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人教A版必修一 第三章函数概念与性质 单元测试
一、单选题(共8题；共40分)
1．设集合，，则（　　）
A． B． C． D．
2．已知函数，则函数的单调递增区间是（　　）
A． B．
C．和 D．和
3．函数 的图象如图，则其最大值、最小值分别为（　　）
A． B．
C． D．
4．已知函数 则 （　　）
A．-1 B． C． D．
5．已知f（x)为定义在R上的偶函数，且f（x)+f（x-2)=0，当 时， 则（　　)
A．a=-2，b=-3 B．a=-2，b=3 C．a=-4，b=-3 D．a=-4，b=3
6．已知函数，下列说法正确的有（　　）
A．存在实数，使的定义域为
B．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是
C．对任意正实数的值域为
D．函数一定有最小值
7．已知函数，对于任意两不等实数，，都有成立，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．下图展示了一个由区间到实数集R的映射过程：区间中的实数对应数轴上的点（如图1）；将线段围成一个圆，使两端点、恰好重合（从到是逆时针，如图2）；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在轴上，点的坐标为（如图3），图3中直线与轴交于点，则的象就是，记作．
则下列命题中正确的是（　　）
A． B．是奇函数
C．在其定义域上单调递增 D．的图象关于轴对称
二、多选题(共3题；共18分)
9．已知函数是奇函数且上可导，且，则下列说法正确的是（　　）
A． B．函数为偶函数
C． D．函数的周期为4
10．下列各结论中正确的是（　　）
A．“”是“”的充要条件
B．函数的最小值为2
C．命题“，”的否定是“，”
D．若函数有负值，则实数a的取值范围是或
11．设函数，其中.则下列说法正确的是（　　）
A．可能为奇函数
B．既有极大值也有极小值
C．若恒成立，则
D．若是方程的两个不同实根，且，则
三、填空题(共3题；共15分)
12．已知幂函数的图象经过点，则　 　．
13．已知函数的定义域为，则的定义域为　 　.
14．已知，设，，其中k是整数． 若对一切，都是区间上的严格增函数．则的取值范围是 　 　 ．
四、解答题(共5题；共77分)
15．下图是一个电子元件在处理数据时的流程图：
（1）试确定y与x的函数关系式；
（2）求f(－3)，f(1)的值；
（3）若f(x)＝16，求x的值.
16．已知是定义在上的奇函数，当时，.
（1）求时，函数的解析式；
（2）解不等式.
17．已知 ，函数 ．
（1）若关于x的方程 在 上恰有两个不等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）设 ，若对任意 ，函数 在区间 上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．
18．已知函数的最大值与最小值分别为3和-1．
（1）求a的取值范围；
（2）设a的最大值为b，，且有两个不同的零点，求c的取值范围．
19．已知 ，函数 ．
（1）若 ，求 的单调递增区间；
（2）函数 在 上的值域为 ，求 ， 需要满足的条件．
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】C
3．【答案】B
4．【答案】C
5．【答案】D
6．【答案】C
7．【答案】B
8．【答案】C
9．【答案】A,B,D
10．【答案】A,D
11．【答案】B,C,D
12．【答案】4
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）解：
（2）解：f(－3)＝(－3)2＋2＝11，f(1)＝(1＋2)2＝9.
（3）解：若x≥1，则(x＋2)2＝16，解得x＝2或x＝－6(舍去).
若x<1，则x2＋2＝16，解得x＝ (舍去)或x＝－.
综上，可得x＝2或x＝－.
16．【答案】（1）设，则，所以
又为奇函数，所以，
所以当时，
（2）由（1）知，解不等式，
等价于或，解得：或
综上可知，不等式的解集为
17．【答案】（1）由题意 ，
故方程 在 上恰有两个不等的实数根的范围 ，
即 ，则此时必有 ，
所以 ，
所以实数 的取值范围为 ；
（2）由函数 在 上单调递减，
因为函数 在区间 上的最大值与最小值的差不超过1，
可得 ，即 ，
即 ，所以 ，
设 ，因为 ，则 ，
可得 ，
当 时， ，
当 时，可得 ，
因为 在区间 为单调递减函数，
可得 ，
所以 ，
所以实数 的取值范围是 .
18．【答案】（1）解：由题意可知函数，
令，则，
当求得最小值时，，
又因为，，所以，所以，，
当求得最大值3时，由，可得或，
由二次函数的性质可得，
即，所以，解得，
即的取值范围是，．
（2）解：由（1）可知，
则，
，
令，则，，
则，，，
因为有两个不同的零点，所以在，上有两个不同的实根，
则，
解得，
即的取值范围是，．
19．【答案】（1）解：因为 ， ，如图．
所以 的单调递增区间为 ， ．
（2）解：因为 在 上的值域为 ，
所以 ，即 ，
（i）当 时， ，所以 时， ，
又 ，
所以 ，得 ，此时 ，
而 ，
所以 得 ，
所以
（ii）当 时， ，所以 ，
①当 时， ，
所以 ，得 ， ；
②当 时， ，
所以 ，
所以 ，
所以 或 ， 不成立．
由（i）、（ii）可知 或
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人教A版必修一 第三章函数概念与性质 单元测试解析
一、单选题(共8题；共40分)
1．（5分）设集合，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算；函数的定义域及其求法；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由可得，解得，故，
因为所以，
所以，
故答案为：D.
【分析】本题考查集合的交集运算.先解一元二次不等式可求出集合再根据指数函数的值域可求出集合，再利用集合交集的定义可求出答案.
2．（5分）已知函数，则函数的单调递增区间是（　　）
A． B．
C．和 D．和
【答案】C
【知识点】函数的单调性及单调区间
3．（5分）函数 的图象如图，则其最大值、最小值分别为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的最大（小）值；函数的图象
【解析】【解答】由图像得， 在 处函数图象处于最高点，取得最大值 ，在 时函数图象处于最低点，取得最小值 ，
故答案为：B。
【分析】根据函数图象，直观看出最高点和最低点判断即可。
4．（5分）已知函数 则 （　　）
A．-1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的值
【解析】【解答】函数
则 ，
所以 ，
故答案为：C.
【分析】根据分段函数解析式，依次代入即可求解.
5．（5分）已知f（x)为定义在R上的偶函数，且f（x)+f（x-2)=0，当 时， 则（　　)
A．a=-2，b=-3 B．a=-2，b=3 C．a=-4，b=-3 D．a=-4，b=3
【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性
【解析】【解答】解：，令，可得，
再令，可得，即是以4 为周期的周期函数，
，
在上满足，说明的对称轴为，则，解得，
又根据知，，而，
则，于是，
即，解得.
故答案为：D.
【分析】由，令，变形求得函数是以4 为周期的周期函数，分析可得，得到，再由求得即可.
6．（5分）已知函数，下列说法正确的有（　　）
A．存在实数，使的定义域为
B．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是
C．对任意正实数的值域为
D．函数一定有最小值
【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数恒成立问题；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A、函数的定义域为时，对恒成立．
所以，无解，该选项错误，不合题意；
B、因为是增函数，函数在区间上单调递增，
则在区间上单调递增且在上恒成立，
所以，解得，该选项错误，不合题意．
C、要使的值域为，
所以函数的值域满足，
所以，解得，
故对任意正实数的值域为，该选项正确，符合题意．
D、由C可知时，的值域为，不存在最小值，该选项错误，不合题意．
故答案为：C
【分析】A选项，解对恒成立，列式求解可得；B选项，令，则根据一元二次函数恒正及对数函数的单调性，得不等式组可解；同B，得复合函数值域，可判断CD.
7．（5分）已知函数，对于任意两不等实数，，都有成立，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：由题意可得函数在上单调递增，
则，
解得或，
由函数在上单调递减，在上单调递增，
则，
综上所述，的取值范围为.
故答案为：B.
【分析】根据分段函数的单调性结合二次函数的单调性、一次函数的单调性，从而得出实数a的取值范围.
8．（5分）下图展示了一个由区间到实数集R的映射过程：区间中的实数对应数轴上的点（如图1）；将线段围成一个圆，使两端点、恰好重合（从到是逆时针，如图2）；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在轴上，点的坐标为（如图3），图3中直线与轴交于点，则的象就是，记作．
则下列命题中正确的是（　　）
A． B．是奇函数
C．在其定义域上单调递增 D．的图象关于轴对称
【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的值；简单的三角恒等变换
【解析】【解答】解：由题意设图3的圆的半径为r，则，，图3的圆的圆心坐标为，
设的圆心角为，则，，
，，
直线AM：，
即，令，求得，，
A、，A错误；
BD、由题意得， 的定义域为，定义域不关于原点对称，B错误，D错误；
C、在单调递减，在单调递增，C正确.
故答案为：C.
【分析】设的圆心角为，根据弧长和圆心角的关系求出点M坐标，再结合点A坐标求出直线AM方程，令，求出，得到的方程，进而分析选项.
二、多选题(共3题；共18分)
9．（6分）已知函数是奇函数且上可导，且，则下列说法正确的是（　　）
A． B．函数为偶函数
C． D．函数的周期为4
【答案】A,B,D
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性；简单复合函数求导法则
10．（6分）下列各结论中正确的是（　　）
A．“”是“”的充要条件
B．函数的最小值为2
C．命题“，”的否定是“，”
D．若函数有负值，则实数a的取值范围是或
【答案】A,D
【知识点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断；基本不等式在最值问题中的应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：对于A，因为，所以，又因为，则，
则“”是“”的充要条件，所以A对；
对于B，因为，则函数，
当且仅当时等号成立，则当且仅当时等号成立，
即当且仅当时等号成立，这与矛盾，所以无最小值，所以B错；
对于C，命题“，”的否定是“，”，所以C错；
对于D，因为函数有负值，则所以，
则实数a的取值范围是或，所以D对.
故答案为：AD.
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法、均值不等式求最值的条件、全称命题与特称命题互为否定的关系、二次函数的图象与判别式的关系得出实数a的取值范围的方法，从而找出结论正确的选项.
11．（6分）设函数，其中.则下列说法正确的是（　　）
A．可能为奇函数
B．既有极大值也有极小值
C．若恒成立，则
D．若是方程的两个不同实根，且，则
【答案】B,C,D
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：函数定义域为，
A、若为奇函数，则，即，解得或，
与矛盾，则不可能为奇函数，故A错误；
B、，
，
则存在两个不等实根，不妨设，
当时，解得或；当，解得，
则在上单调递增，在上单调递减，
即在处取极大值，在处取极小值，故B正确；
C、由以及的单调性可知，
当或时，；当或时，；
因为，且恒成立，所以，即，故C正确；
D、因为是方程的两个不同实根，所以，
令，则，
令，解得，
则关于点对称，即关于点对称，
由以及在区间上单调递减，可得，又，，
可得，则，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】函数定义域为，假设函数为奇函数，则求得或，结合推出矛盾即可判断A；求导，利用导数判断函数的单调性即可判断B；由以及的单调性可知，结合恒成立求解即可判断C；由是方程，利用韦达定理，结合导数求得关于点对称，结合在区间上单调递减求解即可判断D.
三、填空题(共3题；共15分)
12．（5分）已知幂函数的图象经过点，则　 　．
【答案】4
【知识点】幂函数的概念与表示
13．（5分）已知函数的定义域为，则的定义域为　 　.
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】函数的定义域为，即，
所以对于有，
所以的定义域为.
故答案为：
【分析】 根据函数的定义域知x的取值范围，求出f(x)的定义域，再求的定义域.
14．（5分）已知，设，，其中k是整数． 若对一切，都是区间上的严格增函数．则的取值范围是 　 　 ．
【答案】
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】，
令，
则，
因为，所以，
令得或，令得，，
故在和上单调递增，在上单调递减，
因为，，其中，
令，解得，令，解得，
故在上单调递减，在上单调递增，
且在和内下凹，在内上凸，
的几何意义是点和点连线的斜率，
当在内下凹时，可满足都是区间上严格递增，
因此当时，严格递增，
而当时，唯一可能使不严格递增的区间可能在，
曲线须在直线下方，曲线须在直线上方，
故需使点都在处的切线上或切线上方即可，
从图象可知，只需在处的切线上或切线上方即可，
，，
故曲线在处的切线方程为，
令，化简得，
，因此，即，
令，则，即，
其中，画出及的图象，如下：
由图可知，，即
故答案为：
【分析】利用已知条件结合导数的运算法则得出，令，再利用，所以，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而判断出在和上单调递增，在上单调递减，再利用，，其中，再结合求导的方法判断函数W(x)的单调性，且在和内下凹，在内上凸，再利用的几何意义是点和点连线的斜率，当在内下凹时，可满足都是区间上严格递增，因此当时，严格递增，而当时，唯一可能使不严格递增的区间可能在，曲线须在直线下方，曲线须在直线上方，故需使点都在处的切线上或切线上方即可，从图象可知，只需在处的切线上或切线上方即可，再结合求导的方法求出曲线在处的切线方程为，令，化简得，再利用，因此，令，则，其中，画出及的图象，由图可知t的取值范围，进而得出 的取值范围。
四、解答题(共5题；共77分)
15．（21分）下图是一个电子元件在处理数据时的流程图：
（1）（7分）试确定y与x的函数关系式；
（2）（7分）求f(－3)，f(1)的值；
（3）（7分）若f(x)＝16，求x的值.
【答案】（1）解：
（2）解：f(－3)＝(－3)2＋2＝11，f(1)＝(1＋2)2＝9.
（3）解：若x≥1，则(x＋2)2＝16，解得x＝2或x＝－6(舍去).
若x<1，则x2＋2＝16，解得x＝ (舍去)或x＝－.
综上，可得x＝2或x＝－.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值
【解析】【分析】(1)由已知条件即可得出函数的解析式。
(2)把数值代入函数点到直线的距离公式额经销商，由此计算出结果即可。
(3)结合题意代入数值，由此得出关于x的方程，求解出x的取值即可。
16．（14分）已知是定义在上的奇函数，当时，.
（1）（7分）求时，函数的解析式；
（2）（7分）解不等式.
【答案】（1）设，则，所以
又为奇函数，所以，
所以当时，
（2）由（1）知，解不等式，
等价于或，解得：或
综上可知，不等式的解集为
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的奇偶性；奇函数与偶函数的性质；不等式的综合
【解析】【分析】(1)首先由奇函数的定义即可判断出函数为奇函数，结合奇函数的限制即可求出函数的解析式。
(2)由已知条件即可得出不等式，然后由一元二次不等式的解法求解出x的取值范围，从而得出不等式的解集。
17．（14分）已知 ，函数 ．
（1）（7分）若关于x的方程 在 上恰有两个不等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）（7分）设 ，若对任意 ，函数 在区间 上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．
【答案】（1）由题意 ，
故方程 在 上恰有两个不等的实数根的范围 ，
即 ，则此时必有 ，
所以 ，
所以实数 的取值范围为 ；
（2）由函数 在 上单调递减，
因为函数 在区间 上的最大值与最小值的差不超过1，
可得 ，即 ，
即 ，所以 ，
设 ，因为 ，则 ，
可得 ，
当 时， ，
当 时，可得 ，
因为 在区间 为单调递减函数，
可得 ，
所以 ，
所以实数 的取值范围是 .
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；不等式的综合；正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【分析】 (1)利用数形结合法结合正弦函数的图象，讨论a的取值范围，进行求解即可；
(2)根据条件得到恒成立，利用换元法进行化简，结合对勾函数的单调性，即可求解.
18．（14分）已知函数的最大值与最小值分别为3和-1．
（1）（7分）求a的取值范围；
（2）（7分）设a的最大值为b，，且有两个不同的零点，求c的取值范围．
【答案】（1）解：由题意可知函数，
令，则，
当求得最小值时，，
又因为，，所以，所以，，
当求得最大值3时，由，可得或，
由二次函数的性质可得，
即，所以，解得，
即的取值范围是，．
（2）解：由（1）可知，
则，
，
令，则，，
则，，，
因为有两个不同的零点，所以在，上有两个不同的实根，
则，
解得，
即的取值范围是，．
【知识点】函数的最大（小）值；函数的值；对数的性质与运算法则；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】(1)首先整理化简函数的解析式，再令结合二次函数的图象和性质即可求出函数的最值，结合对数函数的单调性即可求出a的取值范围。
(2)根据题意由已知条件即可得出函数的解析式，整理化简结合二次函数的图象和性质由零点的个数与方程根的情况，即可得出关于c的不等式组，求解出c的取值范围即可。
19．（14分）已知 ，函数 ．
（1）（7分）若 ，求 的单调递增区间；
（2）（7分）函数 在 上的值域为 ，求 ， 需要满足的条件．
【答案】（1）解：因为 ， ，如图．
所以 的单调递增区间为 ， ．
（2）解：因为 在 上的值域为 ，
所以 ，即 ，
（i）当 时， ，所以 时， ，
又 ，
所以 ，得 ，此时 ，
而 ，
所以 得 ，
所以
（ii）当 时， ，所以 ，
①当 时， ，
所以 ，得 ， ；
②当 时， ，
所以 ，
所以 ，
所以 或 ， 不成立．
由（i）、（ii）可知 或
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的单调性及单调区间；函数的最大（小）值
【解析】【分析】（1）由图象得到单调递增区间；（2）分段函数求值域，对 分情况讨论，由值域得到 的值.
试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：150分
分值分布 客观题（占比） 58.0(38.7%)
主观题（占比） 92.0(61.3%)
题量分布 客观题（占比） 11(57.9%)
主观题（占比） 8(42.1%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
填空题 3(15.8%) 15.0(10.0%)
解答题 5(26.3%) 77.0(51.3%)
多选题 3(15.8%) 18.0(12.0%)
单选题 8(42.1%) 40.0(26.7%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (36.8%)
2 容易 (42.1%)
3 困难 (21.1%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 函数的周期性 11.0(7.3%) 5,9
2 一元二次方程的根与系数的关系 6.0(4.0%) 10
3 奇偶函数图象的对称性 5.0(3.3%) 8
4 指数函数的图象与性质 5.0(3.3%) 1
5 函数的最大（小）值 52.0(34.7%) 3,6,17,18,19
6 利用导数研究曲线上某点切线方程 5.0(3.3%) 14
7 分段函数的解析式求法及其图象的作法 14.0(9.3%) 19
8 函数的零点与方程根的关系 14.0(9.3%) 18
9 函数的值 45.0(30.0%) 4,8,15,18
10 函数的单调性及单调区间 19.0(12.7%) 2,19
11 函数单调性的性质 29.0(19.3%) 6,7,14,17
12 函数恒成立问题 5.0(3.3%) 6
13 命题的否定 6.0(4.0%) 10
14 函数解析式的求解及常用方法 35.0(23.3%) 15,16
15 正弦函数的性质 14.0(9.3%) 17
16 简单复合函数求导法则 6.0(4.0%) 9
17 必要条件、充分条件与充要条件的判断 6.0(4.0%) 10
18 幂函数的概念与表示 5.0(3.3%) 12
19 函数的奇偶性 36.0(24.0%) 5,8,9,11,16
20 基本不等式在最值问题中的应用 6.0(4.0%) 10
21 利用导数研究函数的单调性 6.0(4.0%) 11
22 奇函数与偶函数的性质 14.0(9.3%) 16
23 函数在某点取得极值的条件 6.0(4.0%) 11
24 交集及其运算 5.0(3.3%) 1
25 函数的图象 5.0(3.3%) 3
26 正弦函数的图象 14.0(9.3%) 17
27 对数的性质与运算法则 14.0(9.3%) 18
28 简单的三角恒等变换 5.0(3.3%) 8
29 不等式的综合 28.0(18.7%) 16,17
30 函数的定义域及其求法 10.0(6.7%) 1,13
31 对数型复合函数的图象与性质 5.0(3.3%) 6
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