资源简介

【2025版】人教版八年级上册重难点题题型培优训练（教师版）
（3大模块+321个必考点+1342题）
模块一 章节必考考点总结
三角形中的经典9大模型（36题）
知识点1：A字模型 6
【必考点1 A字模型】 6
知识点2：8字模型 8
【必考点2 8字模型】 8
知识点3：飞镖模型 11
【必考点3 飞镖模型】 11
知识点4：双垂直模型 14
【必考点4 双垂直模型】 14
知识点5：老鹰抓小鸡模型 20
【必考点5 老鹰抓小鸡模型】 21
知识点6：两内角角平分线模型 24
【必考点6 两内角角平分线模型】 24
知识点7：两外角角平分线模型 27
【必考点7 两外角角平分线模型】 27
知识点8：一内一外角角平分线模型 31
【必考点8 一内一外角角平分线模型】 32
知识点9：三角形折叠模型 35
【必考点9 三角形折叠模型】 36
与三角形的角有关的五大类型解答题专项训练（40题）
【必考点1 与三角形的角有关的挖空题】 41
【必考点2 与三角形的角有关的计算】 50
【必考点3 探究与三角形有关的角之间的关系】 58
【必考点4 探究与三角形有关的线段之间的关系】 71
【必考点5 与三角形的角有关的证明】 80
三角形全章专项复习【3大模块14种必考点】（56题）
【模块1 与三角形有关的线段】 87
【必考点1 三角形的三边关系的应用】 87
【必考点2 与等腰三角形的边长的有关的问题】 89
【必考点3 三角形的高的有关的问题】 90
【必考点4 利用中线解决三角形的面积问题】 93
【必考点5 利用三角形的三边关系解决线段的和差比较问题】 96
【模块2 与三角形有关的角】 98
【必考点6 利用三角形的内角和定理解决折叠中的角度计算】 98
【必考点7 直角三角形的性质的应用】 101
【必考点8 三角形外角的应用】 104
【必考点9 三角形的内角和与外角的性质的综合】 108
【必考点10 与三角形的内、外角性质及角等分线相关的规律性问题】 114
【模块3 多边形及其内角和】 123
【必考点11 多边形内角和公式的应用】 124
【必考点12 多边形外角定理的应用】 126
【必考点13 多边形的截角问题】 130
【必考点14 求不规则图形中相关角的和】 131
全等三角形的八大经典模型（32题）
知识点1：一线三等角模型 134
【必考点1 一线三等角模型】 134
知识点2：倍长中线模型 137
【必考点2 倍长中线模型】 137
知识点3：截长补短模型 141
【必考点3 截长补短模型】 141
知识点4：手拉手模型 148
【必考点4 手拉手模型】 148
知识点5：半角模型 152
【必考点5 半角模型】 152
知识点6：角平分线模型 157
【必考点6 角平分线模型】 158
知识点7：雨伞模型 163
【必考点7 雨伞模型】 163
知识点8：平行线中点模型 169
【必考点8 平行线中点模型】 169
判定两个三角形全等的常用九种思路（36题）
知识点：判定两个三角形全等的常用思路 174
【必考点1 已知两边找另一边，用SSS】 174
【必考点2 已知两边找夹角，用SAS】 176
【必考点3 一直角边一斜边用HL】 179
【必考点4 已知边为角的对边找任一角，用AAS】 182
【必考点5 已知边为角的邻边找夹角的另一边，用SAS】 185
【必考点6 已知边为角的邻边找夹边的另一角，用ASA】 188
【必考点7 已知边为角的邻边找边的对角，用AAS】 191
【必考点8 已知两角找夹边，用ASA】 195
【必考点9 已知两角找任一角的对边，用AAS】 198
七种添加辅助线方法构造全等（28题）
【必考点1 连接两点构造全等】 201
【必考点2 作平行线构造全等】 204
【必考点3 作垂线构造全等】 209
【必考点4 倍长中线构造全等】 212
【必考点5 截长补短构造全等】 216
【必考点6 补全图形构造全等】 223
【必考点7 旋转构造全等】 230
全等三角形全章专项复习13种必考点（52题）
【模块1 全等三角形】 234
【必考点1 利用全等三角形的性质求角】 235
【必考点2 利用全等三角形的性质求两线段的位置关系】 237
【必考点3 利用全等三角形的性质求线段的长】 239
【必考点4 利用全等三角形的性质解决图形变换中的问题】 241
【模块2 三角形全等的判定】 243
【必考点5 添加条件判断三角形全等】 245
【必考点6 全等三角形的判定与性质的综合应用】 246
【必考点7 “倍长中线法”构造全等三角形】 250
【必考点8 “截长补短法”证明线段和差问题】 255
【必考点9 应用全等三角形的性质解决实际问题】 260
【必考点10 全等三角形在探究性问题中的应用】 262
【模块3 角的平分线的性质】 270
【必考点11 角平分线性质的应用】 271
【必考点12 角平分线判定的应用】 275
【必考点13 角平分线性质与判定的综合运用】 278
垂直平分线的判定与性质十大必考点（40题）
知识点1：垂直平分线的性质 285
【必考点1 由垂直平分线的性质求线段长度】 285
【必考点2 由垂直平分线的性质求周长】 287
【必考点3 由垂直平分线的性质求角度】 289
【必考点4 由垂直平分线的性质求最值】 291
【必考点5 由垂直平分线的性质探究角度之间的关系】 295
【必考点6 由垂直平分线的性质进行证明】 298
知识点2：垂直平分线的判定 301
【必考点7 证明是线段的垂直平分线】 301
【必考点8 尺规作线段的垂直平分线或垂线】 305
【必考点9 线段的垂直平分线的判定与性质的综合运用】 307
【必考点10 线段的垂直平分线的实际应用】 311
角平分线的判定与性质十大必考点（40题）
知识点1：角平分线的性质 313
【必考点1 由角平分线的性质求线段长度】 313
【必考点2 由角平分线的性质求面积】 316
【必考点3 由角平分线的性质比较大小】 319
【必考点4 由角平分线的性质进行证明】 321
知识点2：角平分线的判定 324
【必考点5 证明是角平分线】 324
【必考点6 由角平分线的判定求角的度数】 327
【必考点7 尺规作角平分线】 329
【必考点8 角平分线的性质与判定综合运用】 331
【必考点9 与角平分线的性质与判定相关的多结论问题】 336
【必考点10 角平分线的实际应用】 340
等腰三角形十大必考点（40题）
知识点：等腰三角形 343
【必考点1 利用等边对等角求解】 343
【必考点2 利用等边对等角进行证明】 346
【必考点3 利用三线合一求解】 350
【必考点4 利用三线合一证明】 354
【必考点5 格点中画等腰三角形】 358
【必考点6 找出图中的等腰三角形】 361
【必考点7 利用等角对等边证明等腰三角形】 363
【必考点8 利用等角对等边求边长或证明边相等】 366
【必考点9 尺规作等腰三角形】 368
【必考点10 确定与已知两点构成等腰三角形的点】 371
等边三角形十大必考点（40题）
知识点：等边三角形 375
【必考点1 利用等边三角形的性质求角的度数】 375
【必考点2 利用等边三角形的性质求线段长度】 377
【必考点3 利用等边三角形的性质求最值】 380
【必考点4 证明等边三角形】 383
【必考点5 探究平面直角坐标系中的等边三角形问题】 388
【必考点6 探究等边三角形中的折叠问题】 396
【必考点7 探究等边三角形中的三角板问题】 402
【必考点8 探究等边三角形中的动态问题】 406
【必考点9 探究等边三角形中线段或角度之间的关系】 410
【必考点10 等边三角形中的多结论问题判断正误】 415
含30°的直角三角形的性质十大必考点（40题）
知识点：含30°的直角三角形的性质 420
【必考点1由含30°的直角三角形的性质求线段长度】 420
【必考点2 由含30°的直角三角形的性质求角度】 422
【必考点3 由含30°的直角三角形的性质求面积】 426
【必考点4 由含30°的直角三角形的性质求最值】 429
【必考点5 由含30°的直角三角形的性质求坐标】 433
【必考点6 由含30°的直角三角形的性质进行证明】 435
【必考点7 由含30°的直角三角形的性质解决折叠问题】 439
【必考点8 由含30°的直角三角形的性质解决旋转问题】 441
【必考点9 由含30°的直角三角形的性质解决动点问题】 443
【必考点10 含30°的直角三角形的性质的实际应用】 447
与轴对称图形有关的八大最值问题（32题）
知识点1：垂线段最短 450
【必考点1 垂线段最短】 450
【必考点2 两点之间线段最短】 452
【必考点3 平行线之间的距离】 455
知识点2：两动一定 457
【必考点4 两动一定】 458
知识点3：两定一动 461
【必考点5 两定一动(将军饮马)】 461
知识点4：两定两动 464
【必考点6 两定两动型】 465
【必考点7 两定一动(三点共线)】 468
【必考点8 两动+定长】 472
等腰三角形常用七种作辅助线方法（28题）
【必考点1 作中线构造三线合一模型】 485
【必考点2 作垂线构造等腰三角形】 488
【必考点3 构造等腰（直角）三角形】 494
【必考点4 作平行线构造等腰三角形】 498
【必考点5 倍长中线构造等腰三角形】 504
【必考点6 截长补短构造等腰三角形】 508
【必考点7 旋转构造等腰三角形】 512
分类讨论思想与等腰三角形的综合运用
八大必考点（32题）
【必考点1 与边有关的讨论】 516
【必考点2 与角有关的讨论】 517
【必考点3 与中线有关的讨论】 519
【必考点4 与高有关的讨论】 521
【必考点5 与垂直平分线有关的讨论】 525
【必考点6 与动点有关的讨论】 528
【必考点7 与三角形形状有关的讨论】 530
【必考点8 与构造三角形有关的讨论】 534
幂的乘法运算中档培优（8种类型50道题）
题型01 同底数幂的乘法 538
题型02 幂的乘方 540
题型03 积的乘方 544
题型04 同底数幂的除法 546
题型05 异底化同 548
题型06 异指化同 550
题型07 规律探究题 551
题型08 新定义题 553
整式的乘除中档培优（11种类型46道题）
题型01 整式的化简求值问题 559
题型02 缺项求参 561
题型03 整体代入法求代数式的值 562
题型04 降幂求值问题 564
题型05 将错就错问题 565
题型06 对照求参问题 567
题型07 赋值法求代数式的值 569
题型08 整式的除法定义求参数 571
题型09 整式的乘除规律探究问题 573
题型10 以形释数 576
题型11 图形拼接问题 579
乘法公式十大必考点（40题）
知识点：乘法公式 584
【必考点1 利用乘法公式进行简便运算】 584
【必考点2 利用乘法公式求代数式的值】 585
【必考点3 由完全平分式求字母的值】 586
【必考点4 平方差公式的几何背景】 587
【必考点5 完全平方公式的几何背景】 590
【必考点6 乘法公式的应用】 594
【必考点7 乘法公式的证明】 596
【必考点8 由乘法公式求最值】 599
【必考点9 乘法公式的规律探究】 600
【必考点10 乘法公式中的新定义问题】 602
幂的运算四大题型专项训练（40题）
【必考点1 幂的直接运算】 605
【必考点2 由幂的运算进行化简求值】 609
【必考点3 由幂的运算求式子的值】 612
【必考点4 由幂的逆运算求字母的值】 616
整式的混合运算两大题型专项训练（40题）
【必考点1 整式的混合运算】 621
【必考点2 整式的化简求值】 629
因式分解章末复习（16种题型+58道题）
知识点1 因式分解 636
题型01 判断是否因式分解 636
题型02 添括号 637
知识点2 提公因式法 637
题型03 公因式 638
题型04 提公因式法分解因式 639
知识点3 平方差公式 640
题型05 用平方差公式分解因式 640
知识点4 完全平方公式 641
题型06 用完全平方公式分解因式 641
题型07 提公因式法与公式法分解因式 642
题型08 十字相乘法分解因式 643
题型09 分组分解法分解因式 644
题型10 利用因式分解的方法简算 645
题型11 拆项添项分解因式 647
题型12 分解因式整除问题 649
题型13 待定系数法求参数问题 650
题型14 已知一个代数式的值求另一个代数式的值 653
题型15 利用因式分解比较大小 654
题型16 因式分解在几何图形中的应用 655
分式全章必考点训练（37种题型+170道题）
知识点1 分式的概念 660
题型01 分式的识别（基础） 660
题型02 根据要求列分式（基础） 661
知识点2 分式有、无意义的条件 663
题型03 分式有、无意义的条件（基础） 663
知识点3 分式的值为0的条件 664
题型04 分式的值为0的条件（基础） 664
题型05 根据分式值的情况求字母参数取值范围 666
题型06 求使分式的值为整数时字母的的整数值 667
题型07 分式求值（培优） 668
知识点4 分式的基本性质 670
题型08 判断分式变形是否正确（基础） 671
题型09 利用分式的基本性质判断分式值的变化 672
知识点5 分式的约分 674
题型10 最简分式（基础） 674
题型11 约分（基础） 675
知识点6 分式的通分 678
题型12 最简公分母（基础） 678
题型13 通分（基础） 679
题型14 将分子、分母的最高次数项化为正数 682
题型15 将分式的分子、分母各项系数化为整数 683
知识点7 分式的乘除 685
题型16 分式的乘除与乘方运算（基础） 685
知识点8 分式的加减 688
题型17 分式的加减--同分母分式运算（基础） 688
题型18 分式的加减--异分母分式运算（基础） 691
题型19 分式的加减--分式与整式相加（基础） 696
题型20 整数指数幂运算（基础） 697
题型21 用科学计数法表示绝对值小于1的数 701
知识点9 分式的混合运算 702
题型22 分式的混合运算（中档） 702
题型23 已知分式恒等式确定分子或分母（中档） 707
题型24 分式的化简求值--先化简再求值（中档） 708
题型25 分式的化简求值--整体代入求值（中档） 710
题型26 分式的化简求值--选择代入求值（中档） 712
知识点10 分式方程 714
题型27 分式方程的辨别（基础） 714
知识点11 解分式方程 716
题型28 分式方程的一般解法（基础） 716
题型29 分式方程的增根问题（中档） 721
题型30 分式方程无解问题（中档） 723
题型31 由分式方程解的情况求字母的范围（中档） 725
知识点12 分式方程的应用 727
题型32 根据题意列分式方程（基础） 727
题型33 分式方程的应用--行程问题（中档） 729
题型34 分式方程的应用--工程问题（中档） 732
题型35 分式方程的应用--销售问题（中档） 735
题型36 分式有关规律探究问题（培优-创新题） 738
题型37 阅读理解与新定义（培优-创新题） 742
模块二 期中期末专项复习
期中易错题专项复习31大考点90题
【考点1 三角形的角平分线、中线和高】 750
【考点2 三角形的面积】 751
【考点3 三角形的稳定性】 752
【考点4 三角形的三边关系】 753
【考点5 三角形的内角和定理】 754
【考点6 三角形的外角性质】 755
【考点7 直角三角形的性质】 757
【考点8 多边形】 758
【考点9 多边形内角与外角】 760
【考点10 全等图形】 761
【考点11 全等三角形的性质】 762
【考点12 全等三角形的判定】 764
【考点13 直角三角形全等的判定】 766
【考点14 全等三角形的判定与性质】 768
【考点15 全等三角形的应用】 771
【考点16 角平分线的性质】 772
【考点17 尺规作角平分线】 773
【考点18 角平分线的判定】 775
【考点19 轴对称】 776
【考点20 垂直平分线的性质】 777
【考点21 尺规作垂直平分线】 778
【考点22 垂直平分线的判定】 780
【考点23 画轴对称图形】 781
【考点24 等腰三角形的判定】 783
【考点25 等腰三角形的性质】 784
【考点26 等腰三角形的判定与性质】 786
【考点27 等边三角形的判定】 788
【考点28 等边三角形的性质】 790
【考点29 等边三角形的判定与性质】 792
【考点30 含30°角的直角三角形】 795
【考点31 轴对称——最短路径问题】 797
期中压轴题专项复习20大考点60题
【考点1 三角形的三边关系的应用】 799
【考点2 由三角形的中线求面积最值】 801
【考点3 与平行线有关的三角形的内角和问题】 803
【考点4 与折叠有关的三角形的内角和问题】 806
【考点5 与角平分线有关的三角形的内角和问题】 809
【考点6 三角形的外角与三角形的内角和的综合求值】 813
【考点7 不规则多边形的内角和】 819
【考点8 分类讨论思想与全等三角形的综合运用】 821
【考点9 利用全等三角形的判定于性质证明一条线段等于两条线段的和差】 826
【考点10 倍长中线模型】 832
【考点11 旋转模型】 836
【考点12 垂线模型】 840
【考点13 轴对称中的最短路径问题】 842
【考点14 格点中作等腰三角形】 846
【考点15 三角形中的多结论问题】 849
【考点16 等腰三角形的存在性问题】 854
【考点17 构成等腰三角形的点的个数】 857
【考点18 利用等腰三角形的判定与性质进行求值或证明】 859
【考点19 利用等边三角形的判定与性质进行求值或证明】 865
【考点20 与三角形有关的新定义问题】 875
期末复习之选择压轴题十六大必考点（64题）
【必考点1 由三角形的中线求面积】 886
【必考点2 与内外角平分线有关的计算】 889
【必考点3 格点中的全等三角形】 893
【必考点4 利用全等三角形的判定与性质求角度】 896
【必考点5 利用全等三角形的判定与性质求线段长度】 900
【必考点6 利用全等三角形的判定与性质求面积】 904
【必考点7 线段长度最值问题】 907
【必考点8 使组成等腰三角形的点的个数】 911
【必考点9 利用整式的乘法求值】 914
【必考点10 因式分解的应用】 916
【必考点11 分式化简求值】 918
【必考点12 由分式方程的解求参数】 920
【必考点13 几何动态问题】 923
【必考点14 规律探究】 927
【必考点15 多结论问题】 929
【必考点16 新定义问题】 935
期末复习之填空压轴题十五大必考点（60题）
【必考点1 由三角形的中线求面积】 937
【必考点2 由三角形的内(外)角和求角度】 940
【必考点3 由全等三角形的判定与性质求线段长度】 946
【必考点4 由全等三角形的判定与性质求角度】 951
【必考点5 与全等三角形有关的动点问题】 955
【必考点6 几何图形最值问题】 960
【必考点7 构造等腰三角形求值】 963
【必考点8 等腰三角形的存在性问题】 968
【必考点9 与整式乘除有关的化简求值】 973
【必考点10 利用整式乘法解决图形面积问题】 975
【必考点11 利用因式分解解决最值问题】 978
【必考点12 利用因式分解解决整除问题】 980
【必考点13 分式的化简求值】 982
【必考点14 由分式方程的解求字母的值】 985
【必考点15 分式方程的实际应用】 987
期末复习之解答压轴题十三大必考点（52题）
【必考点1 与三角形面积有关的计算】 991
【必考点2 与双角平分线有关的计算】 997
【必考点3 不规则图形内角和的计算】 1004
【必考点4 全等三角形的动态问题】 1009
【必考点5 手拉手模型】 1016
【必考点6 一线三等角模型】 1021
【必考点7 半角模型】 1026
【必考点8 确定两角度之间的关系】 1034
【必考点9 证明线段间的关系】 1039
【必考点10 乘法公式的几何背景】 1047
【必考点11 因式分解的应用】 1052
【必考点12 分式中的阅读材料类问题】 1056
【必考点13 分式方程的实际应用】 1059
模块三 章末模拟测试卷
三角形章末模拟测试卷 1063
全等三角形章末模拟测试卷 1078
轴对称章末模拟测试卷 1098
整式的乘法与因式分解章末模拟测试卷 1118
分式章末模拟测试卷 1128
期中押题重难点检测卷 1141
期末押题重难点检测卷 1163
三角形中的经典9大模型（36题）
知识点1：A字模型
已知△ABC，延长AB至D，延长AC至E，则∠1+∠2=∠A+180°
【必考点1 A字模型】
【例1】（全国·专题练习）如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据三角形内角和定理求出，根据平角的概念计算即可．
【详解】
解：，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于是解题的关键．
【变式1-1】（全国·专题练习）如图是某建筑工地上的人字架，若，那么的度数为 ．
【答案】
【分析】根据平角的定义求出，再利用三角形的外角的性质即可解决问题．
【详解】解：如图
，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形外角的性质、平角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
【变式1-2】（河北沧州·期中）琪琪在操作课上将三角形剪掉一个角后得到四边形，则下列判断错误的是（ ）

A．变成四边形后对角线增加了两条
B．变成四边形后内角和增加了
C．外角和没有发生变化
D．若剪掉的角的度数是，则
【答案】B
【分析】本题考查了多边形的对角线，内角和与外角和，三角形内角和定理，解题的关键是
【详解】解：A、三角形没有对角线，变成四边形后对角线为两条，即增加了两条，故正确，不合题意；
B、三角形内角和为，变成四边形后内角和为，增加了，故错误，不合题意；
C、任意多边形的外角和是，故正确，不合题意；
D、若剪掉的角的度数是，则，则，故正确，不合题意；
故选：B．
【变式1-3】（23-24·浙江杭州·二模）将一把直尺与一块三角板在同一平面内按如图所示的方式放置，若，则的度数为 ．
【答案】/40度
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，根据平行线的性质可得，然后利用三角形外角的性质进行计算即可解答．
【详解】解：如图：

由题意得：，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
知识点2：8字模型
①已知AD，BC相交于O，则∠A+∠B=∠C+∠D
②已知线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD，则∠P= (∠B+∠D)
【必考点2 8字模型】
【例2】（浙江金华·期末）如图，平分，交于点F，平分交于点E，与相交于点G，．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ADP= ，然后利用三角形外角的性质即可得解；
（2）根据角平分线的定义可得∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，再根据三角形的内角和定理可得∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，所以∠A+∠C=2∠P，即可得解．
【详解】解：（1）∵DP平分∠ADC，
∴∠ADP=∠PDF= ，
∵，
∴，
∴；
（2）∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，
∴∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，
∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，
∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，
∴∠A+∠C=2∠P，
∵∠A=42°，∠C=38°，
∴∠P=（38°+42°）=40°．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，角平分线的定义，熟记定理并理解“8字形”的等式是解题的关键．
【变式2-1】（河南漯河·期末）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（ ）
A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D
【答案】D
【分析】利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可．
【详解】∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC，
∴∠B＝∠D，
∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D，
∴∠2＞∠D，
故选项A，B，C正确，
故选D．
【点睛】本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键．
【变式2-2】（北京怀柔·期末）如图，在由线段组成的平面图形中，，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图标记，然后利用三角形的外角性质得，，再利用互为邻补角，即可得答案．
【详解】解：如下图标记，
，
，
，
又，
，
，
，
故选C．
【点睛】此题考查了三角形的外角性质与邻补角的意义，熟练掌握并灵活运用三角形的外角性质与邻补角的意义是解答此题的关键．
【变式2-3】（全国·专题练习）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H六个角的和．
【答案】360°
【分析】根据三角形内角和外角的性质可得：∠G＋∠D＝∠3，∠F＋∠C＝∠4，∠E＋∠H＝∠2，再根据三角形内角和定理可得答案．
【详解】解：∵∠G＋∠D＝∠3，∠F＋∠C＝∠4，∠E＋∠H＝∠2，
∴∠G＋∠D＋∠F＋∠C＋∠E＋∠H＝∠3＋∠4＋∠2，
∵∠B＋∠2＋∠1＝180°，∠3＋∠5＋∠A＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠2＋∠4＋∠3＝360°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝360°．
【点睛】此题主要考查了三角形内角与外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
知识点3：飞镖模型
①已知四边形ABCD，则∠C=∠A+∠B+∠D
②已知四边形ABCD，线段BO平分∠ABC，线段OD平分∠ADC，则∠O= (∠A+∠C)
【必考点3 飞镖模型】
【例3】（23-24·河北秦皇岛·一模）如图，用铁丝折成一个四边形ABCD（点C在直线BD的上方），且∠A=70°，∠BCD=120°，若使∠ABC、∠ADC平分线的夹角∠E的度数为100°，可保持∠A不变，将∠BCD （填“增大”或“减小”） °．
【答案】 增大 10
【分析】利用三角形的外角性质先求得∠ABE+∠ADE=30°，根据角平分线的定义得到∠ABC+∠ADC=60°，再利用三角形的外角性质求解即可．
【详解】解：如图，连接AE并延长，连接AC并延长，
∠BED=∠BEF+∠DEF=∠ABE+∠BAD+∠ADE=100°，
∵∠BAD＝70°，
∴∠ABE+∠ADE=30°，
∵BE，DE分别是∠ABC、∠ADC平分线，
∴∠ABC+∠ADC=2（∠ABE+∠ADE）=60°，
同上可得，∠BCD=∠BAD+∠ABC+∠ADC=130°，130°-120°=10°，
∴∠BCD增大了10°．
故答案为：增大，10．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识，熟练运用题目中所给的结论是解题的关键．
【变式3-1】（江苏苏州·阶段练习）在社会实践手工课上，小茗同学设计了如上图这样一个零件，如果，那么 ．

【答案】70
【分析】延长、，交于点G，连接，根据三角形内角和定理和四边形的内角和为即可求解．
【详解】解：延长、，交于点G，连接，如图，

∴，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：70．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理．正确的作出辅助线是解题关键．
【变式3-2】（全国·专题练习）如图，若，则 ．
【答案】230°
【分析】根据三角形外角的性质，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，即可得到结论．
【详解】解：如图
∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，
∴∠E+∠D+∠C=115°，
∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，
∴∠A+∠B+∠F=115°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°，
故答案为：230°．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决本题的关键是要熟练掌握三角形外角性质．
【变式3-3】（23-24·河北邯郸·一模）嘉嘉在作业本上画了一个四边形，并标出部分数据（如图），淇淇说，这四个数据中有一个是标错的；嘉嘉经过认真思考后，进行如下修改：若保持不变，则将图中 （填“增大”或“减小”） 度，淇淇说，“改得不错”．
【答案】 增大 5
【分析】连接，利用三角形的内角和计算即可．
【详解】解：连接，
故答案为：增大，5
【点睛】本题主要考查三角形的内角和，添加辅助线利用三角形内角和计算是解决本题的关键．
知识点4：双垂直模型
已知∠B=∠D=∠ACE=90°.则∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.
【证明】∵∠B=∠D=∠ACE=90°；∴∠BAC+∠ACB=90°；又∠ECD+∠ACB=90°；∴∠BAC=∠DCE
同理,∠ACB+∠DCE =90°，且∠CED+∠DCE =90°；∴∠ACB=∠CED，得证.
【必考点4 双垂直模型】
【例4】（广东珠海·期末）如图1，AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，点E在线段BC上，且AE⊥DE．
（1）求证：∠EAB＝∠CED；
（2）如图2，AF、DF分别平分∠BAE和∠CDE，则∠F的度数是 （直接写出答案即可）；
（3）如图3，EH平分∠CED，EH的反向延长线交∠BAE的平分线AF于点G．求证：EG⊥AF．（提示：三角形内角和等于180°）
【答案】（1）见解析；（2）45°；（3）见解析
【分析】（1）利用同角的余角相等即可证明；
（2）过点F作FM∥AB，利用∠DFA=∠DFM+∠AFM=∠CDE+∠EAB=（∠CDE+∠EAB）即可解决问题；
（3）想办法证明∠EAG+∠AEG=90°即可解决问题.
【详解】解：（1）∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵AE⊥DE，
∴∠AED＝90°，
∴∠AEB+∠CED＝90°，
∴∠BAE＝∠CED．
（2）解：答案为45°；
过点F作FM∥AB，如图，
∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴AB∥CD，
∵∠C＝90°，
∴∠CED+∠CDE＝90°，
∵∠BAE＝∠CED，
∴∠BAE+∠CDE＝90°，
∵AF、DF分别平分∠BAE和∠CDE，
∴∠CDF＝∠CDE，∠BAF＝∠BAE，
∴∠CDF+∠BAF＝（∠BAE+∠CDE）＝45°，
∵FM∥AB∥CD，
∴∠CDF＝∠DFM，∠BAF＝∠AFM，
∴∠AFD＝∠CDF+∠BAF＝45°．
（3）∵EH平分∠CED，
∴∠CEH＝∠CED，
∴∠BEG＝∠CED，
∵AF平分∠BAE，
∴∠BAG＝∠BAE，
∵∠BAE＝∠CED，
∴∠BAG＝∠BEG，
∵∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠BAG+∠GAE+∠AEB＝90°，
即∠GAE+∠AEB+∠BEG＝90°，
∴∠AGE＝90°，
∴EG⊥AF．
【点睛】本题考查三角形内角和定理、平行线的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
【变式4-1】（陕西西安·期末）如图，在等腰中，，为的中点，，垂足为，过点作交的延长线于点，连接．
(1)求证：．
(2)连接，试判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)为等腰直角三角形；理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质及等腰三角形性质和判定．
（1）欲求证，先证明，需证明，利用三角形全等，易证．
（2）要判断的形状，看其边有无关系．根据（1）的推导，易证，从而判断其形状．
【详解】（1）证明：在等腰直角中，
，
，
∵，
，
，
∵，
，
，
，
又为的中点，
，
即，
在和中，
，
．
．
，
，
即．
（2）解：是等腰三角形，理由为：
连接，如图所示，
由（1）知：，
，
是等腰直角三角形，且是的平分线，
垂直平分，
，
，
，
是等腰三角形．
【变式4-2】（山西晋中·期中）请把下面的证明过程补充完整
如图，在中，是角平分线，是高，、相交于点，求证：．
证明： 平分（已知），
（ ① ），
（已知），
（ ② ），
是的高（已知），
（三角形高的定义），
（ ③ ），（直角三角形的两个锐角互余），
（ ④ ），
（ ⑤ ），
（ ⑥ ），
（ ⑦ ）．
【答案】①角平分线的定义；②直角三角形的两锐角互余；③；④等角的余角相等；⑤对顶角相等；⑥等量代换；⑦等角对等边
【分析】本题考查的是直角三角形的性质、角平分线的定义，等腰三角形的判定，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
根据角平分线的定义、直角三角形的性质、对顶角相等、等角对等边解答即可．
【详解】证明：平分（已知），
（角平分线的定义），
（已知），
（直角三角形的两锐角互余），
是的高（已知），
（三角形高的定义），
（直角三角形的两锐角互余），
（等角的余角相等），
（对顶角相等），
（等量代换），
∴（等角对等边）．
故答案为：角平分线的定义；直角三角形的两锐角互余；；等角的余角相等；对顶角相等；等量代换；等角对等边．
【变式4-3】（江苏扬州·阶段练习）在中，，，点是的中点，点是射线上的一个动点点不与点、、重合，过点作于点，过点作于点，连接，．

(问题探究)
如图1，当点在线段上运动时，延长交于点．
（1）求证：；
（2）与的数量关系为：　　(直接写结论，不需说明理由)；
(拓展延伸)
（3）①如图，当点在线段上运动，的延长线与的延长线交于点，的大小是否变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由；
②当点在射线上运动时，若，，直接写出的面积，不需证明．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）①的大小不变，；②满足条件的的面积为或
【分析】（1）根据等角的余角相等得出，证明；
（2）证明得出，则，等量代换可得；
（3）①证明，进而证明证明得出；
②根据题意画出图形，分类讨论，根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】（1）证明：如图1中，

，，
，
，，
，
在和中，
，
；
（2）解：结论：．
理由：，，
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
（3）解：①如图中，结论：的大小不变，．

理由：，，
，
，，
，
在和中，
，
；
，，
，，
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
根据可得：
；
②如图中，当，时，，

如图中，当，时，，

综上所述，满足条件的的面积为或．
【点睛】本题考查了全等三角形的证明与性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的动点问题以及三角形求面积的问题，正确掌握知识点是解题的关键．
知识点5：老鹰抓小鸡模型
如图，图1：∠A+∠O=∠1+∠2；图2：∠A+∠O=∠2-∠1
图1 图2
【必考点5 老鹰抓小鸡模型】
【例5】（江苏扬州·阶段练习）如图，把△沿对折，叠合后的图形如图所示．若，，则∠2的度数为（ ）
A．24° B．35° C．30° D．25°
【答案】D
【分析】根据三角形内角和定理可得∠AEF+∠AFE=120°，再根据邻补角的性质可得∠FEB+∠EFC=360°-120°=240°，再根据由折叠可得：∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=240°，然后计算出∠1+∠2的度数，即可求得∠2的度数．
【详解】∵∠A=60°，
∴∠AEF+∠AFE=180°-60°=120°，
∴∠FEB+∠EFC=360°-120°=240°，
∵由折叠可得：∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=240°，
∴∠1+∠2=240°-120°=120°，
∵∠1=95°，
∴∠2=120°-95°=25°，
故选D．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，熟记定理及性质并准确识图是解题的关键．
【变式5-1】（重庆渝北·阶段练习）如图，将沿着翻折，使B点与点重合，若，则的度数为 ．

【答案】/40度
【分析】由翻折的性质可知，，，，由，，，可得，根据，计算求解即可．
【详解】解：由翻折的性质可知，，，，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折的性质，三角形内角和定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【变式5-2】（安徽铜陵·期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠1＋∠2＝120°，则∠BA′C的度数为（ ）
A．120° B．110° C．100° D．90°
【答案】A
【详解】由∠BDE、∠CED是△ADE的两个外角知∠BDE＝∠A+∠AED、∠CED＝∠A+∠ADE，据此得∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE，推出∠1+∠2＝2∠A得到∠A＝60°，根据BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB知∠A'BC+∠A'CB＝（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣∠A．利用∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'CB）可得答案．
解：∵∠BDE、∠CED是△ADE的两个外角，
∴∠BDE＝∠A+∠AED，∠CED＝∠A+∠ADE，
∴∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE，
∴∠1+∠ADE+∠2+∠AED＝2∠A+∠AED+∠ADE，
即∠1+∠2＝2∠A，
∵∠1+∠2＝120°，
∴∠A＝60°，
∵BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB，
∴∠A'BC+∠A'CB＝（∠ABC+∠ACB）
＝（180°﹣∠A）
＝90°﹣∠A．
∴∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'CB），
＝180°﹣（90°﹣∠A）
＝90°+∠A
＝90°+×60°
＝120°．
故选：A．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，属于中考常考题型．
【变式5-3】（山东烟台·期中）折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．已知在△ABC中，请根据题意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1－∠2）与∠A的数量关系．
(1)如图①，若∠A＝80°，沿图中虚线DE截去∠A，则∠1+∠2＝_______．
(2)如图②，若∠A＝80°，沿图中虚线DE将∠A翻折，使点A落在BC上的点A’处，则∠1+∠2=_______．
(3)如图③，翻折后，点A落在点A’处，若∠1+∠2＝80°，求∠B+∠C的度数
(4)如图④，△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A’处，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度数．
【答案】(1)260°
(2)160°
(3)
(4)
【分析】（1）根据三角形内角和定理得出∠B+∠C＝180°-80°=100°，再由平角进行求解即可；
（2）利用翻折的性质得出∠EDA’=∠ADE，∠AED=∠DEA’,根据三角形内角和定理得出∠ADE+∠AED＝100°，结合图形，由平角及各角之间的关系进行计算即可‘
（3）连接．根据三角形外角的性质得出∠1=∠DAA’+∠DA’A，∠2=∠EAA’+∠EA’A，然后利用各角之间的数量关系得出，再由三角形内角和定理即可求解；
（4）设AB与交于点F，根据三角形外角得出，，再由折叠的性质得出，结合图形及各角之间的数量关系进行求解即可
【详解】（1）解：∵∠A＝80°，
∴∠ADE+∠AED＝180°-80°=100°，
∴，
故答案为：260°；
（2）∵∠A＝80°，
∴∠ADE+∠AED＝180°-80°=100°，
∵翻折，
∴∠EDA’=∠ADE，∠AED=∠DEA’,
∴∠ADA’+∠AEA’＝2(∠ADE+∠AED)=200°，
∴∠1+∠2=360°-(∠ADA’+∠AEA’)=160°，
故答案为：160°；
（3）解：连接．如图所示：
∵∠1=∠DAA’+∠DA’A，∠2=∠EAA’+∠EA’A，
∴∠1+∠2=∠DAA’+∠DA’A+∠EAA’+∠EA’A=∠EAD+∠EA’D，
∵，
∴，
∴，
∴．
（4）解：如图，设AB与交于点F，
∵，，
由折叠可得，，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
【点睛】题目主要考查三角形内角和定理及三角形外角的性质，平角的定义等，理解题意，作出相应辅助线求解是解题关键．
知识点6：两内角角平分线模型
在△ABC中，BI、CI分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且相交于点I. 则
【必考点6 两内角角平分线模型】
【例6】（河南信阳·开学考试）如图，，都是的角平分线，且交于点，，，则的度数为 ．
【答案】/25度
【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线，利用角平分线的定义结合三角形内角和定理找出的度数是解题的关键．根据角平分线的定义可得出、，结合三角形内角和可得出，由三角形的三条角平分线交于一点，可得出平分，进而可得出的度数，此题得解．
【详解】解：平分，平分，，，
，，
．
的三条角平分线交于一点，
平分，
．
故答案为：．
【变式6-1】（全国·课后作业）如图，在中，和的平分线，相交于点，若，则的度数为 ．
【答案】/123度
【分析】本题考查角平分线和三角形内角和定理，熟练利用角平分线的性质和三角形内角和定理找出题目中角的等量关系是解答本题的关键．由角平分线的性质可知，，再由三角形内角和定理可知，即可求解．
【详解】 ，
，
和分别是和的平分线，
，，
，
故答案为：．
【变式6-2】（河南信阳·开学考试）如图，在中，是边上的高，，分别是和的角平分线，它们相交于点，．求的度数．

【答案】．
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，以及余角的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确求出，从而求出答案．
根据角平分线的性质，由，得到，然后得到，由余角的性质，即可求出答案．
【详解】解：，分别是和的角平分线，
，．
，
，
．
是边上的高
，
．
【变式6-3】（山东烟台·期末）如图，在中，，，分别平分和，且相交于，，于点G，则下列结论：①；②；③：④；⑤是等腰直角三角形，其中正确的结论是（ ）
A．①③④⑤ B．①②③④ C．①②③ D．①③④
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知平行线的性质，角平分线的定义是解题的关键．
根据平行线的性质与角平分线的定义即可判断①；只需要证明，，即可判断④；根据角平分线的定义和三角形内角和定理先推出，即可判断②③；根据现有条件无法推出⑤．
【详解】解：平分，
，
，
，故①正确；
，，，
，，即，
，
又，
，故④正确；
，
，
，分别平分，，
，
，
，
∵
∴，
，故③正确；
，
，故②错误；
∵
∴是直角三角形，
根据现有条件，无法推出，即无法得到是等腰直角三角形，故⑤错误；
∴正确的有①③④，
故选：D．
知识点7：两外角角平分线模型
在△ABC中，BI、CI分别是△ABC的外角的角平分线，且相交于点O. 则.
【证明】∵BO是∠EBC平分线，∴，∵CO是∠FCB平分线，∴
由△BCO中内角和定理可知：
∠O=180°-∠2-∠5=180°--=180°--===
【必考点7 两外角角平分线模型】
【例7】（全国·专题练习）如图，在中，，三角形两外角的角平分线交于点E，则 ．
【答案】61°
【分析】先根据三角形的内角和定理和平角定义求得∠DAC+∠ACF的度数，再根据角平分线的定义求得∠EAC+∠ECA的度数，即可解答．
【详解】解：∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°，
∴∠BAC+∠BCA=180°﹣∠B=180°﹣58°=122°，
∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°，
∴∠DAC+∠ACF=360°﹣（∠BAC+∠BCA）=360°﹣122°=238°，
∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF，
∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF，
∴∠EAC+∠ECA =（∠DAC+∠ACF）=119°，
∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，
∴∠AEC=180°﹣（∠EAC+∠ECA）=180°﹣119°=61°，
故答案为：61°．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、平角定义，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解答的关键．
【变式7-1】（河南郑州·阶段练习）如图，是两外角平分线的交点，是的两外角平分线的交点，，在上，又，在上；如果，那么 度．
【答案】66
【分析】利用角平分线的定义和三角形、四边形的内角和可求得：，，所以．
【详解】解：因为是两外角平分线的交点，
∴，
∵是两外角平分线的交点，
∴，
∴．
故答案为：66．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质和三角形外角的性质，结合图形熟练运用定理和性质进行求解是解题的关键．
【变式7-2】（山东聊城·期末）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，D是∠ACF与∠ABC平分线的交点，E是△ABC的两外角平分线的交点，若∠BOC=130°，则∠D的度数为 （ ）
A．25° B．30° C．40° D．50°
【答案】C
【分析】根据角平分线的定义和平角定义可得∠OCD＝∠ACO＋∠ACD＝90°，根据外角的性质可得，继而即可求解．
【详解】解：∵平分，平分的外角，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选择C．
【点睛】本题考查角平分线的定义，平角定义，三角形的外角性质，解题的关键是根据角平分线定义和平角定义可得∠OCD＝90°，根据外角的性质求得．
【变式7-3】（全国·课后作业）（分类讨论思想）的两外角平分线交于点．

(1)如图1，若，则的度数为__________．
(2)如图2，过点作直线，分别交射线于点，若设，，则与的数量关系是__________．
(3)在（2）的条件下，将直线绕点转动．
①如图3，当直线与线段没有交点时，试探索与，之间的数量关系，并说明理由．
②当直线与线段有交点时，试问①中与，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请给出三者之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)
(3)①，见解析；②不成立，或
【分析】（1）由三角形内角和定理可得，从而可得，再由角平分线的定义可得，最后由三角形内角和定理可得，进行计算即可；
（2）由（1）可得由（1）可得，再由代入进行计算即可；
（3）①根据（1）中的结论，以及平角的定义，即可得到答案；②分两种情况进行讨论：根据（1）中的结论，以及平角的定义，即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
，，
，
和分别是和的平分线，
，，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：，
由（1）可得，
，
，
即．
（3）解：①当直线与线段没有交点时，，
理由如下：
∵，，
∴，
即；
②当直线与线段有交点时，①中与，之间的数量关系不成立，需分两种情况讨论：
a．如图1，当在线段上，在射线上时，，
，
∵，，
∴，
即，
b．如图2，当在射线上，在线段上时，，
，
∵，，
∴，
即．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、平角的定义等知识，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键．
知识点8：一内一外角角平分线模型
已知△ABC中，BP、CP分别是△ABC的内角和外角的角平分线，且相交于点P. 则
【证明】 ∵BP是∠ABC平分线，∴ ∵CP是∠ACE平分线，∴
由△ABC外角定理可知：∠ACE=∠ABC+∠A即：2∠1=2∠3+∠A ……①
对①式两边同时除以2，得：∠1=∠3+ ……②又在△BPC中由外角定理可知：∠1=∠3+∠P ……③
比较②③式子可知：.
【必考点8 一内一外角角平分线模型】
【例8】（江苏泰州·期末）如图，点分别在上运动（不与重合），是的平分线，的反向延长线交的平分线于点．知道下列哪个条件①；②；③；④的值，不能求大小的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【分析】本题考查三角形外角的性质与内角和定理，根据三角形外角的性质及角平分线的定义可得，可判断③，再利用三角形外角的性质得到，等量代换可判断②，根据三角形内角和定理及等量代换可判断①和④，即可求解．
【详解】解：∵是的平分线，的反向延长线交的平分线于点，
∴，，
∵，
∴，
∴③能求出的大小；
∵，
∴，
∴②能求出的大小；
∵，
∴
∵，
∴，
∴①能求出的大小，④不能求出的大小；
故选：D．
【变式8-1】（四川遂宁·开学考试）如图，点D为边的延长线上一点，若，，的角平分线与的角平分线交于点M，则 度．
【答案】30
【分析】本题考查了三角形的外角定理，与角平分线有关的计算．解题的关键是掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，以及角平分线的定义．
先根据，，求出，进而得出，最后根据三角形的外角定理即可解答．
【详解】解：∵，
∴
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
故答案为：30．
【变式8-2】（四川眉山·开学考试）如图，，、、分别平分、和．以下结论：①；②；③平分；④．其中正确的结论有 ．（填序号）
【答案】①②④
【分析】证明，由三角形外角得，且，得出，再由平行线的判定即可判断出①是否正确；由，得出，再由平分，所以，，进而可判断出②是否正确；假设平分，推出与题干不符的结论，进而可判断出③是否正确，由，利用角的关系得，进而可判断出④是否正确；
【详解】解：①∵平分的外角，
∴，
∵，且，
∴，
∴，故①正确；
②由（1）可知，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，故②正确；
③若平分，
∴，
∵，
∴，
∴，与题干条件矛盾．故③错误.
④在中，，
∵平分的外角，
∴，
∵，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，故④正确；
故答案为：①②④
【点睛】此题考查三角形的外角性质，平行线的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，解题关键在于掌握外角性质.
【变式8-3】（河南开封·期末）如图，在中，，的内角与外角的平分线相交于点，得到；与的平分线相交于点，得到；……按此规律继续下去，与的平分线相交于点，要使的度数为整数，则的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形的内角和，三角形的外角定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和是解题的关键．先根据外角和定理得出，再根据题意总结出规律，即可得到答案．
【详解】解：是的一个外角，
，
的内角与外角的平分线相交于点，得到；与的平分线相交于点，
，
，
同理可得，，
，
，
，
，
的度数为整数，，
的最大值为．
故选B．
知识点9：三角形折叠模型
①将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在线段AC上时，则∠2=2∠C.
②将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时,则2∠C=∠1+∠2或 ∠C=（∠1+∠2）
③将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时,则2∠C=∠2-∠1或 ∠C=（∠2-∠1）.
【必考点9 三角形折叠模型】
【例9】（河南信阳·开学考试）如图所示，将三角形纸片沿折叠．
(1)当点A落在四边形内部时，、、的度数之间有怎样的数量关系？请你把它找出来，并说明你的理由；
(2)当点A落在四边形外部时，、、的度数之间又有怎样的数量关系？直接写出结论，不用说明理由．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理翻折的性质，整体思想的利用是解题的关键．
（1）根据翻折的性质表示出，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；
（2）先根据翻折的性质以及平角的定义表示出，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．
【详解】（1）解：，理由如下：
如图，
根据翻折的性质，，，
，
，
整理得，；
（2），理由如下：
如图：
根据翻折的性质，，，
，
，
整理得，．
【变式9-1】（上海·期中）如图，在锐角中，D、E分别是边和上的点，将这个纸片沿折叠，点A落在点F的位置．如果，，那么 ．
【答案】/55度
【分析】本题考查的是翻折问题和三角形内角和定理，先根据平行线的性质求出的度数，再由求出的度数，根据翻折变换的性质求出的度数，根据三角形内角和定理即可得出的度数．
【详解】解：∵，
∴．
∵由翻折而成，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：55°．
【变式9-2】（河南南阳·期末）在中，，，点D在边上，将沿翻折后得到，边和边重合时结束，边交边于点F．若折叠过程中，中有两个角相等，则此时的度数为 ．
【答案】或
【分析】设，根据三角形的外角性质可得，求得，根据折叠的性质可得，，求得，根据三角形内角和定理求得，分、、三种情况，列方程解答即可求解．
【详解】解：设，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，，
∴，
∴，
当中有两个角相等，分三种情况：
当时，则，（舍去）；
当时，则，；
当时，则，；
故答案为：或．
【点睛】本题考查了折叠的性质，直角三角形两锐角互余，三角形的外角性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上性质是解题的关键．
【变式9-3】 （四川宜宾·期末）在三角形纸片中，，点D为边上靠近点C处一定点，点E为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点C落在点处．有以下四个结论：
①如图1，当点落在BC边上时，；
②如图2，当点落在△ABC内部时，；
③如图3，当点落在△ABC上方时，；
④当时，或，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形外角的性质，三角形内角和及平行线的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．由折叠的性质及三角形外角的性质、三角形内角和可判断①②③；分点落在△ABC上方与下方两种情况，由平行线的性质、折叠的性质、三角形外角的性质与三角形内角和即可判断④．
【详解】解：当点落在BC边上时，
由折叠性质得：，
则，
，
故①正确；
当点落在△ABC内部时，
由折叠性质得：，
又，
，
，
；
故②正确；
当点落在△ABC上方时，
由折叠性质得：，
又，
，
，
；
即；
故③正确；
当时，
若点在下方，如图，
，
；
由折叠性质得：，
即；
而，
，
，
即；
若点在上方，如图，
，
；
由折叠性质得：，
，
综上，或；
故④正确．
故选：D．
与三角形的角有关的五大类型解答题专项训练（40题）
【必考点1 与三角形的角有关的挖空题】
1．（吉林长春·期末）如图，在中，D是边上一点，，，．
求：（1）的度数；
（2）的度数．
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：（1）∵是的外角（已知），
∴ + ＝（ ）．
又∵（已知），
∴ （等量代换）．
（2）∵ （ ），
∴（等式的性质），
，
＝ ．
【答案】（1）；；三角形外角性质；；（2）；三角形内角和定理，．
【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，熟练掌握三角形的内角和定理，三角形的外角性质是解决问题的关键．
（1）根据三角形外角性质得，再根据，得，据此可得的度数；
（2）根据三角形内角和定理得，再根据，可得出的度数．
【详解】解：（1）∵是的外角（已知），
∴（三角形外角性质）．
又∵（已知），
∴（等量代换）．
故答案为：；；三角形外角性质；．
（2）∵（三角形内角和定理），
∴（等式的性质），
，
．
故答案为：；三角形内角和定理，．
2．（河南南阳·期末）如图所示，在中，平分，点为线段上的一个动点，交的延长线于点．
（1）若，，求的度数；
解：（在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式））
∵，（已知）
（ ）
∴（等式的性质）
（等量代换）
∵平分（ ）
∴ = （角平分线的定义）
∴ =35°+ = （ ）
∵（已知）
∴（ ）
在直角三角形中，
∵（ ）
∴（等式的性质）
（等量代换）
．
（2）当点在线段上运动时，设，，求的大小．（用含，的代数式表示）（请类比（1）的解答过程，解答该题，可以不写理由）
【答案】（1）180°，三角形的内角和等于180°，CAD，60°，30°，30°，65°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，垂直的定义，直角三角形的两个锐角互余，65°，25°；（2）
【分析】（1）根据题中所给推理过程可直接进行求解；
（2）由题意易得，，则有，，然后根据余角可进行求解．
【详解】解：（在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式））
∵，（已知）
180°（三角形的内角和等于180°）
∴（等式的性质）
（等量代换）
∵平分（已知）
∴ ×60°=30°（角平分线的定义）
∴ =35°+30°=65°（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
∵（已知）
∴（垂直的定义）
在直角三角形中，
∵（直角三角形的两个锐角互余）
∴（等式的性质）
65°（等量代换）
25°．
故答案为180°，三角形的内角和等于180°，CAD，60°，30°，30°，65°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，垂直的定义，直角三角形的两个锐角互余，65°，25°；
（2）解：∵，
∴
∵平分
∴
∴
∵
∴
在直角三角形中，
∵
∴
．
【点睛】本题主要考查三角形内角和、三角形外角的性质、角平分线的定义及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握三角形内角和、三角形外角的性质、角平分线的定义及直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．
3．（吉林长春·期末）如图，在直角三角形中，是斜边上的高，，求：
（）的度数；
（）的度数．

对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：（）∵（已知），
∴______，
∵（___ ____），
∴___________（等量代换），
（）∵（_______），
∴（等式的性质），
∵（已知），
∴___________（等量代换）．
你还能用其他方法解决这一问题吗？
【答案】（）；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；；；（）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；；．
【分析】（）由可得，由三角形的外角性质可得，代入已知计算即可求解；
（）由三角形的外角性质可得，代入已知计算即可求解；
本题考查了三角形的外角性质，垂直的定义，掌握三角形的外角性质是解题的关键．
【详解】解：（）∵（已知），
∴，
∵（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），
∴（等量代换），
故答案为：；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；；；
（）∵（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），
∴（等式的性质），
∵（已知），
∴（等量代换），
故答案为：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；；．
4．（重庆沙坪坝·期末）如图，在中，，的平分线交于点D，交于点E，，求及的度数．
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：∵（已知），
∴① （两直线平行，内错角相等）．
又∵（已知），
∴（等量代换），
∵平分（已知），
∴②　 　 （角平分线的定义）．
∴（等量代换）．
∵是的外角（已知），
∴③　 　（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）．
又∵（已知），
∴．
∴（④　 　），
∴⑤　 　（等式的性质）
．

【答案】①；②；③；④三角形内角和定理；⑤
【分析】根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，根据三角形外角性质得出，根据三角形内角和定理得出，求出结果即可．
【详解】解：∵（已知），
∴①（两直线平行，内错角相等）．
又∵（已知），
∴（等量代换），
∵平分（已知），
∴②（角平分线的定义）．
∴（等量代换）．
∵是的外角（已知），
∴③（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）．
又∵（已知），
∴．
∴（④三角形内角和定理），
∴⑤（等式的性质）
．
故答案为：①；②；③；④三角形内角和定理；⑤．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键熟练掌握平行线的性质和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
5．（重庆沙坪坝·期末）如图，在中，．、分别是、边上一点，连接、，与相交于点．若，，请说明．对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：是的外角（已知），
______（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）．
同理可得：______．
又（已知），
______（等式性质）．
______（三角形内角和等于），
，（已知），
（等式的性质），
，
______°（等量代换）．
【答案】；；；；90
【分析】本题考查三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、三角形内角和等于是解题的关键．
根据三角形外角的性质，三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：是的外角（已知），
（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）．
同理可得：．
又（已知），
（等式性质）．
（三角形内角和等于），
，（已知），
（等式的性质），
，
（等量代换）．
故答案为：；；；；90．
6．（福建泉州·期末）如图，在中，点在边上，点在边上，连接，，已知，，，且，求的度数．
对于上述问题，在以下解答过程中的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．

解：在中，（____ ______），
，（已知），
∴___ ___（等量代换），
∵（已知），
∴（等量代换），
在中，（三角形内角和等于180°），
又∵（______ ____），
∴（等式的性质），
∵（______ ____），
∴（等量代换）
【答案】见解析
【分析】根据三角形的内角和定理，以及三角形的外角的性质，进行作答即可．
【详解】在中，（三角形内角和等于180°），
，（已知），
∴（等量代换），
∵（已知），
∴（等量代换），
在中，（三角形内角和等于180°），
又∵（已知），
∴（等式的性质），
∵（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和），
∴（等量代换）

【点睛】本题考查三角形的内角和定理，以及三角形的外角．熟练掌握三角形的内角和为180°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，是解题的关键．
7．（吉林长春·期末）【问题】
如图①，在中，，平分，平分．求的度数，对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：∵（_______________），
∴_____________（等式性质）．
∵（已知），
∴_____________（等量代换）．
∵平分（已知），
∴（角平分线的定义）．
同理，__________．
∴__________（等式性质）．
∵，
∴__________（等式性质）．
【拓展】如图②，在中，，平分，平分．
则（__________）．
【应用】如图③，在中，平分，平分，平分，平分．若，则（__________）．
【答案】[问题]三角形内角和定理；180° ∠A；100°；∠ACB；50°；130°；[拓展] 90°＋；[应用] 40°．
【分析】[问题]由三角形内角和定理可得∠ABC＋∠ACB＋∠A＝180°，从而求得∠ABC＋∠ACB＝100°，由角平分线的定义可得∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，再次利用三角形内角和定理可求∠D的度数；
[拓展]由三角形内角和定理可得∠ABC＋∠ACB＋∠A＝180°，从而求得∠ABC＋∠ACB＝180° α，由角平分线的定义可得∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，再次利用三角形内角和定理可求∠D的度数；
[应用]利用[拓展]中的结论先求出∠D的度数，再次利用[拓展]中的结论求出∠A即可．
【详解】解：[问题]∵∠ABC＋∠ACB＋∠A＝180°（三角形内角和定理），
∴∠ABC＋∠ACB＝180° ∠A（等式性质），
∵∠A＝80°（已知），
∴∠ABC＋∠ACB＝100°（等量代换），
∵DB平分∠ABC（已知），
∴∠DBC＝∠ABC（角平分线的定义）．
同理，∠DCB＝∠ACB．
∴∠DBC＋∠DCB＝(∠ABC＋∠ACB)＝50°（等式性质）．
∵∠DBC＋∠DCB＋∠D＝180°，
∴∠D＝180° （∠DBC＋∠DCB）＝130°（等式性质）．
故答案为：三角形内角和定理；180° ∠A；100°；∠ACB；50°；130°；
[拓展]∵∠ABC＋∠ACB＋∠A＝180°（三角形内角和定理），
∴∠ABC＋∠ACB＝180° ∠A（等式性质），
∵∠A＝α（已知），
∴∠ABC＋∠ACB＝180° α（等量代换），
∵DB平分∠ABC（已知），
∴∠DBC＝∠ABC（角平分线的定义）．
同理，∠DCB＝∠ACB，
∴∠DBC＋∠DCB＝ (∠ABC＋∠ACB)＝90° （等式性质），
∵∠DBC＋∠DCB＋∠D＝180°，
∴∠D＝180° （∠DBC＋∠DCB）＝90°＋；
故答案为：90°＋；
[应用]由[拓展]可知：∠E＝90°＋，
∵，
∴，
∴，
又由[拓展]可得：，
∴，
∴，
故答案为：40°．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．
8．（河南南阳·阶段练习）互动学习课堂上，某小组同学对一个课题展开了探究．
(1)已知：如图，在中，和的平分线相交于点P，试探究和的关系．请在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由成数学式）．
解：延长交于点D．
，（__________），
．
和的平分线相交于点P，
，（角平分线定义），
．
（__________），
（等式的性质），
__________．
(2)如图，在中，的平分线和外角的平分线相交于点P，试探究和的关系，并说明理由．
(3)如图，的外角的平分线和的平分线相交于点P，若，则的度数为__________．
【答案】(1)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的内角和是；
(2)，理由见解析
(3)
【分析】本题考查了是角平分线的定义，三角形外角性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握角平分线的定义和三角形的内角和定理；
（1） 根据提供的信息，，，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，，在同一个三角形内，属于三角形内角和定理，然后根据等式的性质整理即可得到结论；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得，，再利用角平分线得定义得，，
，然后整理即可得到和的关系的关系；
（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出，，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．
【详解】（1）解：延长交于点D．
，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
．
和的平分线相交于点P，
，（角平分线定义），
．
（三角形的内角和是），
（等式的性质），
．
故答案为：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的内角和是；；
（2）解：，，
的外角的平分线和的平分线相交于点P，
，，
，
，
（3） ，
，
，，
的外角的平分线和的平分线相交于点P，
，，
．
故答案为：
【必考点2 与三角形的角有关的计算】
9．（河南洛阳·期末）如图，在中，于点D，点E为边上一点．
(1)若平分，，，求的度数．
(2)在（1）条件下，直接写出______．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
（1）先求出的度数，即可求出的度数，于是得出的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数；
（2）在中根据三角形内角和定理即可求出的度数．
【详解】（1）解：∵，
∴在中，，
又，
，
又平分，
，
∴在中，，
（2）解：由（1）知，
，
故答案为：．
10．（山东烟台·期末）如图，已知，，，，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查三角形外角性质，平行线性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识是解题的关键，利用三角形外角性质得到，利用平行线性质得到，进而得到，再结合三角形内角和定理，即可求得的度数．
【详解】解： ，，
，
，
，
，
，
，
．
11．（河南鹤壁·期末）如图所示，为的高，，为的角平分线，若，．
(1)求的度数；
(2)若点为线段上任意一点，当为直角三角形时，直接写出的度数．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形外角的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握三角形内角和等于以及分类讨论思想成为解答本题的关键．
（1）根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可；
（2）分和两种情况解答即可．
【详解】（1）解：∵为的角平分线．
∴，，
∵为的高，
∴，
∴，
在中，
，
∵为的角平分线，
∴
∴ ；
（2）解：∵，，
∴，
①当时，
∵，
∴，
∵
∴；
②当时，
∵，
∴，
综上，的度数为或．
12．（河北石家庄·期末）如图①，，点在的两条边上运动，和的平分线交于点．
(1)点在运动过程中，则的度数为______；
(2)如图②，是的平分线，的反向延长线交的延长线于点，点在运动过程中，的大小会变吗？如果不会，求出的度数；如果会，请说明理由．
(3)若，请直接写出______；______．
【答案】(1)
(2)的大小不变，理由见解析
(3)，．
【分析】本题考查的是三角形的内角和定理及三角形外角的性质的运用，解答此题的关键是熟知以下知识：三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和；三角形的内角和是．
先根据三角形内角和定理及角平分线的性质求出的度数，再根据三角形内角和是即可求解；
根据是的平分线，平分可知，，再根据三角形内角和是即可求解；
仿照中的计算方法即可得到，．
【详解】（1）解：在中，由，得，
∵分别平分和，
∴，，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）的大小不变．
证明：∵分别平分和，
∴，，
∴，
即，
∴，
又由可知，
∴，
在中，由，，得
；
（3），．
理由：∵分别平分和，
∴，，
∴，
∴；
∵分别平分和，
∴，，
∵是的外角，
∴，
是的外角，
故答案为：，．
13．（山东聊城·期末）如图，在中，，，平分，，点是从点沿向点运动的一动点，过点作于点．
(1)如图1，当点与点重合时，求的度数；
(2)如图2，当点位于点，之间时，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
（1）根据题意求出，再由角平分线的定义求出，即可得到答案；
（2）由三角形的外角性质得，，即可得到答案．
【详解】（1）解： ，
.
平分，
.
，
.
，
，
；
（2）解：由（1）知，
平分，
.
由三角形的外角性质得，，
．
14．（福建泉州·期末）如图，已知，点C、N分别在的两边上运动（点C、N与点O不重合），平分．
(1)若，试求出的度数；
(2)已知平分交的反向延长线于点F．在点C、N的运动过程中，的度数是否发生改变？若不变，试求出的度数；若发生改变，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不变，
【分析】此题考查了三角形内角和定理、角平分线、三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理和三角形外角的性质是解题的关键．
（1）根据邻补角求出，再利用三角形内角和定理即可求出的度数；
（2）由角平分线得到，，由三角形外角的性质得到，则，即可得到，由即可得到的度数．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，，
∴；
（2）的度数不变，
理由如下：如图所示，
∵平分，平分，
∴，，
∵ ，
∴，
∵ ，
∴，
∵ ，
∴．
15．（河南洛阳·期末）已知直线与互相垂直，垂足为O，点A在射线上运动，点B在射线上运动，点A，B均不与点O重合．
(1)如图1，平分，平分，交于I，则______°．
(2)如图2，平分交于点I，平分，的反向延长线交的延长线于点D．
①直接写出，则______°．
②在点A，B的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由．
【答案】(1)135
(2)①45；②不会发生变化，．
【分析】本题主要考查三角形内角和定理及三角形外角的性质的运用，要求掌握角平分线的性质，渗透由特殊到一般的思想和用字母表示数的意义及分类讨论思想，属八年级压轴题．
（1）由角平分线性和三角形内角和定理，建立和的关系；
（2）①根据（1）中思路，然后根据三角形外角定理进行具体计算即可得到；
②由①的思路，设，用含的代数式表示和，然后代入计算即可证明不变．
【详解】（1）解：∵平分，平分，
，
∵直线与互相垂直，垂足为，
，
，
故答案为：．
（2）解：①∵直线与互相垂直，垂足为，
，
，
∵平分，平分，
，
，
故答案为：45．
②不变，．
设，
∵平分交于点平分，
∴，
∴，
∴不变．
16．（河北张家口·期末）在我们华师版义务教育教科书数学七下第82页，曾经研究过三角形角平分线的夹角问题．明明在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：
【问题改编】
（1）如图1，在中，、的角平分线交于点P，若．则______；
【问题推广】
（2）如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，求的度数；
（3）如图3，在中，分别平分、，M、N、Q分别在的延长线上，分别平分、，分别平分、．若，则的度数为______．（结果用含n的代数式表示）
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，垂线的定义：
（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可；
（2）先由角平分线的定义得到，，再由三角形外角的性质得到，根据三角形内角和定理推出，再由垂线的定义得到，则．
（3）先由角平分线的定义得到，，，，，，再由三角形内角和，根据，得到，由此得解．
【详解】解：（1） ，
，
平分，平分，
，，
，即
；
（2） 平分，平分，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，即，
；
（3） 、分别平分、，
，，
、分别平分、，
，，
、分别平分、，
，，
，，，
，
，
又 ，，，
即，
，
又∵，，
，
，
．
【必考点3 探究与三角形有关的角之间的关系】
17．（吉林长春·期中）将三角形纸片沿直线折叠，使点落在处．
【感知】如果点落在边上，这时图①中的变为，那么与之间的关系是 ;
【探究】如果点落在四边形的内部如图①，那么与、之间存在怎样的数量关系 并说明理由.
【拓展】如果点落在四边形的外部如图②，那么请直接写出与、之间存在数量关系 .

【答案】感知：探究： 拓展：
【分析】[感知]根据三角形外角性质得出，根据折叠性质得出，即可求出答案；
[探究]根据三角形内角和定理得出，，两式相加可得，即，根据平角的定义得出，可得出，根据折叠性质得出，即可得出；
[拓展]根据三角形外角性质得出，，推出，即可得出答案．
【详解】解：[感知]：．
理由如下：当点落在边上时，由折叠可得：；
，
，
故答案为：；
[探究]：．
理由如下：，，
，
，
，
，
由折叠可得：，
，
故答案为：；
[拓展]：如图②，
，，
由折叠可得：，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理的应用，本题主要考查运用定理进行推理和计算的能力．解题的关键是结合图形运用外角的性质列等式求解．
18．（江苏盐城·期中）如图，直线，连接，直线、及线段把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点落在某个部分时，连接，，构成，，三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是角）
(1)当动点落在第①部分时，求证：；
(2)当动点落在第②部分时，是否成立？如果成立，请说明理由；不成立直接写出结论．
(3)当动点落在第③部分时，全面探究，，之间的关系，并写出动点的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．
【答案】(1)证明见解析
(2)不成立．正确结论是
(3)（）当动点在射线的右侧时，结论是；
（）当动点在射线上，结论是：或或，（任写一个即可）；
（）当动点在射线的左侧时，结论是；选择其中一种情况证明见解析
【分析】（1）如图，延长交直线于点，由，可知．由，可知；
（2）过点作的平行线，根据平行线的性质解答即可得到答案；
（3）根据的不同位置，分三种情况讨论，得到结论，并选择其中一种证明即可．
【详解】（1）证明：延长交直线于点，如图所示：
，
，
，
；
（2）解：不成立，正确结论是，
理由如下：过作，如图所示：
，
，
，，
，
；
（3）解：（）当动点在射线的右侧时，结论是；
证明：连接，连接交于，如图所示：
，
．
又（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
；
（）当动点在射线上，结论是；或或，（任写一个即可）；
证明：如图所示：
点在射线上，
，
，
，
或或，；
（）当动点在射线的左侧时，结论是；
证明：连接，连接交于，如图所示：
，
，
，
．
【点睛】本题是一道探索性问题，考查了平行线的性质、外角性质，读懂材料，运用分析研究能力，熟记平行线性质与外角性质求解是解决问题的关键．
19．（山东滨州·期末）如图所示的图形，像我们常见的符号 箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”．
(1)探究：观察“箭头四角形”，试探究图1中与，，之间的关系，并说明理由；
(2)应用：请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：
①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，，若，则___________；
②如图3，，的二等分线（即角平分线），相交于点，若，，求的度数．
【答案】(1)
(2)① ②
【分析】本题主要考查几何变换的综合问题，解题的关键是掌握“箭头四角形”的性质及其运用，学会利用参数解决问题．
（1）如图中，连接并延长到，利用三角形的外角的性质证明即可；
（2）①利用（1）中结论计算即可；
②如图中, 设 利用（1）中结论,求出即可解决问题．
【详解】（1）结论: 理由：
如图1中，连接并延长到，
因为
所以 ，
即；
（2）①如图中,
由（1）知:，
由于
所以 ，
故答案为；
②如图中, 设 ，
由（1）可知:，
，
，
．
20．（山东聊城·期末）如图，在中，，点、是边、上的点，点是平面内一动点．令，，．
(1)若点在线段上，如图1所示，，求的值；
(2)若点在边上运动，如图2所示，则、、之间的关系________；
(3)若点运动到边的延长线上，如图3所示，则、、之间有何关系？猜想并说明理由；
(4)若点运动到外，如图4所示，则请表示、、之间的关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)猜想，理由见解析
(4)，理由见解析
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质：
（1）根据，可得，再根据平角的定义可得，则；
（2）同（1）求解即可；
（3）由三角形的外角的性质知：，，据此可得结论；
（4）由三角形的外角的性质知：，，再由，则．
【详解】（1）解：∵在四边形中，（四边形内角和可以看做连接对角线后两个三角形的内角和），，，
∴
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵在四边形中，（四边形内角和可以看做连接对角线后两个三角形的内角和），，
∴
∵，
∴，
∴；
（3）解：猜想，理由如下：
设交于M，
由三角形的外角的性质知：
，，
，
即；
（4）解：，理由如下：
设交于M，
由三角形的外角的性质知：
，，
，
，，
即，
21．（湖南株洲·期末），直线交于点E，交于点F，点G在上，点P在直线右侧、且在直线和之间，连接、．

(1)写出，，之间的关系，并说明理由．
(2)如图1，连接，若平分，，，．求的度数；
(3)如图2，若平分，的平分线所在的直线与相交于点H，则与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）延长交于点M，利用平行线的性质，三角形外角性质证明即可．
（2）利用平行线的性质，三角形外角性质，角的平分线的意义，等量代换计算即可．
（3）利用平行线的性质，三角形外角性质，角的平分线的意义，等量代换计算即可．
【详解】（1），，之间的关系为．理由如下：
延长交于点M，
∵，
∴，

∵，
∴．
（2）∵，，
∴；

∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴．
（3）与之间的数量关系为：．理由如下：
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，平分，
∴，
∴，
∴，
根据（1）得，
故．

【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，角的平分线的意义，熟练掌握平行线的性质，三角形外角性质是解题的关键．
22．（广东清远·期末）（1）如图①，在四边形中，，，．直接写出与，，之间的关系．
（2）根据图②中的条件，利用（1）中你得出的结论计算的度数．
（3）如图③，在中，设，和的平分线，交于点O，过B作的平行线交的延长线于点，试用含的代数式表示的度数．

【答案】（1）；（2）（3）
【分析】（1） 延长交于点D，利用外角的性质可得，，从而得到；
（2）连接，利用（1）中得出的结论可知：，，两式相加即可得解；
（3）利用角平分线得到，再根据，即可求解．
【详解】解：（1），理由如下：
延长交于点D，如图①：

∵是的外角，
∴．
∵是的外角，
∴，
∴，
即与之间的关系为；
（2）连接，如图②：

根据图②中的条件，利用（1）中得出的结论可知：
，
，
∴，
即；
（3）在中，，
∵和的平分线、交于点O，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴
即用含的代数式表示的度数为
【点睛】本题考查三角形外角的性质和三角形内角和，掌握三角形外角的性质是解题的关键．
23．（山东青岛·期末）中，，点D，E分别是边上的点，点P是一动点，令，．
初探：
(1)如图1，若点P在线段上，且，则________；
(2)如图2，若点P在线段上运动，则之间的关系为__________；
(3)如图3，若点P在线段的延长线上运动，则之间的关系为__________．
再探：
(4)如图4，若点P运动到的内部，写出此时之间的关系，并说明理由．
(5)若点P运动到的外部，请在图5中画出一种情形，写出此时之间的关系，并说明理由．
【答案】(1)130
(2)
(3)
(4)
(5)或
【分析】（1）如图1所示，连接CP，证明∠1+∠2=∠ACB+∠DPE即可得到答案；
（2）只需要证明即可得到答案；
（3）利用三角形外角的性质求解即可；
（4）利用三角形外角的性质求解即可；
（5）根据题意画出图形，利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】（1）解：如图1所示，连接CP，
∵∠1=∠DCP+∠CPD，∠2=∠CPE+∠ECP，
∴∠1+∠2=∠DCP+∠CPD+∠CPE+∠ECP=∠ACB+∠DPE，
∵，，
∴∠1+∠2=130°，
故答案为：130；
（2）解：∵∠1+∠CDP=180°，∠2+∠CEP=180°，
∴∠1+∠2+∠CDP+∠CEP=360°，
∵∠C=70°，，∠CDP+∠CEP+∠C+∠DPE=360°，
∴
故答案为：；
（3）解：设DP与BC交于F，
∵，，
∴，
故答案为：；
（4）解：如图所示，连接CP，
∵∠1=∠DCP+∠CPD，∠2=∠CPE+∠ECP，
∴∠1+∠2=∠DCP+∠DPC+∠ECP+∠COD=∠ACB+360°-∠DPE，
∴；
（5）解：如图5-1所示，∵∠1=∠C+∠COD，∠2=∠P+∠POE，∠COD=∠POE，
∴
如图5-2所示，∵∠1=∠P+∠POD，∠2=∠C+∠COE，∠POD=∠COE，
∴
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，对顶角相等等，熟知三角形外角的性质是解题的关键．
24．（四川内江·期末）中， ，点D、E分别是边上的两个定点，点Р是平面内一动点，记，．
初探:
（1）如图1，若点P在线段上运动，
①当时，则________°；
②之间的关系为:___________________________.
再探:
（2）若点Р运动到边的延长线上，如图2，则之间有何关系 并说明理
拓展:
（3）如图3，写出此时之间的关系，并说明理由．
【答案】（1）①130，②；（2），见解析；（3），见解析．
【分析】（1）①如图1中，连接PC．证明∠1+∠2=∠ACB+∠DPE即可． ②利用①中结论解决问题．
（2）利用三角形的外角的性质解决问题即可．
（3）利用三角形的外角的性质解决问题即可．
【详解】解:（1）①如图1中，连接．
∵，
∴
，
∵，
∴．
②由①可知，，
故答案为：①130，②．
（2）结论:．
理由:如图2中，
∵，
∴．
（3）结论: ．
理由:如图3中，
∵，
∴
，
∴．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，解决本题的关键是要熟练掌握三角形内角和定理.
【必考点4 探究与三角形有关的线段之间的关系】
25．（江苏淮安·期末）如图，在中，，的外角的平分线交的延长线于点E，点F为延长线上的一点，连接．
(1)若，，求证：．
(2)若，探究，则________；（直接写答案，不用证明）
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质与判定，角平分线定义．掌握三角形外角的性质和平行线的性质与判定是解题的关键．
（1）先根据三角形外角的性质得出，再根据，即可得出．
（2）由平行线的性质得出，再由三角形外角性质和角平分线定义得，，则，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵，，
，
∵平分，
，
，
又，
，
；
（2）解：∵，
，
∵是的平分线，
，
，
，
∴，
∵．
∴．
26．（河南周口·期末）如图，，将两块三角尺（一块含角，一块含 角）按如下方式放置，使 ，．试判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，利用平行线的性质可得出，利用三角形内角和定理可得出，利用角的和差关系可得出，则，然后利用平行线的判定即可得证．
【详解】解∶
理由：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
27．（江苏宿迁·期末）已知：如图，在中，是角平分线，E为边上一点，连接，过点E作，垂足为F．
(1)说明：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查角平分线的定义、平行线的判定、三角形内角和定理，（1）根据角平分线的定义可得，再根据平行线的判定即可得证；
（2）利用三角形内角和定理求得， 再根据平行线的性质可得，再利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
由（1）可得，，
∴，
∴．
28．（重庆黔江·期末）如图1，将三角板与三角板摆放在一起；如图2，其中，，．固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，记旋转角．
(1)在旋转过程中，当为多少度时；
(2)在旋转过程中，试探究与之间的关系；
【答案】(1)
(2)当时，；当时，；当时，；理由见解析
【分析】本题考查了平行线性质和判定，三角形外角性质，三角板中角的相关计算，解题的关键在于利用数形结合的思想解决问题．
（1）记与的交点为，与的交点为G，利用三角板角度特点得到，进而得到，利用三角形外角性质得到，即可解题．
（2）根据旋转过程，分以下情况讨论，①当时，②当时，③当时，对以上情况画出示意图，结合三角板中的角度进行运算，即可解题．
【详解】（1）解：如图，记与的交点为，与的交点为G，
，
，
又已知，
，
，
在中， ，
，，
，
解得，．
当为时．
（2）解：当时，，
当时，，
当时，，
理由如下：
①当时，如图2(1)，，，
；

②当时，如图2(2)，，，
；
③当时，如图2(3)，
，
，
．
【2025版】人教版八年级上册重难点题题型培优训练（学生版）
（3大模块+321个必考点+1342题）
模块一 章节必考考点总结
三角形中的经典9大模型（36题）
知识点1：A字模型 6
【必考点1 A字模型】 6
知识点2：8字模型 7
【必考点2 8字模型】 7
知识点3：飞镖模型 8
【必考点3 飞镖模型】 9
知识点4：双垂直模型 10
【必考点4 双垂直模型】 10
知识点5：老鹰抓小鸡模型 13
【必考点5 老鹰抓小鸡模型】 13
知识点6：两内角角平分线模型 15
【必考点6 两内角角平分线模型】 15
知识点7：两外角角平分线模型 16
【必考点7 两外角角平分线模型】 16
知识点8：一内一外角角平分线模型 18
【必考点8 一内一外角角平分线模型】 18
知识点9：三角形折叠模型 19
【必考点9 三角形折叠模型】 20
与三角形的角有关的五大类型解答题专项训练（40题）
【必考点1 与三角形的角有关的挖空题】 22
【必考点2 与三角形的角有关的计算】 28
【必考点3 探究与三角形有关的角之间的关系】 30
【必考点4 探究与三角形有关的线段之间的关系】 34
【必考点5 与三角形的角有关的证明】 39
三角形全章专项复习14种必考点（56题）
【模块1 与三角形有关的线段】 42
【必考点1 三角形的三边关系的应用】 42
【必考点2 与等腰三角形的边长的有关的问题】 43
【必考点3 三角形的高的有关的问题】 43
【必考点4 利用中线解决三角形的面积问题】 44
【必考点5 利用三角形的三边关系解决线段的和差比较问题】 45
【模块2 与三角形有关的角】 47
【必考点6 利用三角形的内角和定理解决折叠中的角度计算】 47
【必考点7 直角三角形的性质的应用】 48
【必考点8 三角形外角的应用】 49
【必考点9 三角形的内角和与外角的性质的综合】 51
【必考点10 与三角形的内、外角性质及角等分线相关的规律性问题】 52
【模块3 多边形及其内角和】 55
【必考点11 多边形内角和公式的应用】 55
【必考点12 多边形外角定理的应用】 56
【必考点13 多边形的截角问题】 57
【必考点14 求不规则图形中相关角的和】 58
全等三角形的八大经典模型（32题）
知识点1：一线三等角模型 59
【必考点1 一线三等角模型】 59
知识点2：倍长中线模型 60
【必考点2 倍长中线模型】 61
知识点3：截长补短模型 62
【必考点3 截长补短模型】 62
知识点4：手拉手模型 64
【必考点4 手拉手模型】 64
知识点5：半角模型 66
【必考点5 半角模型】 66
知识点6：角平分线模型 68
【必考点6 角平分线模型】 69
知识点7：雨伞模型 70
【必考点7 雨伞模型】 70
知识点8：平行线中点模型 72
【必考点8 平行线中点模型】 72
判定两个三角形全等的常用九种思路（36题）
知识点：判定两个三角形全等的常用思路 74
【必考点1 已知两边找另一边，用SSS】 74
【必考点2 已知两边找夹角，用SAS】 75
【必考点3 一直角边一斜边用HL】 76
【必考点4 已知边为角的对边找任一角，用AAS】 78
【必考点5 已知边为角的邻边找夹角的另一边，用SAS】 79
【必考点6 已知边为角的邻边找夹边的另一角，用ASA】 80
【必考点7 已知边为角的邻边找边的对角，用AAS】 82
【必考点8 已知两角找夹边，用ASA】 83
【必考点9 已知两角找任一角的对边，用AAS】 84
七种添加辅助线方法构造全等（28题）
【必考点1 连接两点构造全等】 86
【必考点2 作平行线构造全等】 87
【必考点3 作垂线构造全等】 88
【必考点4 倍长中线构造全等】 89
【必考点5 截长补短构造全等】 90
【必考点6 补全图形构造全等】 92
【必考点7 旋转构造全等】 93
全等三角形全章专项复习13种必考点（52题）
【模块1 全等三角形】 95
【必考点1 利用全等三角形的性质求角】 96
【必考点2 利用全等三角形的性质求两线段的位置关系】 96
【必考点3 利用全等三角形的性质求线段的长】 97
【必考点4 利用全等三角形的性质解决图形变换中的问题】 98
【模块2 三角形全等的判定】 99
【必考点5 添加条件判断三角形全等】 100
【必考点6 全等三角形的判定与性质的综合应用】 101
【必考点7 “倍长中线法”构造全等三角形】 103
【必考点8 “截长补短法”证明线段和差问题】 105
【必考点9 应用全等三角形的性质解决实际问题】 106
【必考点10 全等三角形在探究性问题中的应用】 108
【模块3 角的平分线的性质】 111
【必考点11 角平分线性质的应用】 112
【必考点12 角平分线判定的应用】 113
【必考点13 角平分线性质与判定的综合运用】 114
垂直平分线的判定与性质十大必考点（40题）
知识点1：垂直平分线的性质 116
【必考点1 由垂直平分线的性质求线段长度】 116
【必考点2 由垂直平分线的性质求周长】 117
【必考点3 由垂直平分线的性质求角度】 118
【必考点4 由垂直平分线的性质求最值】 119
【必考点5 由垂直平分线性质探究角度之间关系】 121
【必考点6 由垂直平分线的性质进行证明】 122
知识点2：垂直平分线的判定 123
【必考点7 证明是线段的垂直平分线】 123
【必考点8 尺规作线段的垂直平分线或垂线】 125
【必考点9 线段的垂直平分线的判定与性质的综合运用】 126
【必考点10 线段的垂直平分线的实际应用】 127
角平分线的判定与性质十大必考点（40题）
知识点1：角平分线的性质 128
【必考点1 由角平分线的性质求线段长度】 128
【必考点2 由角平分线的性质求面积】 129
【必考点3 由角平分线的性质比较大小】 130
【必考点4 由角平分线的性质进行证明】 131
知识点2：角平分线的判定 132
【必考点5 证明是角平分线】 132
【必考点6 由角平分线的判定求角的度数】 133
【必考点7 尺规作角平分线】 134
【必考点8 角平分线的性质与判定综合运用】 135
【必考点9 与角平分线的性质与判定相关的多结论问题】 137
【必考点10 角平分线的实际应用】 138
等腰三角形十大必考点（40题）
知识点：等腰三角形 139
【必考点1 利用等边对等角求解】 139
【必考点2 利用等边对等角进行证明】 140
【必考点3 利用三线合一求解】 141
【必考点4 利用三线合一证明】 142
【必考点5 格点中画等腰三角形】 144
【必考点6 找出图中的等腰三角形】 145
【必考点7 利用等角对等边证明等腰三角形】 146
【必考点8 利用等角对等边求边长或证明边相等】 147
【必考点9 尺规作等腰三角形】 148
【必考点10 确定已知两点构成等腰三角形的点】 149
等边三角形十大必考点（40题）
知识点：等边三角形 151
【必考点1 利用等边三角形的性质求角的度数】 151
【必考点2 利用等边三角形的性质求线段长度】 152
【必考点3 利用等边三角形的性质求最值】 153
【必考点4 证明等边三角形】 154
【必考点5 探究平面直角坐标系中的等边三角形问题】 155
【必考点6 探究等边三角形中的折叠问题】 157
【必考点7 探究等边三角形中的三角板问题】 160
【必考点8 探究等边三角形中的动态问题】 161
【必考点9 探究等边三角形中线段或角度之间的关系】 163
【必考点10等边三角形中多结论问题判断正误】 165
含30°的直角三角形的性质十大必考点（40题）
知识点：含30°的直角三角形的性质 167
【必考点1 由含30°直角三角形的性质求线段长】 167
【必考点2 由含30°的直角三角形的性质求角度】 168
【必考点3 由含30°的直角三角形的性质求面积】 169
【必考点4 由含30°的直角三角形的性质求最值】 170
【必考点5 由含30°的直角三角形的性质求坐标】 171
【必考点6 由含30°直角三角形的性质进行证明】 172
【必考点7 由含30°的直角三角形的性质解决折叠问题】 173
【必考点8 由含30°的直角三角形的性质解决旋转问题】 174
【必考点9 由含30°的直角三角形的性质解决动点问题】 175
【必考点10 含30°的直角三角形性质实际应用】 176
与轴对称图形有关的八大最值问题（32题）
知识点1：垂线段最短 178
【必考点1 垂线段最短】 178
【必考点2 两点之间线段最短】 179
【必考点3 平行线之间的距离】 180
知识点2：两动一定 181
【必考点4 两动一定】 182
知识点3：两定一动 183
【必考点5 两定一动(将军饮马)】 183
知识点4：两定两动 185
【必考点6 两定两动型】 185
【必考点7 两定一动(三点共线)】 186
【必考点8 两动+定长】 187
等腰三角形常用七种作辅助线方法（28题）
【必考点1 作中线构造三线合一模型】 188
【必考点2 作垂线构造等腰三角形】 189
【必考点3 构造等腰（直角）三角形】 191
【必考点4 作平行线构造等腰三角形】 192
【必考点5 倍长中线构造等腰三角形】 194
【必考点6 截长补短构造等腰三角形】 195
【必考点7 旋转构造等腰三角形】 196
分类讨论思想与等腰三角形的综合运用
八大必考点（32题）
【必考点1 与边有关的讨论】 197
【必考点2 与角有关的讨论】 197
【必考点3 与中线有关的讨论】 197
【必考点4 与高有关的讨论】 198
【必考点5 与垂直平分线有关的讨论】 198
【必考点6 与动点有关的讨论】 198
【必考点7 与三角形形状有关的讨论】 199
【必考点8 与构造三角形有关的讨论】 200
幂的乘法运算中档培优（8种类型50道题）
题型01 同底数幂的乘法 201
题型02 幂的乘方 202
题型03 积的乘方 204
题型04 同底数幂的除法 206
题型05 异底化同 207
题型06 异指化同 208
题型07 规律探究题 209
题型08 新定义题 210
整式的乘除中档培优（11种类型46道题）
题型01 整式的化简求值问题 213
题型02 缺项求参 214
题型03 整体代入法求代数式的值 215
题型04 降幂求值问题 216
题型05 将错就错问题 217
题型06 对照求参问题 218
题型07 赋值法求代数式的值 219
题型08 整式的除法定义求参数 220
题型09 整式的乘除规律探究问题 221
题型10 以形释数 224
题型11 图形拼接问题 226
乘法公式十大必考点（40题）
知识点：乘法公式 228
【必考点1 利用乘法公式进行简便运算】 228
【必考点2 利用乘法公式求代数式的值】 229
【必考点3 由完全平分式求字母的值】 229
【必考点4 平方差公式的几何背景】 229
【必考点5 完全平方公式的几何背景】 231
【必考点6 乘法公式的应用】 233
【必考点7 乘法公式的证明】 234
【必考点8 由乘法公式求最值】 236
【必考点9 乘法公式的规律探究】 236
【必考点10 乘法公式中的新定义问题】 238
幂的运算四大题型专项训练（40题）
【必考点1 幂的直接运算】 239
【必考点2 由幂的运算进行化简求值】 241
【必考点3 由幂的运算求式子的值】 242
【必考点4 由幂的逆运算求字母的值】 244
整式的混合运算两大题型专项训练（40题）
【必考点1 整式的混合运算】 247
【必考点2 整式的化简求值】 252
因式分解章末复习（16种题型+58道题）
知识点1 因式分解 256
题型01 判断是否因式分解 256
题型02 添括号 256
题型03 公因式 257
题型04 提公因式法分解因式 258
知识点3 平方差公式 259
题型05 用平方差公式分解因式 259
题型06 用完全平方公式分解因式 260
题型07 提公因式法与公式法分解因式 261
题型08 十字相乘法分解因式 261
题型09 分组分解法分解因式 262
题型10 利用因式分解的方法简算 263
题型11 拆项添项分解因式 264
题型12 分解因式整除问题 265
题型13 待定系数法求参数问题 266
题型14 已知一个代数式的值求另一个代数式的值 267
题型15 利用因式分解比较大小 268
题型16 因式分解在几何图形中的应用 268
分式全章必考点训练（37种题型+170道题）
知识点1 分式的概念 271
题型01 分式的识别 271
题型02 根据要求列分式 272
知识点2 分式有、无意义的条件 273
题型03 分式有、无意义的条件 273
知识点3 分式的值为0的条件 274
题型04 分式的值为0的条件 274
题型05 根据分式值的情况求字母参数取值范围 274
题型06 求使分式的值为整数时字母的的整数值 275
题型07 分式求值 275
知识点4 分式的基本性质 276
题型08 判断分式变形是否正确 276
题型09 利用分式的基本性质判断分式值的变化 277
知识点5 分式的约分 278
题型10 最简分式 278
题型11 约分 279
知识点6 分式的通分 280
题型12 最简公分母 280
题型13 通分 280
题型14 将分子、分母的最高次数项化为正数 281
题型15 将分式的分子、分母各项系数化为整数 282
知识点7 分式的乘除 283
题型16 分式的乘除与乘方运算 283
知识点8 分式的加减 285
题型17 分式的加减--同分母分式运算 286
题型18 分式的加减--异分母分式运算 287
题型19 分式的加减--分式与整式相加 289
题型20 整数指数幂运算 290
题型21 用科学计数法表示绝对值小于1的数 291
知识点9 分式的混合运算 292
题型22 分式的混合运算 292
题型23 已知分式恒等式确定分子或分母 294
题型24 分式的化简求值--先化简再求值 294
题型25 分式的化简求值--整体代入求值 295
题型26 分式的化简求值--选择代入求值 296
知识点10 分式方程 297
题型27 分式方程的辨别 297
知识点11 解分式方程 298
题型28 分式方程的一般解法 299
题型29 分式方程的增根问题 300
题型30 分式方程无解问题 301
题型31 由分式方程解的情况求字母的范围 301
知识点12 分式方程的应用 302
题型32 根据题意列分式方程 303
题型33 分式方程的应用--行程问题 304
题型34 分式方程的应用--工程问题 306
题型35 分式方程的应用--销售问题 308
题型36 分式有关规律探究问题 311
题型37 阅读理解与新定义 313
模块二 期中期末专项复习
期中易错题专项复习31大考点90题
【考点1 三角形的角平分线、中线和高】 317
【考点2 三角形的面积】 318
【考点3 三角形的稳定性】 318
【考点4 三角形的三边关系】 318
【考点5 三角形的内角和定理】 319
【考点6 三角形的外角性质】 320
【考点7 直角三角形的性质】 321
【考点8 多边形】 321
【考点9 多边形内角与外角】 321
【考点10 全等图形】 322
【考点11 全等三角形的性质】 323
【考点12 全等三角形的判定】 323
【考点13 直角三角形全等的判定】 324
【考点14 全等三角形的判定与性质】 325
【考点15 全等三角形的应用】 326
【考点16 角平分线的性质】 327
【考点17 尺规作角平分线】 327
【考点18 角平分线的判定】 328
【考点19 轴对称】 328
【考点20 垂直平分线的性质】 329
【考点21 尺规作垂直平分线】 329
【考点22 垂直平分线的判定】 330
【考点23 画轴对称图形】 331
【考点24 等腰三角形的判定】 331
【考点25 等腰三角形的性质】 332
【考点26 等腰三角形的判定与性质】 333
【考点27 等边三角形的判定】 334
【考点28 等边三角形的性质】 334
【考点29 等边三角形的判定与性质】 335
【考点30 含30°角的直角三角形】 336
【考点31 轴对称——最短路径问题】 337
期中压轴题专项复习20大考点60题
【考点1 三角形的三边关系的应用】 338
【考点2 由三角形的中线求面积最值】 338
【考点3 与平行线有关的三角形的内角和问题】 339
【考点4 与折叠有关的三角形的内角和问题】 341
【考点5 与角平分线有关的三角形的内角和问题】 343
【考点6 三角形外角与三角形内角和的综合求值】 345
【考点7 不规则多边形的内角和】 347
【考点8 分类讨论思想与全等三角形的综合运用 348
【考点9 利用全等三角形的判定于性质证明一条线段等于两条线段的和差】 351
【考点10 倍长中线模型】 354
【考点11 旋转模型】 355
【考点12 垂线模型】 356
【考点13 轴对称中的最短路径问题】 357
【考点14 格点中作等腰三角形】 358
【考点15 三角形中的多结论问题】 359
【考点16 等腰三角形的存在性问题】 360
【考点17 构成等腰三角形的点的个数】 361
【考点18 利用等腰三角形的判定与性质进行求值或证明】 361
【考点19 利用等边三角形的判定与性质进行求值或证明】 363
【考点20 与三角形有关的新定义问题】 366
期末复习之选择压轴题十六大必考点（64题）
【必考点1 由三角形的中线求面积】 371
【必考点2 与内外角平分线有关的计算】 372
【必考点3 格点中的全等三角形】 373
【必考点4 利用全等三角形的判定与性质求角度】 374
【必考点5 利用全等三角形的判定与性质求线段长度】 375
【必考点6 利用全等三角形的判定与性质求面积】 376
【必考点7 线段长度最值问题】 377
【必考点8 使组成等腰三角形的点的个数】 378
【必考点9 利用整式的乘法求值】 379
【必考点10 因式分解的应用】 379
【必考点11 分式化简求值】 380
【必考点12 由分式方程的解求参数】 380
【必考点13 几何动态问题】 381
【必考点14 规律探究】 382
【必考点15 多结论问题】 383
【必考点16 新定义问题】 384
期末复习之填空压轴题十五大必考点（60题）
【必考点1 由三角形的中线求面积】 386
【必考点2 由三角形的内(外)角和求角度】 387
【必考点3 由全等三角形的判定与性质求线段长度】 388
【必考点4 由全等三角形的判定与性质求角度】 389
【必考点5 与全等三角形有关的动点问题】 390
【必考点6 几何图形最值问题】 391
【必考点7 构造等腰三角形求值】 392
【必考点8 等腰三角形的存在性问题】 393
【必考点9 与整式乘除有关的化简求值】 393
【必考点10 利用整式乘法解决图形面积问题】 394
【必考点11 利用因式分解解决最值问题】 395
【必考点12 利用因式分解解决整除问题】 395
【必考点13 分式的化简求值】 396
【必考点14 由分式方程的解求字母的值】 396
【必考点15 分式方程的实际应用】 397
期末复习之解答压轴题十三大必考点（52题）
【必考点1 与三角形面积有关的计算】 398
【必考点2 与双角平分线有关的计算】 401
【必考点3 不规则图形内角和的计算】 403
【必考点4 全等三角形的动态问题】 406
【必考点5 手拉手模型】 408
【必考点6 一线三等角模型】 410
【必考点7 半角模型】 412
【必考点8 确定两角度之间的关系】 414
【必考点9 证明线段间的关系】 416
【必考点10 乘法公式的几何背景】 418
【必考点11 因式分解的应用】 421
【必考点12 分式中的阅读材料类问题】 422
【必考点13 分式方程的实际应用】 424
模块三 章末模拟测试卷
三角形章末模拟测试卷 427
全等三角形章末模拟测试卷 433
轴对称章末模拟测试卷 441
整式的乘法与因式分解章末模拟测试卷 448
分式章末模拟测试卷 453
期中押题重难点检测卷 458
期末押题重难点检测卷 465
三角形中的经典9大模型（36题）
知识点1：A字模型
已知△ABC，延长AB至D，延长AC至E，则∠1+∠2=∠A+180°
【必考点1 A字模型】
【例1】（全国·专题练习）如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（ ）．
A． B． C． D．
【变式1-1】（全国·专题练习）如图是某建筑工地上的人字架，若，那么的度数为 ．
【变式1-2】（河北沧州·期中）琪琪在操作课上将三角形剪掉一个角后得到四边形，则下列判断错误的是（ ）
A．变成四边形后对角线增加了两条
B．变成四边形后内角和增加了
C．外角和没有发生变化
D．若剪掉的角的度数是，则
【变式1-3】（浙江杭州·二模）将一把直尺与一块三角板在同一平面内按如图所示的方式放置，若，则的度数为 ．
知识点2：8字模型
①已知AD，BC相交于O，则∠A+∠B=∠C+∠D
②已知线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD，则∠P= (∠B+∠D)
【必考点2 8字模型】
【例2】（浙江金华·期末）如图，平分，交于点F，平分交于点E，与相交于点G，．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
【变式2-1】（河南漯河·期末）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（ ）
A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D
【变式2-2】（北京怀柔·期末）如图，在由线段组成的平面图形中，，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【变式2-3】（全国·专题练习）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H六个角的和．
知识点3：飞镖模型
①已知四边形ABCD，则∠C=∠A+∠B+∠D
②已知四边形ABCD，线段BO平分∠ABC，线段OD平分∠ADC，则∠O= (∠A+∠C)
【必考点3 飞镖模型】
【例3】（河北秦皇岛·一模）如图，用铁丝折成一个四边形ABCD（点C在直线BD的上方），且∠A=70°，∠BCD=120°，若使∠ABC、∠ADC平分线的夹角∠E的度数为100°，可保持∠A不变，将∠BCD （填“增大”或“减小”） °．
【变式3-1】（江苏苏州·阶段练习）在社会实践手工课上，小茗同学设计了如上图这样一个零件，如果，那么 ．

【变式3-2】（全国·专题练习）如图，若，则 ．
【变式3-3】（河北邯郸·一模）嘉嘉在作业本上画了一个四边形，并标出部分数据（如图），淇淇说，这四个数据中有一个是标错的；嘉嘉经过认真思考后，进行如下修改：若保持不变，则将图中 （填“增大”或“减小”） 度，淇淇说，“改得不错”．
知识点4：双垂直模型
已知∠B=∠D=∠ACE=90°.则∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.
【证明】∵∠B=∠D=∠ACE=90°；∴∠BAC+∠ACB=90°；又∠ECD+∠ACB=90°；∴∠BAC=∠DCE
同理,∠ACB+∠DCE =90°，且∠CED+∠DCE =90°；∴∠ACB=∠CED，得证.
【必考点4 双垂直模型】
【例4】（广东珠海·期末）如图1，AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，点E在线段BC上，且AE⊥DE．
（1）求证：∠EAB＝∠CED；
（2）如图2，AF、DF分别平分∠BAE和∠CDE，则∠F的度数是 （直接写出答案即可）；
（3）如图3，EH平分∠CED，EH的反向延长线交∠BAE的平分线AF于点G．求证：EG⊥AF．（提示：三角形内角和等于180°）
【变式4-1】（陕西西安·期末）如图，在等腰中，，为的中点，，垂足为，过点作交的延长线于点，连接．
(1)求证：．
(2)连接，试判断的形状，并说明理由．
【变式4-2】（山西晋中·期中）请把下面的证明过程补充完整
如图，在中，是角平分线，是高，、相交于点，求证：．
证明： 平分（已知），
（ ① ），
（已知），
（ ② ），
是的高（已知），
（三角形高的定义），
（ ③ ），（直角三角形的两个锐角互余），
（ ④ ），
（ ⑤ ），
（ ⑥ ），
（ ⑦ ）．
【变式4-3】（江苏扬州·阶段练习）在中，，，点是的中点，点是射线上的一个动点点不与点、、重合，过点作于点，过点作于点，连接，．

(问题探究)
如图1，当点在线段上运动时，延长交于点．
（1）求证：；
（2）与的数量关系为：　　(直接写结论，不需说明理由)；
(拓展延伸)
（3）①如图，当点在线段上运动，的延长线与的延长线交于点，的大小是否变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由；
②当点在射线上运动时，若，，直接写出的面积，不需证明．
知识点5：老鹰抓小鸡模型
如图，图1：∠A+∠O=∠1+∠2；图2：∠A+∠O=∠2-∠1
图1 图2
【必考点5 老鹰抓小鸡模型】
【例5】（江苏扬州·阶段练习）如图，把△沿对折，叠合后的图形如图所示．若，，则∠2的度数为（ ）
A．24° B．35° C．30° D．25°
【变式5-1】（重庆渝北·阶段练习）如图，将沿着翻折，使B点与点重合，若，则的度数为 ．

【变式5-2】（安徽铜陵·期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠1＋∠2＝120°，则∠BA′C的度数为（ ）
A．120° B．110° C．100° D．90°
【变式5-3】（山东烟台·期中）折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．已知在△ABC中，请根据题意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1－∠2）与∠A的数量关系．
(1)如图①，若∠A＝80°，沿图中虚线DE截去∠A，则∠1+∠2＝_______．
(2)如图②，若∠A＝80°，沿图中虚线DE将∠A翻折，使点A落在BC上的点A’处，则∠1+∠2=_______．
(3)如图③，翻折后，点A落在点A’处，若∠1+∠2＝80°，求∠B+∠C的度数
(4)如图④，△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A’处，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度数．
知识点6：两内角角平分线模型
在△ABC中，BI、CI分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且相交于点I. 则
【必考点6 两内角角平分线模型】
【例6】（河南信阳·开学考试）如图，，都是的角平分线，且交于点，，，则的度数为 ．
【变式6-1】（全国·课后作业）如图，在中，和的平分线，相交于点，若，则的度数为 ．
【变式6-2】（河南信阳·开学考试）如图，在中，是边上的高，，分别是和的角平分线，它们相交于点，．求的度数．

【变式6-3】（山东烟台·期末）如图，在中，，，分别平分和，且相交于，，于点G，则下列结论：①；②；③：④；⑤是等腰直角三角形，其中正确的结论是（ ）
A．①③④⑤ B．①②③④ C．①②③ D．①③④
知识点7：两外角角平分线模型
在△ABC中，BI、CI分别是△ABC的外角的角平分线，且相交于点O. 则.
【证明】∵BO是∠EBC平分线，∴，∵CO是∠FCB平分线，∴
由△BCO中内角和定理可知：
∠O=180°-∠2-∠5=180°--=180°--===
【必考点7 两外角角平分线模型】
【例7】（全国·专题练习）如图，在中，，三角形两外角的角平分线交于点E，则 ．
【变式7-1】（河南郑州·阶段练习）如图，是两外角平分线的交点，是的两外角平分线的交点，，在上，又，在上；如果，那么 度．
【变式7-2】（山东聊城·期末）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，D是∠ACF与∠ABC平分线的交点，E是△ABC的两外角平分线的交点，若∠BOC=130°，则∠D的度数为 （ ）
A．25° B．30° C．40° D．50°
【变式7-3】（全国·课后作业）（分类讨论思想）的两外角平分线交于点．

(1)如图1，若，则的度数为__________．
(2)如图2，过点作直线，分别交射线于点，若设，，则与的数量关系是__________．
(3)在（2）的条件下，将直线绕点转动．
①如图3，当直线与线段没有交点时，试探索与，之间的数量关系，并说明理由．
②当直线与线段有交点时，试问①中与，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请给出三者之间的数量关系．
知识点8：一内一外角角平分线模型
已知△ABC中，BP、CP分别是△ABC的内角和外角的角平分线，且相交于点P. 则
【证明】 ∵BP是∠ABC平分线，∴ ∵CP是∠ACE平分线，∴
由△ABC外角定理可知：∠ACE=∠ABC+∠A即：2∠1=2∠3+∠A ……①
对①式两边同时除以2，得：∠1=∠3+ ……②又在△BPC中由外角定理可知：∠1=∠3+∠P ……③
比较②③式子可知：.
【必考点8 一内一外角角平分线模型】
【例8】（江苏泰州·期末）如图，点分别在上运动（不与重合），是的平分线，的反向延长线交的平分线于点．知道下列哪个条件①；②；③；④的值，不能求大小的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【变式8-1】（四川遂宁·开学考试）如图，点D为边的延长线上一点，若，，的角平分线与的角平分线交于点M，则 度．
【变式8-2】（四川眉山·开学考试）如图，，、、分别平分、和．以下结论：①；②；③平分；④．其中正确的结论有 ．（填序号）
【变式8-3】（河南开封·期末）如图，在中，，的内角与外角的平分线相交于点，得到；与的平分线相交于点，得到；……按此规律继续下去，与的平分线相交于点，要使的度数为整数，则的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
知识点9：三角形折叠模型
①将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在线段AC上时，则∠2=2∠C.
②将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时,则2∠C=∠1+∠2或 ∠C=（∠1+∠2）
③将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时,则2∠C=∠2-∠1或 ∠C=（∠2-∠1）.
【必考点9 三角形折叠模型】
【例9】（河南信阳·开学考试）如图所示，将三角形纸片沿折叠．
(1)当点A落在四边形内部时，、、的度数之间有怎样的数量关系？请你把它找出来，并说明你的理由；
(2)当点A落在四边形外部时，、、的度数之间又有怎样的数量关系？直接写出结论，不用说明理由．
【变式9-1】（上海·期中）如图，在锐角中，D、E分别是边和上的点，将这个纸片沿折叠，点A落在点F的位置．如果，，那么 ．
【变式9-2】（河南南阳·期末）在中，，，点D在边上，将沿翻折后得到，边和边重合时结束，边交边于点F．若折叠过程中，中有两个角相等，则此时的度数为 ．
【变式9-3】 （四川宜宾·期末）在三角形纸片中，，点D为边上靠近点C处一定点，点E为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点C落在点处．有以下四个结论：
①如图1，当点落在BC边上时，；
②如图2，当点落在△ABC内部时，；
③如图3，当点落在△ABC上方时，；
④当时，或，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
与三角形的角有关的五大类型解答题专项训练（40题）
【必考点1 与三角形的角有关的挖空题】
1．（吉林长春·期末）如图，在中，D是边上一点，，，．
求：（1）的度数；
（2）的度数．
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：（1）∵是的外角（已知），
∴ + ＝（ ）．
又∵（已知），
∴ （等量代换）．
（2）∵ （ ），
∴（等式的性质），
，
＝ ．
2．（河南南阳·期末）如图所示，在中，平分，点为线段上的一个动点，交的延长线于点．
（1）若，，求的度数；
解：（在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式））
∵，（已知）
（ ）
∴（等式的性质）
（等量代换）
∵平分（ ）
∴ = （角平分线的定义）
∴ =35°+ = （ ）
∵（已知）
∴（ ）
在直角三角形中，
∵（ ）
∴（等式的性质）
（等量代换）
．
（2）当点在线段上运动时，设，，求的大小．（用含，的代数式表示）（请类比（1）的解答过程，解答该题，可以不写理由）
3．（吉林长春·期末）如图，在直角三角形中，是斜边上的高，，求：
（）的度数；
（）的度数．
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：（）∵（已知），
∴______，
∵（___ ____），
∴___________（等量代换），
（）∵（_______），
∴（等式的性质），
∵（已知），
∴___________（等量代换）．
你还能用其他方法解决这一问题吗？
4．（重庆沙坪坝·期末）如图，在中，，的平分线交于点D，交于点E，，求及的度数．
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：∵（已知），
∴① （两直线平行，内错角相等）．
又∵（已知），
∴（等量代换），
∵平分（已知），
∴②　 　 （角平分线的定义）．
∴（等量代换）．
∵是的外角（已知），
∴③　 　（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）．
又∵（已知），
∴．
∴（④　 　），
∴⑤　 　（等式的性质）
．

5．（重庆沙坪坝·期末）如图，在中，．、分别是、边上一点，连接、，与相交于点．若，，请说明．对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：是的外角（已知），
______（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）．
同理可得：______．
又（已知），
______（等式性质）．
______（三角形内角和等于），
，（已知），
（等式的性质），
，
______°（等量代换）．
6．（福建泉州·期末）如图，在中，点在边上，点在边上，连接，，已知，，，且，求的度数．
对于上述问题，在以下解答过程中的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．

解：在中，（____ ______），
，（已知），
∴___ ___（等量代换），
∵（已知），
∴（等量代换），
在中，（三角形内角和等于180°），
又∵（______ ____），
∴（等式的性质），
∵（______ ____），
∴（等量代换）
7．（吉林长春·期末）【问题】
如图①，在中，，平分，平分．求的度数，对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：∵（_______________），
∴_____________（等式性质）．
∵（已知），
∴_____________（等量代换）．
∵平分（已知），
∴（角平分线的定义）．
同理，__________．
∴__________（等式性质）．
∵，
∴__________（等式性质）．
【拓展】如图②，在中，，平分，平分．
则（__________）．
【应用】如图③，在中，平分，平分，平分，平分．若，则（__________）．
8．（河南南阳·阶段练习）互动学习课堂上，某小组同学对一个课题展开了探究．
(1)已知：如图，在中，和的平分线相交于点P，试探究和的关系．请在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由成数学式）．
解：延长交于点D．
，（__________），
．
和的平分线相交于点P，
，（角平分线定义），
．
（__________），
（等式的性质），
__________．
(2)如图，在中，的平分线和外角的平分线相交于点P，试探究和的关系，并说明理由．
(3)如图，的外角的平分线和的平分线相交于点P，若，则的度数为__________．
【必考点2 与三角形的角有关的计算】
9．（河南洛阳·期末）如图，在中，于点D，点E为边上一点．
(1)若平分，，，求的度数．
(2)在（1）条件下，直接写出______．
10．（山东烟台·期末）如图，已知，，，，求的度数．
11．（河南鹤壁·期末）如图所示，为的高，，为的角平分线，若，．
(1)求的度数；
(2)若点为线段上任意一点，当为直角三角形时，直接写出的度数．
12．（河北·期末）如图①，，点在的两条边上运动，和的平分线交于点．
(1)点在运动过程中，则的度数为______；
(2)如图②，是的平分线，的反向延长线交的延长线于点，点在运动过程中，的大小会变吗？如果不会，求出的度数；如果会，请说明理由．
(3)若，请直接写出______；______．
13．（山东聊城·期末）如图，在中，，，平分，，点是从点沿向点运动的一动点，过点作于点．
(1)如图1，当点与点重合时，求的度数；
(2)如图2，当点位于点，之间时，求的度数．
14．（福建泉州·期末）如图，已知，点C、N分别在的两边上运动（点C、N与点O不重合），平分．
(1)若，试求出的度数；
(2)已知平分交的反向延长线于点F．在点C、N的运动过程中，的度数是否发生改变？若不变，试求出的度数；若发生改变，请说明理由．
15．（河南洛阳·期末）已知直线与互相垂直，垂足为O，点A在射线上运动，点B在射线上运动，点A，B均不与点O重合．
(1)如图1，平分，平分，交于I，则______°．
(2)如图2，平分交于点I，平分，的反向延长线交的延长线于点D．
①直接写出，则______°．
②在点A，B的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由．
16．（河北张家口·期末）在我们华师版义务教育教科书数学七下第82页，曾经研究过三角形角平分线的夹角问题．明明在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：
【问题改编】（1）如图1，在中，、的角平分线交于点P，若．则______；
【问题推广】（2）如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，求的度数；
（3）如图3，在中，分别平分、，M、N、Q分别在的延长线上，分别平分、，分别平分、．若，则的度数为______．（结果用含n的代数式表示）
【必考点3 探究与三角形有关的角之间的关系】
17．（吉林长春·期中）将三角形纸片沿直线折叠，使点落在处．
【感知】如果点落在边上，这时图①中的变为，那么与之间的关系是 ;
【探究】如果点落在四边形的内部如图①，那么与、之间存在怎样的数量关系 并说明理由.
【拓展】如果点落在四边形的外部如图②，那么请直接写出与、之间存在数量关系 .

18．（江苏盐城·期中）如图，直线，连接，直线、及线段把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点落在某个部分时，连接，，构成，，三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是角）
(1)当动点落在第①部分时，求证：；
(2)当动点落在第②部分时，是否成立？如果成立，请说明理由；不成立直接写出结论．
(3)当动点落在第③部分时，全面探究，，之间的关系，并写出动点的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．
19．（山东滨州·期末）如图所示的图形，像我们常见的符号 箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”．
(1)探究：观察“箭头四角形”，试探究图1中与，，之间的关系，并说明理由；
(2)应用：请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：
①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，，若，则___________；
②如图3，，的二等分线（即角平分线），相交于点，若，，求的度数．
20．（山东聊城·期末）如图，在中，，点、是边、上的点，点是平面内一动点．令，，．
(1)若点在线段上，如图1所示，，求的值；
(2)若点在边上运动，如图2所示，则、、之间的关系________；
(3)若点运动到边的延长线上，如图3所示，则、、之间有何关系？猜想并说明理由；
(4)若点运动到外，如图4所示，则请表示、、之间的关系，并说明理由．
21．（湖南株洲·期末），直线交于点E，交于点F，点G在上，点P在直线右侧、且在直线和之间，连接、．
(1)写出，，之间的关系，并说明理由．
(2)如图1，连接，若平分，，，．求的度数；
(3)如图2，若平分，的平分线所在的直线与相交于点H，则与之间的数量关系，并说明理由．
22．（广东清远·期末）（1）如图①，在四边形中，，，．直接写出与，，之间的关系．
（2）根据图②中的条件，利用（1）中你得出的结论计算的度数．
（3）如图③，在中，设，和的平分线，交于点O，过B作的平行线交的延长线于点，试用含的代数式表示的度数．

23．（山东青岛·期末）中，，点D，E分别是边上的点，点P是一动点，令，．
初探：
(1)如图1，若点P在线段上，且，则________；
(2)如图2，若点P在线段上运动，则之间的关系为__________；
(3)如图3，若点P在线段的延长线上运动，则之间的关系为__________．
再探：
(4)如图4，若点P运动到的内部，写出此时之间的关系，并说明理由．
(5)若点P运动到的外部，请在图5中画出一种情形，写出此时之间的关系，并说明理由．
24．（四川内江·期末）中， ，点D、E分别是边上的两个定点，点Р是平面内一动点，记，．
初探:
（1）如图1，若点P在线段上运动，
①当时，则________°；
②之间的关系为:___________________________.
再探:
（2）若点Р运动到边的延长线上，如图2，则之间有何关系 并说明理
拓展:
（3）如图3，写出此时之间的关系，并说明理由．
【必考点4 探究与三角形有关的线段之间的关系】
25．（江苏淮安·期末）如图，在中，，的外角的平分线交的延长线于点E，点F为延长线上的一点，连接．
(1)若，，求证：．
(2)若，探究，则________；（直接写答案，不用证明）
26．（河南周口·期末）如图，，将两块三角尺（一块含角，一块含 角）按如下方式放置，使 ，．试判断与的位置关系，并说明理由．
27．（江苏宿迁·期末）已知：如图，在中，是角平分线，E为边上一点，连接，过点E作，垂足为F．
(1)说明：；
(2)若，求的度数．
28．（重庆黔江·期末）如图1，将三角板与三角板摆放在一起；如图2，其中，，．固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，记旋转角．
(1)在旋转过程中，当为多少度时；
(2)在旋转过程中，试探究与之间的关系；
29．（山东济宁·期末）如图1，直线与直线分别交于点与互补．
(1)试判断直线与直线的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，与的角平分线交于点与交于点G，点H是上一点，且，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接是上一点使，作平分，问的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．
30．（河南洛阳·期末）【学科融合】
同学们应该都见过光线照射在平面镜上出现反射光线的现象．如图1，物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角．由此可以归纳出如下的规律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角，即．这就是光的反射定律．
【初步应用】
（1）如图1，若，则______°；若，则______°；
【猜想验证】
（2）如图2，两平面镜，相交于点，一束光线从点出发，经过平面镜两次反射后经过点，两条光线，相交于点．
①若，则______
②请探究与之间满足的等量关系，并说明理由．
【拓展探究】
（3）如图3，有三块平面镜、、，入射光线与镜面的夹角，镜面、的夹角，已知入射光线先从镜面开始反射，然后再经过不同镜面的一次或两次反射，反射后反射光线与入射光线垂直，请直接写出的度数．（可用含有的代数式表示）
31．（江苏徐州·期末）如图，把一副三角板如图1摆放，，点C在边上，将图中的绕点O按每秒的速度沿顺时针方向匀速旋转一周，在旋转的过程中，旋转的时间为秒．
(1)如图2，求当t为多少秒时，；（注：要写出求解过程）
(2)如图3，当___________秒时，；（注：直接写出结果）
32．（四川宜宾·期末）如图，点D是外角的平分线与的平分线的交点．
(1)如图①，若，则________度．
(2)如图②，的平分线与相交于点E，若，求∠C的度数
(3)如图③，在（2）的条件下，过E作的垂线分别交于点M、N，平分，交于点H．请判断与的位置关系，并说明理由．
【必考点5 与三角形的角有关的证明】
33．（河南郑州·期末）长方形中，是延长线上一点，是上一点，并且，，请证明：．

34．（甘肃酒泉·期末）已知，如图，直线，的顶点A与B分别在直线与上，点C在直线的右侧，且，设，．
(1)如图1，当点C落在的上方时，与相交于点D，求证：.请将下列推理过程补充完整：
证明：∵是的一个外角（三角形外角的定义），
∴（ ）
∵（ ），
∴（ ）
∴________（等量代换）
∵（已知），
∴（等量代换）
(2)如图2，当点C落在直线的下方时，与交于点F，请判断与的数量关系，并说明理由．
35．（江苏南京·期末）如图，，分别是，的角平分线，它们相交于点，与相交于点，与相交于点．写出，与的等量关系，并证明．（要写出每一步的依据）

36．（辽宁沈阳·期末）如图，，F是延长线上一点，G是上一点，并且，．请判断与的数量关系并证明．
37．（山东济南·期末）如图，四边形，已知，点F是线段延长线上一点，连接，交线段于点E，若能在线段上取一点G，使得，，则请你证明：．
38．（重庆南岸·期末）如图，在中，
(1)证明：；
(2)，，求的度数．
39．（湖南衡阳·期末）如图1，直线与直线、分别交于C、D两点，点在直线上，射线平分交直线于点，．
(1)证明：；
(2)如图2，点是上一点，射线交直线于点，．
①若，则直接写出的度数是______．
②点在射线上，满足，连接，如图3所示情况，探究与满足的等量关系，并加以证明．
40．（江苏常州·期末）（1）如图1，在直角三角形中，，，平分，点E是边上一点，且，则____________°；
（2）如图2，若为一般三角形，，平分，点E是边上一点，且，求的度数（用含的代数式表示）；
（3）如图3，若为钝角三角形（为钝角，），，平分，点E是延长线上一点，且，请问（2）中的结论是否还成立？如果成立请给出证明；如果不成立，请说明理由．

三角形全章专项复习【3大模块14种必考点】（56题）
【模块1 与三角形有关的线段】
【知识点1 三角形三边的关系】
定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.
【知识点2 三角形的分类】
【知识点3 三角形的重要线段】
（1）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．
【要点】三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.
（2）三角形的中线：三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线，
【要点】一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形.
（3）三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
【要点】一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.
【知识点4 三角形的稳定性】
如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性．
【必考点1 三角形的三边关系的应用】
【例1】（河北石家庄·期末）一款可折叠晾衣架的示意图如图所示，支架（连接处的长度忽略计），则点，之间的距离可以是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（四川眉山·期中）若，，是的三边，试化简： ．
【变式1-2】（湖北黄冈·阶段练习）长为9、6、4、3的四根木条，选其中三根组成三角形，共有（　　）种选法．
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【变式1-3】（福建泉州·期末）如图，用、、、四条钢条固定成一个铁框，相邻两钢条的夹角均可调整，不计螺丝大小，重叠部分．若、、、，则所固定成的铁框中，两个顶点的距离最大值是（ ）
A．14 B．16 C．13 D．11
【必考点2 与等腰三角形的边长的有关的问题】
【例2】（江西吉安·期末）用12根等长的火柴棒拼成一个等腰三角形，火柴棒不允许剩余、重叠、折断，则能摆出不同的等腰三角形的个数为 个．
【变式2-1】（辽宁丹东·期末）等腰三角形周长为17，其中两条边长分别为x和，则这个等腰三角形的腰长为（ ）
A．4或7 B．4 C．6 D．7
【变式2-2】（浙江衢州·阶段练习）周长为12，各边长均为整数的等腰三角形的三边长分别为 ．
【变式2-3】（全国·单元测试）在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为 ．
【必考点3 三角形的高的有关的问题】
【例3】（24-25八年级·重庆铜梁·开学考试）如图，中，，于E，，点D在上移动，则的最小值是 ．
【变式3-1】（吉林长春·期末）如图，在中，，，，，，则的长为 ．
【变式3-2】（山东德州·阶段练习）如图，在中，，，垂足分别为，，与相交于点连接并延长交于点.若，，，则：：的值为 .

【变式3-3】（江苏·专题练习）如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发，先以每秒的速度沿运动，然后以的速度沿运动．若设点运动的时间是秒，那么当取何值时，的面积等于10？
【必考点4 利用中线解决三角形的面积问题】
【例4】（四川资阳·期末）如图，已知的面积为12，D、E、F分别是的边、、的中点，、、交于点G，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【变式4-1】（江苏常州·期末）如图，是的中线，是的中点．若，则 ．
【变式4-2】（四川巴中·期末）如图，已知，，分别是，，的中点，，，分别是，，的中点，若的面积为4，则的面积为 ．
【变式4-3】（山东青岛·期末）如图，在中，是的中点，是上的一点，且，与相交于点，若的面积为4，则的面积为 ．
【必考点5 利用三角形的三边关系解决线段的和差比较问题】
【例5】（安徽安庆·期中）已知：如图，点D是△ABC内一点．求证：
(1)BD＋CD＜AB＋AC；
(2)AD＋BD＋CD＜AB＋BC＋AC．
【变式5-1】（全国·专题练习）如图，已知点是内一点， 连接并延长交于点，求证：．

【变式5-2】（山东青岛·单元测试）如图，设为内一点，且，求证：．

【变式5-3】（全国·课后作业）如图，，是四边形的对角线，且，相交于点O．求证：
(1)；
(2)．
【模块2 与三角形有关的角】
【知识点1 三角形的内角】
三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．
推论：
（1）直角三角形的两个锐角互余
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形
【知识点2 三角形的外角】
三角形外角性质：
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°.
【必考点6 利用三角形的内角和定理解决折叠中的角度计算】
【例6】（广西柳州·期中）如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分，平分，若，则的度数为 ．
【变式6-1】（黑龙江哈尔滨·期末）如图，在折纸活动中，小明制作了一张纸片，点 D、E分别在边上，将沿着折叠压平使A与重合， 若， 则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（河北石家庄·期末）如图，点，分别在，上，，将沿折叠后，使点落在点处．若，，则 ．

【变式6-3】（全国·专题练习）如图，把沿折叠，使点A落在点D处，
(1)若，试判断与的数量关系，并说明理由；
(2)若，求的度数．
【必考点7 直角三角形的性质的应用】
【例7】（辽宁盘锦·期末）如图，在中，，点为上一点，过点作于点．
(1)当平分，且时，求的度数；
(2)当点是中点，，且的面积为，求的长．
【变式7-1】（贵州贵阳·期末）如图，直线，于点，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（浙江温州·期末）图1的指甲剪利用杠杆原理操作，图2是使用指甲剪的侧面示意图，，杠杆与上臂重合；使用时，B刚好至点，当时，恰好'平分，若，则 ．
【变式7-3】（辽宁盘锦·期末）综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动．
(1)【初步探究】在中，，作的平分线交于点D．在图1中，作于E，求的度数；
(2)【迁移探究】在中，，作的平分线交于点D．如图2，在上任取点F，作，垂足为点E，直接写出的度数；
(3)【拓展应用】如图③，在中，平分，点F在的延长线上，于E，求出与之间的数量关系．
【必考点8 三角形外角的应用】
【例8】（江苏无锡·阶段练习）在中，分别是高和角平分线，点F在的延长线上，交于点G，交于点H，下列结论：①；②；③，④；其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式8-1】（甘肃酒泉·期末）如图，是的外角，的平分线与的平分线交于点，的平分线与的平分线交于点．
(1)试确定与之间的数量关系，并说明理由；
(2)若，求的度数．
【变式8-2】（福建厦门·期末）如图，，，点E是边上一点，连接交的延长线于点H．点F是边上一点．使得，作的角平分线交于点G，若，则的度数为 ．
【变式8-3】（内蒙古·期末）如图，为的高，，为的角平分线，若，．
(1)求的度数；
(2)若点G为线段上任意一点，当为直角三角形时，求的度数．
【必考点9 三角形的内角和与外角的性质的综合】
【例9】（福建福州·期中）已知在中，点D在上，且．
(1)如图1，若，求证：；
(2)如图2，平分交于点F，交于点E．
①求证：；
②的外角的平分线所在直线与的延长线交于点M，若，求的度数．
【变式9-1】（江苏苏州·期中）如图，在中，平分，于点D，的角平分线所在直线与射线相交于点G，若，且，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【变式9-2】（天津东丽·期中）如图，已知，平分，平分，的延长线交于点F，设，，则下列关系正确的是（　　）

A． B．
C． D．
【变式9-3】（江苏盐城·期中） 已知：如图①，在中，是角平分线，点E、F分别在边、上，，将绕点C以每秒5°的速度按逆时针方向旋转一周，旋转时间为t．当所在直线与线段，有交点时，交点分别为点M、点N．
(1)当时，如图②，此时直线与的位置关系是 ， °；
(2)是否存在某个时刻t，使得？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；
(3)试探究：在旋转过程中，当t为何值时，中有两个角相等，请直接写出t的值．
【必考点10 与三角形的内、外角性质及角等分线相关的规律性问题】
【例10】（山东青岛·期末）【基础探究1】（1）如图1，中，平分，平分，探求与之间的数量关系；
【基础探究2】（2）如图2，中，、是的三等分线，、是的三等分线，则与之间的数量关系是______；
【基础探究3】（3）如图3，中，、、是的四等分线，、、是的四等分线，则与之间的数量关系是______；
【拓展与探究】（4）如图4，中，、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线，请用一个等式表示、、三者之间的数量关系是______；
【探究与应用】（5）中，、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线，若与的和是的7倍，则______．
【变式10-1】（江苏无锡·期中）如图将沿线段翻折至处，延长、（点F在内部）．
请尝试探究：
(1)请直接写出、与的数量关系为__________；
(2)若平分，平分．点F在内部（如图②），证明：．
(3)若射线、分别是，的n等分线（n为大于2的正整数），即，，射线和射线相交于点O．请直接写出与的数量关系：__________．
【变式10-2】（陕西西安·期中）我们把有一组对顶角的两个三角形组成的图形叫做“8”字图形，如图1，，相交于点，连接，得到“8”字图形．
(1)如图1，试说明的理由；
(2)如图2，和的平分线相交于点E，利用（1）中的结论探索与、间的关系；
(3)如图3，点为延长线上一点，、分别是、的四等分线，且，，的延长线与交于点，请探索与、的关系．（直接写结论）
【变式10-3】（江苏南京）直线与直线垂直相交于，点在射线上运动，点在射线上运动．
(1)如图，已知、分别是和角的平分线，点、在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值；
(2)如图，延长至，已知、的角平分线与的角平分线及其延长线相交于、，在中，如果有一个角是另一个角的倍，试求的度数．
(3)如图，延长至，已知、的等分线（、）与的等分线（）及其延长线相交于、，在中，如果有一个角是另一个角的倍，直接写出的度数．（结果可用含的代数式表示）

【模块3 多边形及其内角和】
【知识点1 多边形及有关概念】
（1）多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.
（2）正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等．
（3）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
【要点】①从边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形；
②n边形共有条对角线．
【知识点2 多边形的内角和及外角和】
（1）内角和公式：n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数) ．
（2）多边形外角和：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.
（3）多边形的边数与内角和、外角和的关系：n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)，可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°.
【必考点11 多边形内角和公式的应用】
【例11】（安徽芜湖·期中）如图，六边形中，，，，，，求的度数．
【变式11-1】（湖北黄冈·期中）如图是两位小朋友在探究某多边形的内角和时的一段对话，请根据他们的对话内容判断他们是在求几边形？少加的内角为多少度？
【变式11-2】（四川遂宁·期末）如图，六边形的各个内角都相等，且．
(1)求的度数．
(2)判断与的位置关系，并说明理由．
【变式11-3】（陕西西安·期末）按要求完成下列各小题．
(1)如图1，若一个正方形和一个正六边形有一边重合，求的度数．
(2)如图2，若正五边形和长方形按如图方式叠放在一起，求的度数．
【必考点12 多边形外角定理的应用】
【例12】（全国·课后作业）如图，七边形中，，的延长线交于点O，若，，，的和等于，则的度数为 ．
【变式12-1】（全国·专题练习）如图，五边形中，，分别是的外角，则（　　）

A．90° B．180° C．120° D．270°
【变式12-2】（山东东营·期末）如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为 米．

【变式12-3】（江苏南京·期中）几何图形千变万化，但是不同的图形之间往往存在联系，下面让我们一起来探索：
(1)下列有、两题，请你选择其中一个进行证明(若两题都证明，按题A给分)．
．如图①，和是的两个外角，求证；
．如图②、是边、上的点，将沿翻折至，若点在内部，．我选择 作答
(2)如图③，、分别平分四边形的外角、．已知，，求的度数；
(3)如图④，已知五边形，延长至，延长至，连接，点、分别在边、上，将沿翻折至，若，，，．请你直接写出的度数用含、的代数式表示)
【必考点13 多边形的截角问题】
【例13】（浙江杭州·模拟预测）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1440°．则原来多边形的边数是 ．
【变式13-1】（全国·单元测试）一块多边形木板截去一个三角形（截线不经过顶点），得到的新多边形内角和为，则原多边形的边数为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【变式13-2】（河南商丘·期中）如图，在正方形中，截去、后，、、、的和为 ．
【变式13-3】（浙江衢州·期中）如图是一个多边形，你能否用一直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足下列条件：画出图形，把截去的部分打上阴影
新多边形内角和比原多边形的内角和增加了．
新多边形的内角和与原多边形的内角和相等．
新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了．
将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为，求原多边形的边数．

【必考点14 求不规则图形中相关角的和】
【例14】（全国·专题练习）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为 ．
【变式14-1】（上海青浦·期中）如图所示，求．
【变式14-2】（江苏无锡·期中）如图，已知， ．
【变式14-3】（全国·专题练习）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数．
全等三角形的八大经典模型（32题）
知识点1：一线三等角模型
三个等角的顶点在同一条直线，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角.这个模型称为一线三等角模型.
一线三等角类型：
（同侧）已知∠A=∠CPD=∠B=∠α，CP=PD
（异侧）已知∠EAC=∠ABD=∠DPC=∠α，CP=PD
【必考点1 一线三等角模型】
【例1】（云南昆明·期末）如图，在中，．
(1)如图1，直线过点B，于点M，于点N，且，求证：．
(2)如图2，直线过点B，交于点M，交于点N，且，则是否成立？请说明理由！
【变式1-1】（福建龙岩·阶段练习）如图，在中，，，，于点于点．与全等吗？请说明理由．

【变式1-2】（浙江温州·期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（　　）
A．3 B．2 C． D．
【变式1-3】（北京朝阳·期中）如图，∠B=∠C=∠FDE=80°，DF=DE，BF=1.5cm，CE=2cm，求BC的长．
知识点2：倍长中线模型
当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，使得延长后的线段是原中线的二倍，从而构造一对全等三角形(SAS)，并将已知条件中的线段和角进行转移.
已知点D为 ABC中BC边中点，延长线段AD到点E使AD=DE,
1）连接EC,则 ABD≌ ECD，AB∥CE
2）连接BE,则 ADC≌ EDB，AC∥BE
【必考点2 倍长中线模型】
【例2】（全国·专题练习）如图所示，在中，交于点，点是中点，EF∥AD交的延长线于点，交于点，若，求证：为的平分线.
【变式2-1】（山东泰安·期末）如图，AD是△ABC的中线，点E在AD上，且BE＝AC，求证：∠BED＝∠CAD．
【变式2-2】（全国·课后作业）如图，在等腰直角三角形中，，F为边的中点，点D，E分别在边上运动，且保持，连接．在此运动变化的过程中，下列结论：①是等腰直角三角形；②四边形的面积保持不变；③．其中正确的是（ ）

A．①②③ B．① C．② D．①②
【变式2-3】（辽宁大连·阶段练习）如图，在中，，BE是AC的中线，点D在AC的延长线上，连接BD，若．
(1)猜想BD=________BE；
(2)完成（1）的证明过程．
知识点3：截长补短模型
该模型适用于求证线段的和差倍分关系，该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明。其中截长指在长线段中截取一段等于已知线段，补短指将短线段延长，使短线段加上延长线段长度等于长线段。
(1)截长: 在较长线段上截取一段等于某一短线段, 再证剩下的那一段等于另一短线段。
例: 如图, 求证BE+DC=AD；
方法:①在AD上取一点F,使得AF=BE,证DF=DC;②在AD上取一点F,使DF=DC,证AF=BE
(2)补短:将短线段延长,证与长线段相等
【必考点3 截长补短模型】
【例3】（全国·单元测试）已知：如图，在中，，D、E分别为上的点，且交于点F．若为的角平分线．
(1)求的度数；
(2)若，求的长．
【变式3-1】（江西景德镇·期末）如图，在△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BE是∠ABC的平分线，求证：AE+BE=BC．
【变式3-2】（福建厦门·期中）如图，是等边三角形，是的中点，在线段上，连接，以为边在的右侧作等边，连接，若存在实数，使得为定值，则和分别是（ ）

A．， B．， C．， D．，
【变式3-3】（四川南充·期末）(1)阅读理解：
问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
(2)问题解决：如图2，在(1)的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；
(3)问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系并说明理由．
知识点4：手拉手模型
两个顶角相等的等腰三角形共用顶角顶点，分别连接对应的两底角顶点，从而可以得到一个经典的全等模型.因为顶点相连的四条边，形象可以看作两双手，通常称为“手拉手模型”.
如图，△ABC是等腰三角形、△ADE是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，
∠BAC=∠DAE=。结论：△BAD≌△CAE。
【必考点4 手拉手模型】
【例4】（湖南长沙·阶段练习）如图，在和中，，，若，连接、交于点；
(1)求证：．
(2)求的度数．
(3)如图(2)，是等腰直角三角形，，，，点是射线上的一点，连接，在直线上方作以点为直角顶点的等腰直角三角形，连接，若，求的值．
【变式4-1】（吉林长春·模拟预测）两个大小不同的等腰直角三角板按图1所示摆放，将两个三角板抽象成如图2所示的和，其中，点、、依次在同一条直线上，连结．若，，则的面积是 ．
【变式4-2】（山东济宁·阶段练习）如图，大小不同的两块三角板 和 直角顶点重合在点 处，，，连接、，点 恰好在线段 上．
(1)找出图中的全等三角形，并说明理由；
(2)猜想 与 的位置关系，并说明理由．
【变式4-3】（甘肃武威·期末）如图，D为内一点，，，将绕着点A顺时针旋转能与线段重合．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
知识点5：半角模型
当一个角包含着该角的半角，如90°角包含着45°角，120°角包含着60°角，270°角包含着135°角，即出现倍角关系，且这两个角共顶点，共顶点的两条边相等，则该模型为半角模型。解题方法为：1）过公共点作旋转，2）截长补短的方法构造全等解题。
如图：已知∠2=∠AOB，OA=OB
【说明】连接F′B，将△FOB绕点O旋转至△FOA的位置，连接F′E、FE，可得△OEF′≌△OEF
【必考点5 半角模型】
【例5】（福建龙岩·期中）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（ ）
A．36 B．21 C．30 D．22
【变式5-1】（山东潍坊·期末）如图所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上的两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A按顺时针方向旋转90°后得到△AFB，连接EF，有下列结论：①BE＝DC；②∠BAF＝∠DAC；③∠FAE＝∠DAE；④BF＝DC．其中正确的有（　　）

A．①②③④ B．②③ C．②③④ D．③④
【变式5-2】（全国·专题练习）问题情境：已知，在等边△ABC中，∠BAC与∠ACB的角平分线交于点O，点M、N分别在直线AC，AB上，且∠MON＝60°，猜想CM、MN、AN三者之间的数量关系．
方法感悟：小芳的思考过程是在CM上取一点，构造全等三角形，从而解决问题；
小丽的思考过程是在AB取一点，构造全等三角形，从而解决问题；
问题解决：（1）如图1，M、N分别在边AC，AB上时，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，M在边AC上，点N在BA的延长线上时，请你在图2中补全图形，标出相应字母，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明．
【变式5-3】（浙江绍兴·期中）问题情境
在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．
特例探究:如图1，当DM＝DN时，
（1）∠MDB＝　 　度；
（2）MN与BM，NC之间的数量关系为　 　；
归纳证明:（3）如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E，使CE＝BM，连接DE，猜想MN与BM，NC之间的数量关系，并加以证明．
拓展应用:（4）△AMN的周长与△ABC的周长的比为　 　．
知识点6：角平分线模型
模型一：如图一，角平分线+对称型
利用角平分线图形的对称性, 在角的两边构造对称全等三角形, 可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移, 这是经常使用的---种解题技巧。
【理论依据】: 三边对应相等的三角戏是全等三角形(SSS)、全等三角形对应角相等
模型二：如图二，角平分线+垂直两边型
【几何语言】:∵OC为∠AOB的角平分线, D为OC上一点DE⊥OA, DF⊥OB，∴△CED≌△OFD(AAS),
∴DE=DF
模型三：如图三，角平分线+垂直平分线型
【说明】构造此模型可以利用等腰三角形的 三线合一, 也可以得到两个全等的直角三角形, 进而
得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。
模型四：如图四，角平分线+平行线型
【说明】 有角平分线时, 常过角平分线上一点作角的有边的平行线, 构造等腰三角形, 为证明结论提供更多的条件,体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。
【必考点6 角平分线模型】
【例6】（四川成都·期末）（1）如图1，射线OP平分∠MON，在射线OM，ON上分别截取线段OA，OB，使OA＝OB，在射线OP上任取一点D，连接AD，BD．求证：AD＝BD．
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求证：BC＝AC+AD．
（3）如图3，在四边形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C为BD边中点，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值．
【变式6-1】（湖北孝感·期中）如图，在四边形中，与交于点，平分，平分，．
(1)求的度数；
(2)求证：．

【变式6-2】（江苏南京·期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．求证：BE＝CD．
【变式6-3】（湖北武汉·期中）在中，BE，CD为的角平分线，BE，CD交于点F．
（1）求证：；
（2）已知．
①如图1，若，，求CE的长；
②如图2，若，求的大小．
知识点7：雨伞模型
如图AP平分∠BAC，BD⊥AP，垂足为点D，延长BD交AC于点C，则 ABD ≌ ACD，AB=AC，BD=CD
【必考点7 雨伞模型】
【例7】（江苏苏州·期中）如图，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．
（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；
（2）判断BEG的形状，并说明理由．
【变式7-1】（上海浦东新·期末）如图，和是等腰三角形且，，垂足为．
(1)试说明的理由
(2)猜想和的位置关系，并说明理由；
(3)试说明：．
【变式7-2】（山东泰安·期末）已知，如图中，，，的平分线交于点，，
求证：.
【变式7-3】（福建漳州·期末）求证：在直角三角形中，若一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半．要求：
(1)根据给出的线段及∠B，以线段为直角边，在给出的图形上用尺规作出的斜边，使得，保留作图痕迹，不写作法；
(2)根据（1）中所作的图形，写出已知、求证和证明过程．
知识点8：平行线中点模型
已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB、CD上，点O为线段EF的中点，延长PO交CD于点Q，则 POE ≌ QOF
【必考点8 平行线中点模型】
【例8】（四川成都·期末）如图1，点是直线上一点，点是直线上一点，且MN//PQ．和的平分线交于点．
（1）求证：；
（2）过点作直线交于点（不与点重合），交于点E,
①若点在点的右侧，如图2，求证：；
②若点在点的左侧，则线段、、有何数量关系？直接写出结论，不说理由．

【变式8-1】（黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：如图，，，点E、F在AD上，且满足．
(1)求证；
(2)若，直接写出面积为面积一半的所有三角形．
【变式8-2】（福建福州·期中）如图，是等边三角形，D是的中点，延长到点E，使，连接并延长交于点F．求证：
【变式8-3】（陕西榆林·期末）如图，在中， 是边上的高，为的角平分线，且，是的中线，延长到点，使得，连接，交于点，交于点，交于点．
(1)试说明：；
(2)若，试说明：．
判定两个三角形全等的常用九种思路（36题）
知识点：判定两个三角形全等的常用思路
【必考点1 已知两边找另一边，用SSS】
【例1】（浙江宁波·期末）如图所示，已知，，，且，，，在同一条直线上．
(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
【变式1-1】（湖北武汉·阶段练习）已知，，求证：．
【变式1-2】（吉林白城·一模）如图，点E、F在上，且，求证：．
【变式1-3】（湖北武汉·阶段练习）如图，，，求证：．
【必考点2 已知两边找夹角，用SAS】
【例2】（陕西榆林·期末）如图，在四边形中，，，E，F分别是对角线上两点，且，连接．
试说明：
(1)；
(2)．
【变式2-1】（四川雅安·期末）如图，在中，，D为边上一点，，点M在的延长线上，平分，且．连接交于F，G为边上一点，满足，连接交于H．
(1)与相等吗？为什么？
(2)求的度数．
【变式2-2】（吉林·期中）如图，在中，，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，连接．求证：．

【变式2-3】（陕西汉中·期末）如图，在中，于点于点与交于点F，连接，延长到点G，使得，连接．
【问题解决】（1）试说明：；
【问题探究】（2）与垂直吗？请说明理由．
【必考点3 一直角边一斜边用HL】
【例3】（河南平顶山·期末）在和中，，，，若边和上的高都是3，，则 ．
【变式3-1】（四川甘孜·期末）如图，已知，，，，与交于点．
(1)求证：．
(2)求．
【变式3-2】（重庆北碚·期末）如图，在中，于点，点、分别为、上的一点，接并延长交延长线于点，若，，，求证：．
证明：∵
∴
在和中，
∴（② ）
∴
在中
∵（③ ）
∴
∴④
∴
∵
∴⑤ （⑥ ）
∴
∴
【变式3-3】（重庆·期中）如图，中，，过点作，点P，Q分别在线段和射线上移动．若，则当 时，和全等．
【必考点4 已知边为角的对边找任一角，用AAS】
【例4】（河北唐山·期中）如图，在和中，点，，在同一条直线上，，，若，，则的长为（ ）

A．8 B．6 C．4 D．2
【变式4-1】（广东惠州·期中）如图，在和中，，点E是的中点， 于点F，且．
(1)求证：；
(2)若．
①求的长；
②求的面积．
【变式4-2】（四川达州·模拟预测）如图，在梯形中，，，于点E，，求证．
【变式4-3】（山西太原·阶段练习）如图，教学楼与操场上的旗杆相距，小林同学从教学楼点沿走到点，一定时间后他到达点，此时他测得和的夹角为，且，已知，旗杆的高为，小林同学行走的速度为．
(1)请你求出教学楼的高度；
(2)小林从点到达点还需要多长时间？
【必考点5 已知边为角的邻边找夹角的另一边，用SAS】
【例5】（广东深圳·期末）如图，中，，以为边向右下方作，满足，点为上一点，连接，若，，，则 ．
【变式5-1】（江苏苏州·期末）如图，在中，为中点，为边上一点，连接，并延长至点 ，使得，连接．
(1)求证：；
(2)若，，，求的度数．
【变式5-2】（黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，与相交于点，若，，求的度数．
【变式5-3】（江西吉安·阶段练习）如图，某游乐园有两个滑梯与，滑梯的高与滑梯水平方向的长度相等，且的长度等于长方形周长的一半．
(1)两个滑梯与的长度是否相等？并说明理由．
(2)若，试说明．
【必考点6 已知边为角的邻边找夹边的另一角，用ASA】
【例6】（四川达州·模拟预测）如图，在梯形中，，，于点E，，求证．
【变式6-1】（吉林松原·模拟预测）如图，在中，是斜边上的高线，于点F，．求证：．
【变式6-2】（浙江宁波·期末）如图， 是 的高线，与 相交于点 ．若 ，且 的面积为12，则的长度为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【变式6-3】（重庆大渡口·阶段练习）如图，在中，，，过点C作，连接．
(1)基本尺规作图：作，交线段于点F（保留作图疯迹）；
(2)求证：．
解：∵，
∴________
∵
∴
在和中
∴，
∴（_______）
【必考点7 已知边为角的邻边找边的对角，用AAS】
【例7】（湖北鄂州·期末）如图，中，是边上的中线，过C作，垂足为F，过B作交的延长线于D．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【变式7-1】（江西吉安·阶段练习）将两个三角形纸板和按如图所示的方式摆放，连接．已知，，．
(1)试说明．
(2)若，求的度数．
【变式7-2】（四川宜宾·期中）已知：如图，在和中，．求证：
(1)；
(2)．
【变式7-3】（黑龙江哈尔滨·一模）如图，在四边形中，于点F，交BC于点G，交的延长线于点E，且．
(1)求证：；
(2)如图2，连接AG，若，请直接写出图2中的三角形，使写出的每个三角形的面积是面积的2倍．
【必考点8 已知两角找夹边，用ASA】
【例8】（陕西西安·期末）如图，，平分，下列结论∶① 平分；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．①③ B．③④ C．①③④ D．②③④
【变式8-1】（云南昭通·期末）如图，C，F为线段BE上两点，，，．求证：．
【变式8-2】（辽宁阜新·期末）如图，于点，于点，与交于点且，．求证：．
【变式8-3】（黑龙江哈尔滨·期末）在 中， 和 的平分线相交于点 F．
(1)如图1，连接，求证：
(2)如图2，当时，若，求的长．
【必考点9 已知两角找任一角的对边，用AAS】
【例9】（福建三明·期中）如图，在中，，将沿射线的方向平移至，连接，设与的交点为．
(1)若为的中点，求证：；
(2)若平分，求的度数．
【变式9-1】（陕西西安·三模）如图，点B，F，C，E在一条直线上，点A，D在这条直线的两侧，已知，，．求证：．
【变式9-2】（浙江金华·阶段练习）如图，在和中，点在同一直线上，，．
(1)求证：；
(2)当时，求的度数．
【变式9-3】（山东青岛·期末）已知，在中，，．在内部作，交于点D．将一个含有45°角的三角板如图放置，使直角边与重合，三角板沿平移．
(1)如图1，当三角板的另一条直角边过点A时，试证明；
(2)将三角板沿平移至图2的位置，与交于点M，过点M作，垂足为点N，试判断线段之间的关系．
七种添加辅助线方法构造全等（28题）
【必考点1 连接两点构造全等】
【例1】（湖南衡阳·期末）是等边三角形内一点，，，，则的度数为______．
【变式1-1】（江苏盐城·期中）如图，已知，交于点，且试用两种方法证明．
【变式1-2】（广东佛山·期末）如图，，，垂直平分，求证：．
【变式1-3】（辽宁辽阳·期中） 如图，中，平分，垂直平分，于，于．
证明：；
若，，求、的长．
【必考点2 作平行线构造全等】
【例2】（安徽合肥·期末） P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D．
（1）证明：PD＝DQ．
（2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长．
【变式2-1】（福建龙岩·阶段练习）如图所示：是等边三角形，、分别是及延长线上的一点，且，连接交于点．
求让：
【变式2-2】（贵州黔西·期末）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（　　）
A．1 B．1.8 C．2 D．2.5
【变式2-3】（江苏盐城·阶段练习）已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连接DE，DE所在直线交直线BC与点M．请探究：
(1)如图（1），当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论．
(2)如图（2），当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE，则（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由；
(3)如图（3），当点E在CA的延长线上，点D在线段AB上（点D不与A，B重合），DE所在直线与直线BC交于点M，若CE＝2BD，请直接写出线段MD与线段ME的数量关系．
【必考点3 作垂线构造全等】
【例3】（湖北武汉·期末）如图，OC平分∠MON，A、B分别为OM、ON上的点，且BO＞AO，AC＝BC，求证：∠OAC+∠OBC＝180°．
【变式3-1】（全国·专题练习）如图，是延长线上一点，且，是上一点，，求证：.
【变式3-2】（全国·专题练习）如图，在中，，，，，延长交于.求证：.
【变式3-3】（江西抚州·期中）如图，阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE． 求证：AB=CD．
分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形请用二种不同的方法证明．
【必考点4 倍长中线构造全等】
【例4】（内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，已知，点是的中点，且，求证：．
【变式4-1】（甘肃张掖·阶段练习）已知三角形的两边长分别是2和4，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是 ．
【变式4-2】（北京房山·期末）如图，在ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC，延长CB到点E，使BE=BD，连接AE．
（1）依题意补全图形；
（2）试判断AE与CD的数量关系，并进行证明．
【变式4-3】（江西宜春·阶段练习）阅读理解：
（1）如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使得，再连接，把，，集中在中，利用三角形三边关系即可判断中线的取值范围是______．
（2）解决问题：如图2，在中，是边上的中点，，交于点，交于点，连接，求证：．
（3）问题拓展：如图3，在中，是边上的中点，延长至，使得，求证：．
【必考点5 截长补短构造全等】
【例5】（湖北咸宁·期中）如图，四边形是正方形，E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．
(1)求证：；
(2)连接，则的值为__________；
(3)连接，设与交于点H，连接，探究之间的关系．
【变式5-1】（湖北十堰·期末）如图，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC=16，BC=9，则BD的长为（　　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【变式5-2】（江西景德镇·期末）如图，在△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BE是∠ABC的平分线，求证：AE+BE=BC．
【变式5-3】（四川南充·期末）(1)阅读理解：
问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
(2)问题解决：如图2，在(1)的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；
(3)问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系并说明理由．
【必考点6 补全图形构造全等】
【例6】（山东泰安·期末）已知，如图中，，，的平分线交于点，，
求证：.
【变式6-1】（福建漳州·期末）求证：在直角三角形中，若一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半．要求：
(1)根据给出的线段及∠B，以线段为直角边，在给出的图形上用尺规作出的斜边，使得，保留作图痕迹，不写作法；
(2)根据（1）中所作的图形，写出已知、求证和证明过程．
【变式6-2】（江苏苏州·期中）如图，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．
（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；
（2）判断BEG的形状，并说明理由．
【变式6-3】（北京海淀·八年级期末）在△ABC中，AB=AC，将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD，旋转角为，且，连接AD、BD．
（1）如图1，当∠BAC=100°，时，∠CBD 的大小为_________；
（2）如图2，当∠BAC=100°，时，求∠CBD的大小；
（3）已知∠BAC的大小为m（），若∠CBD 的大小与（2）中的结果相同，请直接写出的大小．
【必考点7 旋转构造全等】
【例7】（四川巴中·八年级期末）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF＝45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为 ．
【变式7-1】（全国·课后作业）如图，等边中，，则以线段为边构成的三角形的各角的度数分别为 ．
【变式7-2】（福建泉州·阶段练习）如图，点是等边三角形内一点，且，，，若将绕着点逆时针旋转后得到，则的度数（　　）
A． B． C． D．
【变式7-3】（四川眉山·期末）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以点D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长是 ．
全等三角形全章专项复习【3大模块13种必考点】（52题）
【模块1 全等三角形】
1．全等形的概念
定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形．
【提示】（1）全等形的形状相同，大小相等．
两个图形是否全等，只与这两个图形的形状和大小有关，而与图形所在的位置无关．
（3）判断两个图形是不是全等形的方法：把两个图形叠合在一起，看是否能够完全重合．
2．全等三角形的概念和表示方法
（1）全等三角形的概念：
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
（2）全等三角形的对应元素：
①对应顶点：全等三角形中，能够重合的顶点；②对应边：全等三角形中，能够重合的边；③对应角：全等三角形中，能够重合的角．
（3）全等三角形的表示方法：
“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”．记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．
3．全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．
数学语言表示：△ABC≌△A'B'C'，AB=

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