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2.3--2.4《实数与近似值》暑假预习
一、单选题
1．在实数，0，，中，最小的实数是（ ）
A． B．0 C． D．
2．已知，以下对p的值估算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．无理数像一首读不完的长诗，既不循环，也不枯竭，无穷无尽，数学家称其是一种特殊的数．若某长方形的长为，宽为2，则这个长方形面积的值在（　　）
A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间
4．整数a满足，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
5．自2025年11月1日泰州队斩获苏超冠军以来，李中水上森林景区累计接待游客超万人次．该近似数万精确到（ ）位．
A．十 B．百 C．千 D．万
6．下列近似数的结论不正确的是（ ）
A．（精确到十分位） B．万精确到百分位
C．（精确到百分位） D．（精确到千分位）
7．如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，，则点C所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
8．在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（ ）
A． B． C．2 D．8
9．若a，b均为正整数，且，，则的最小值是（ ）
A．4 B．2 C．5 D．3
10．对于实数P，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作后变为2．类似的，要想让2025变为2，需进行的操作次数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
11．比较大小：2________．（填“>”、“<”或“=”）
12．已知，则整数n的值可以是________（填一个值即可）．
13．按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是______．
14．如图，面积为7的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，以A为圆心，长为半径画弧，交于A右侧数轴于点E，则点E所表示的数为___________．
15．已知，将它精确到得，____．
16．对于圆周率3.1415926……，请你用四舍五入法精确到0.001，则3.1415926……的近似值是______．
17．已知实数互为相反数，互为倒数，是的整数部分，是的小数部分，求代数式 ______．
18．因为，即，所以的整数部分为1，小数部分为．类比以上推理，的小数部分为______．
19．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，，，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为5，6，7，其面积介于整数和之间，那么的值是______．
三、解答题
20．把下列各数填在相应的横线上
，，，，，，，，
有理数：__________________________________________________
无理数：__________________________________________________
21．用四舍五入法对下列各数取近似数：
(1)（精确到）；
(2)（精确到个位）；
(3)（精确到百分位）；
(4)（精确到）．
22．下列各数都是由四舍五入法得到的近似数，它们分别精确到哪一位？各有几个有效数字？
(1)小红的体重为千克；
(2)小明的妈妈的年薪约为5万元；
(3)月球轨道呈椭圆形，远地点平均距离为千米．
23．计算：．
24．根据如表回答下列问题：
(1)的算术平方根是 ，的平方根是 ；
(2) ． ，
(3)若介于17.6与17.7之间，则满足条件的整数n为
25．如图1是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64．
(1)求出这个魔方的棱长；
(2)图1中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积和边长；
(3)把正方形放到数轴上，如图2，使点A与重合，请直接写出点D在数轴上所表示的数．
26．同学们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来.因为，所以的整数部分是1，于是可用来表示的小数部分，请解答下列问题：
(1)的整数部分是________，小数部分是________.
(2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值.
27．【阅读理解】阅读下面的文字，解答问题．
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为2，将减去其整数部分2，差就是小数部分为．
【问题解决】
请解答：
(1)的整数部分是__________，小数部分是__________；
(2)已知：小数部分是m，小数部分是n，且，请求出满足条件的x的值．
28．小李同学探索的近似值的过程如下：
面积为137的正方形的边长是，且，
设，其中，画出示意图，如图所示．
根据示意图，可得图中正方形的面积．
又，．
当时，可忽略，得，得到，
．
(1)直接写出下列各数的整数部分的值：①；②；
(2)仿照上述方法，探究的近似值（画出示意图，标明数据，并写出求解过程，精确到）；
(3)结合上述具体实例，已知非负整数，，，若，且，直接写出的近似值（用含有，的式子表示）．
29．任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数T：，（其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“麓外区间”为，
如，所以的麓外区间为．
(1)无理数的“麓外区间”是______；
(2)实数x，y，m满足关系式： ，求m的算术平方根的“麓外区间”．
(3)若某一个无理数T的“麓外区间”为，其中是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解，请求出m、n的值，并写出一个符合题意的无理数T．
参考答案
一、单选题
1．C
解：∵，，，
∴，
∴ ，
∴，
∴最小的实数是．
2．C
解：，且
，
，即，
不等式三边同时加，得，即．
3．C
解：长方形面积，
∵，
∴
即这个长方形面积的值在与之间.
4．B
解：∵ ，，
∴ ，，
即 ，，
不等式两边同乘，不等号方向改变，可得
，，
∵ ，
∴ ，
又∵是整数，
∴，
5．C
解：∵万
∴原数中末位数字9位于千位
∴万精确到千位．
6．B
解：A、的末位是十分位，即精确到十分位，结论正确，不符合题意；
B、万，末位数字6在百位，因此万精确到百位，不是百分位，结论错误，符合题意；
C、的末位数字在百分位，因此精确到百分位，结论正确，不符合题意；
D、的末位数字在千分位，因此精确到千分位，结论正确，不符合题意．
7．C
解：∵数轴上表示1，的对应点分别为A，B，，
∴，
∴点C表示的数为．
8．B
解：输入x的值是64时，取算术平方根可得，，
是有理数，则取立方根，可得，
是有理数，则取算术平方根，可得，
为无理数，则输出，
即．
9．A
解：∵，，且，
∴，
又∵为正整数且，
∴的最小值为3，
∵，，且，
∴，
又∵为正整数且，
∴，
∴的最小值为．
10．B
解：由题意得：
2025，
∴对2025只需进行4次操作后变为2；
故选：B．
二、填空题
11．>
解：∵，，
∴．
12．5（答案不唯一）
解：，
，即，
为整数，
可取中任意一个．
13．
解：由题可得：的立方根为，是有理数，继续运算；
的算术平方根为，是有理数，返回取立方根；
的立方根为，是无理数，输出；
则输出的的值为．
14．/
解：正方形的面积为，
正方形的边长为，
则由题意可知，
点表示的数为，
点所表示的数为．
15．
解：根据题意，得．
16．3.142
解：精确到0.001即保留三位小数，观察3.1415926…的万分位数字为5，
根据四舍五入法则，向千分位进1，千分位上的1加1后变为2，
因此该数的近似值为3.142．
17．
解：∵实数、互为相反数，
∴，
∵、互为倒数，
∴，
∵，
∴的整数部分为，即，
∵，
∴的小数部分为，即，
∴
．
18.
解：，
，
，
的整数部分为4，
的小数部分为，
故答案为：．
19.15
解：由题意得：，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∵介于整数和之间，
∴，
故答案为：．
三、解答题
20.解：是整数，是分数，是分数，均属于有理数，
，，，，均属于无理数，
即有理数：，，；
无理数：，，，，，
故答案为：，，；，，，，．
21.（1）解：（精确到）；
（2）解：（精确到个位）；
（3）解：（精确到百分位）；
（4）解：（精确到）．
22.（1）解：近似数，数字0所在是位是十分位，则精确到十分位，有3个有效数字；
（2）解：近似数5万，数字5所在的位是万，则精确到万位，有1个有效数字；
（3）解：近似数，右边的数字5所在的位是百位，则精确到百位，有4个有效数字．
23.解原式
．
24.（1）解：由表格中x与的对应值可得，的算术平方根是，的平方根是，
故答案为：，；
（2）由表格中x与的对应值可得，，，
∴，
，
故答案为：，；
（3）由表格中与的对应值可得，，，
而介于与之间，
，
又为整数，
整数的值为或或或，
故答案为：或或或；
25.（1）解：．
答：这个魔方的棱长为4；
（2）解：∵魔方的棱长为4，
∴每个小立方体的棱长为2，
阴影部分面积为：；
则阴影部分的边长为．
（3）解：由（2）得，
则D在数轴上表示的数为．
26.（1）解：，
，
的整数部分是2，小数部分是：；
（2）解：，
，
的小数部分为：，
，
，
的整数部分为：，
．
27.（1）解：，
∴，
∴的整数部分是3，小数部分是；
（2）解：∵，
∴，，
∵小数部分是m，小数部分是n，
∴，，
∴，
∵，
∴
∴，
解得：或．
28.（1）解：①，
，
整数部分的值为2；
②，
，
整数部分的值为9．
（2）面积为66的正方形的边长是，且，
设，其中，画出示意图，如图所示．
根据示意图，可得图中正方形的面积．
又，
．
当时，可忽略，得，得到，
．
（3）如图：设，
正方形的面积为：，而，
当较小时，省略，得，
，
．
29.（1）解：∵，
∴的“麓外区间”是，
故答案为：．
（2）
∴，
联立得：
∴，
∵，
∴，
∴m的算术平方根的“麓外区间”是
（3）∵是关于 x，y的二元一次方程的一组正整数解，
∴
又由题意，有，
∴，解得
∴符合题意的无理数T为（答案不唯一）

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