4，因此③正确；
④表示的算术平方根，表示的立方根，因此④不正确；
⑤不一定是负数，当时，；当时，，因此⑤不正确．
综上所述，正确的只有③，共1个，
故选：．
7．D
解：∵，，
∴，，
∵正整数a、b分别满足，，
∴，
∴，
故选：D．
8．D
解：∵，，，
∴，，
∴，
故选：D．
9．A
解：∵，
∴．
故选A．
10．A
解：由题意得，，
∵，
∴，
∵y比x大2，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故选A．
二、填空题
11．
解：
．
12．或
解：由，得或
由，
两边同时立方得
当时，；
当时，．
13．
解：∵已知正方体的棱长是1，
∴已知正方体的体积是，
∵求作的正方体的体积等于已知正方体的体积的2倍，
∴求作的这个正方体的体积为，
∴求作的这个正方体的棱长为．
故答案为：．
14． 解：由已知条件，，且，根据立方根的性质得：
故答案为：0.2872．
15．8
解：，
∴，
∵为正数，
∴，
故答案为：8．
16．2
解：由题意知，一个正数的两个平方根互为相反数，
∴，即，解得，
则一个平方根为，
∴，
∴，8的立方根为2，
故答案为：2．
17．
由图可知，，
∴，，，
∴
．
故答案为：．
18．3
解：由题意得：，
解得，
则，
故答案为：3．
19．
解：一列实数：，，，，，，，，，，…
这些数每三个数为一组，每组出现的特点一样，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根，
这一列数中的第个数应是，
故答案为：．
20．54
，则，故答案为54.
三、解答题
21．解：
．
22．（1）解：由题意得，
则
（2）解：由（1）得，
则．
23．（1）解：，
，
，
或，
或．
（2）解：，
，
，
．
24．（1）解：
；
（2）解：
．
25．解∶设另一个正方体容器的棱长为，
根据题意，得，
解得，
答∶ 另一个正方体容器的棱长为．
26．（1）解：∵的立方根是，的立方根是，
∴，
∴；
（2）解：∵的平方根是和，
∴，
∴，
∴．
27．（1）解：，
组成这个4阶魔方的小正方体的棱长为；
（2）解：正方形的面积为，正方形的边长为，；
（3）解：∵，点A表示的数为1，
∴点D表示的数为．
故答案为：．
28．解：（）；
；
；
；
，
∴，
故答案为：（答案不唯一）；
（）解：由；
；
；
；
，
∵，
∴，
故答案为：；
（）由若，根据（）规律得，，
解得：，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
29．（1）解：因为，，所以是两位数，
因为；猜想的个位数字是9，
接着将往前移动3位小数点后约为117，因为，所以的十位数字应为4，于是猜想，验证得：的立方根是；
最后再依据“负数的立方根是负数”得到；
（2）解：∵，
∴和 互为相反数，
∴，
∴；
故答案为：3．
（3）解：∵，即，
∴或1或
解得：或或
∵与互为相反数，即，
∴，即，
∴当时，
当时，；
当，．
30．（1）解： 由表格可以发现：被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位．或者：被开方数扩大或缩小百倍，它的算术平方根就扩大或缩小十倍．
故答案为：被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位；
（2）解：∵．
∴，；
若，则，
故答案为：，，；
（3）解：①∵知，
∴，
故答案为：；
②∵，
∴，
故答案为：．

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