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《第五章 三角函数》单元测试卷（提升训练）
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知,,,则
A． B． C． D．
2．函数图象的一条对称轴可以为（ ）
A． B．
C． D．
3．若，则（ ）
A． B． C． D．
4．设为锐角，若，则
A． B． C． D．
5．已知集合，则集合中的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．将函数的图象向左平移后得到函数的图象，则的图象的一个对称中心为（ ）
A． B． C． D．
7．设向量，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．
8．已知函数是最小正周期为的偶函数，则的值为（ ）
A． B．0 C． D．1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点（），则下列各式的值一定为负的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数（）在区间上有且仅有条对称轴，给出下列四个结论，正确的是（ ）
A．在区间上有且仅有个不同的零点
B．的最小正周期可能是
C．的取值范围是
D．在区间上单调递增《第五章 三角函数》单元测试卷（提升训练）（解析版）
1．A
【解析】因为,,,所以.
2．D
【解析】令，则.
所以函数图象的对称轴为.
选项A：当时，，解得：，所以选项A错误；
选项B：当时，，解得：，所以选项B错误；
选项C：当时，，解得：，所以选项C错误；
选项D：当时，，解得：，所以选项D正确.
3．A
【解析】因为，故，则，
所以
.
4．A
【解析】因为为锐角，所以，
因为，由平方关系可得，
故.
5．C
【解析】根据特殊三角函数值可知 ，
因为 ，所以 ，且 ；
因为 ，所以 ，且 ；
所以集合 .
又因为集合 ，则 或；
所以 ，元素个数是 3 个.
6．D
【解析】将函数的图象向左平移后得到函数.
令，则，
所以所得图象的对称中心为，
当时，一个对称中心为.
7．D
【解析】解：
因为，
所以中，第 项和第 项和为0，即，
同理由，
可知中，第 项和第 项和为0，即，
所以.
8．A
【解析】已知为偶函数，则，
，
，
，即，
故对任意成立，则必有，
解得，
又，，
则，
，故．
9．AD
【解析】由已知得r＝|OP|＝，
则sinα＝，，tanα＝﹣m．
由于不知道的正负，故与符号不确定，
∴＜0．
故一定为负值的是A、D．
10．BC
【解析】由函数化简可得, 令 , 则 ，
函数 在区间 上有且仅有 4 条对称 轴, 即 有 4 个整数符合,
由 , 得，则 ，
即 ,, 故C正确;
对于A， ,,,当 时, 在区间 上有且仅有 3 个不同的零点;
当 时, 在区间 上有且仅有 4 个不同的零点; 故 A错误;
对于 B, 周期 , 由 , 则 ,,
又 , 所以 的最小正周期可能是，故 B 正确;
对于D ,,,,
,又, 所以 在区间 上不一定单调递增, 故D错误.
11．ABC
【解析】因为，
当时，即当时，
，即，
此时，；
当时，即当时，
，即，
此时，.
所以，.
作出函数的图象如下图中实线所示：

对于A选项，由图可知，函数的图象关于直线、、对称，
对任意的，
，
所以，函数的对称轴为，A对；
对于B选项，对任意的，
，
结合图象可知，函数为周期函数，且最小正周期为，B对；
对于C选项，由A选项可知，函数的对称轴为，且该函数的最小正周期为，
要求函数的最大值和最小值，只需求出函数在上的最大值和最小值，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，当时，，
因为，，
所以，，
因此，的最大值为，最小值为，C对；
对于D选项，由C选项可知，函数在上单调递减，在上单调递增，D错.
12．
【解析】已知角的终边过点，则，
所以.
13．
【解析】根据题意可得，即
结合余弦函数的图象可得
所以定义域为.
14．
【解析】由题意，，．
因此．
又，所以．
因为，
所以．
令．因为，所以，从而．
在内，方程的解的个数如下表．
的范围 对应的的个数 说明
当时，另一个对应角为，是右端点，不取
两个对应角都在区间内部
只对应
于是等价于，其中.
若在内恰有个零点，则需有两个不同的解，
且或.
若，则，得，此时，
只得到和，对应的零点个数为，不符合题意．
若，则，则，此时，只有一解，不合题意；
所以，故，故.
15．（1）原式
.
（2）原式.
16．（1）按5个关键点列表如下：
描点连线作图如下：
（2）令
解得
所以函数的单调递增区间是
（3）因为
所以
所以函数在区间上的最小值为，此时，.
17．（1），则，
．
（2）由题意得，，
，
当时，．
（3）如图所示，
由题意得，，，不妨设，则，
所以，
，
则只需证即可，即证，
即证，
即证，
即证，
即证，
即证，
因为，，则，则上式显然成立，
综上，以线段，，的长为三条边长能构成三角形．
18．（1）由题意知，．
（2）证明：由题意有，当时，，
则，即．
又因为当时，.
故当时，.
（3）因为，则，
若存在“和谐区间”，则由，有.
当时，则由，得，这与值域为矛盾，
故不存在“和谐区间”．
同理当时，也不存在“和谐区间”．
下面讨论，
当时，则，所以的最小值为，则.
所以，所以的最大值为2，则.
此时，的定义域为，值域为，符合题意．
当时，
当时，同理可得，，不符合题意，舍去.
当时，在区间上单调递减，则，
所以.
如果，即，则有.
所以.
所以，这与矛盾，舍去．
同理如果，也不符合题意，舍去．
如果，即，所以.
由（2）知，当时，，即，矛盾，舍去．
综上所述，存在“和谐区间”，且“和谐区间”为．
19．（1）由已知条件，得，
又，
又当时，有，且，
曲线段的解析式为.
由，根据图象得到，
解得，
又.
景观路的长为千米.
（2）易知，又，
，
记，在中，
.
即，
，又，中，.
所以.
故，，
当时，即时，矩形面积最大为平方千米，此时点在弧的中点上.

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