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2.2.1基本不等式
A级　基础练习
1.不等式(x-2y)+≥2成立的前提条件为(　　)
A.x≥2y B.x>2y
C.x≤2y D.x<2y
2.已知0A. B.
C. D.
3.已知a>0,b>0,a+4b=2,则ab的最大值为(　　)
A. B.
C.1 D.2
4.设x>0,y>0,且xy=4,则的最小值是(　　)
A.1 B.2
C.-1 D.-2
5.已知x<0,则x+的最大值为(　　)
A.2 B.-
C.-2 D.
6.已知a>0,b>0,a+b=1,且α=a+,β=b+,则α+β的最小值是(　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
7.(2026山东临沂阶段练习)若xy>0,则的最小值为(　　)
A.13 B.26
C.2 D.
8.(2026陕西咸阳阶段练习)已知m2+4n2=9(m>0,n>0),则mn的最大值为(　　)
A. B.
C. D.
9.(2026广西百色阶段练习)已知x>0,则x+的最小值是(　　)
A.5 B.6
C.7 D.8
10.(2026黑龙江哈尔滨期中)已知正数a,b满足a2+b2=2,则a+b的最大值为(　　)
A.1 B.2
C. D.2
11.(多选题)若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是(　　)
A.a2+b2≥2ab B.a+b≥2
C. D.≥2
12.已知t>0,则的最小值为　　　　.
13.已知014.已知a,b,c为正数,求证:≥3.
B级　拔高提升
15.当x>1时,-x的最大值为(　　)
A.-3
B.-1
C.1
D.3
16.若a>0,b>0,则在①,②≥a+b,③,这三个不等式中,不正确的有(　　)
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
17.已知两个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数,类比此定理,有以下结论:三个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数,即当a,b,c均为正实数时,,当且仅当a=b=c时,等号成立.利用上述结论,判断下列命题的真假,则真命题为(　　)
A.若0B.若x>0,则2x+
C.若0D.若x>0,则x2+≥3
18.(2026河南南阳期中)已知正数a,b满足a+b=4,则(1+a)(1+b)的最大值为(　　)
A.4 B.5
C.8 D.9
19.已知a>b>c,则的大小关系是　　　　　　　　　　.
20.已知不等式(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,求正实数a的最小值.
C级　创新练习
21.(2026陕西西安阶段练习)(多选题)数学里有一种证明方法叫做无字证明,一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题,由于这种证明方法的特殊性,无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅.如图所示,点C为圆O的直径AB上一点,D,F是圆上的点,且CD⊥AB,OF⊥AB,且CE⊥OD于点E,设AC=a,BC=b,则利用△OCD,△CDE,△OCF中边长间的关系可以完成的无字证明为(　　)
A.(a>0,b>0)
B.(a>0,b>0)
C.(a>0,b>0)
D.a2+b2≥2ab(a>0,b>0)
答案：
1.B　基本不等式成立的前提条件是各项均为正数,所以不等式(x-2y)+≥2成立的前提条件为x-2y>0,即x>2y.故选B.
2.B　由00,则x(5-5x)=5x(1-x)≤5·()2=,当且仅当x=1-x,即x=时,等号成立,所以x=时,x(5-5x)取得最大值.故选B.
3.A　因为a>0,b>0,a+4b=2,由基本不等式可得2=a+4b≥2=4,可得ab≤,当且仅当a=4b,即a=1,b=时,等号成立,所以ab的最大值为.故选A.
4.A　因为x>0,y>0,且xy=4,所以>0,>0,≥2=2=2×=1,当且仅当,即x=y=2时,等号成立.故选A.
5.C　因为x<0,可得-x>0,则x+=-[(-x)+]≤-2=-2,当且仅当-x=,即x=-1时,等号成立,所以x+的最大值为-2.故选C.
6.D　由题意知a>0,b>0,a+b=1,且α=a+,β=b+,则α+β=a++b+=1+≥1+=5,当且仅当a=b=时,等号成立,所以α+β的最小值为5.故选D.
7.D　由xy>0,得>0,>0,则≥2,当且仅当,即时,等号成立,所以的最小值为.故选D.
8.D　m2+4n2=9≥2×2mn=4mn,则mn≤,当且仅当m=2n,即m=,n=时,等号成立.故选D.
9.A　因为x>0,所以x+1>0,所以x+=x+1+-1≥2-1=5,当且仅当x+1=,即x=2时等号成立.故选A.
10.B　因为正数a,b满足a2+b2=2,所以(a+b)2=a2+b2+2ab≤a2+b2+a2+b2=2+2=4,所以a+b≤2,当且仅当a=b=1时,等号成立,则a+b的最大值为2.故选B.
11.AD　对于A选项,a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,故a2+b2≥2ab,A正确;对于B,取a=b=-1,此时a+b=-2<2=2,B错误;对于C,取a=b=-1,此时=-2<=2,C错误;对于D,因为ab>0,所以>0,>0,所以≥2=2,当且仅当a=b≠0时,等号成立,D正确.故选AD.
12.-1　∵t>0,∴=t+-3≥2-3=-1,当且仅当t=1时,等号成立.
13.　因为014.证明左边=-1+-1+-1=-3.∵a,b,c为正数,∴≥2(当且仅当a=b时,等号成立);≥2(当且仅当a=c时,等号成立);≥2(当且仅当b=c时,等号成立).从而≥6(当且仅当a=b=c时,等号成立).∴-3≥3,即≥3.
15.A　因为x>1,所以x-1>0,所以-x=(1-x)+-1=-1-[(x-1)+]≤-1-2=-3,当且仅当x-1=(x>1),即x=2时,等号成立,所以当x>1时,-x的最大值为-3.故选A.
16.B　因为a,b>0,对于①,由(a+b)()=2+≥2+2=4,当且仅当a=b时,等号成立,所以,所以①错误;对于②,由不等式a3+b3-a2b-ab2=(a+b)(a-b)2≥0,可得a3+b3≥a2b+ab2,两边同除ab,可得≥a+b成立,所以②正确;对于③,由2a2+2b2=a2+b2+a2+b2≥a2+b2+2ab=(a+b)2,可得a2+b2≥,即,所以成立,所以③正确.故选B.
17.D　因为00,则2x+=x+x+≥3=3,当且仅当x=,即x=1时,等号成立,故B错误;因为x>0,x2+=x2+≥3=3,当且仅当x2=,即x=1时,等号成立,故D正确.故选D.
18.D　(1+a)(1+b)≤()2=9,当且仅当1+a=1+b,即a=b=2时,等号成立,
所以(1+a)(1+b)的最大值为9.故选D.
19.　∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,∴.
当且仅当b=时,等号成立.
20.解 (x+y)=1+a+,∵x>0,y>0,a>0,∴≥2=2,∴1+a+≥1+a+2,当且仅当y=x时,等号成立.
∴要使(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,只需1+a+2≥9恒成立即可.∴(+1)2≥9,即+1≥3,∴a≥4,故a的最小值为4.
21.ABC　依题意,不妨令a≥b>0,OD=OF=,OC=,由OF⊥AB,得CF=,
连接AD,BD,则∠ADB=90°,而CD⊥AB,则∠BDC=∠DAC,Rt△BCD∽Rt△DCA,于是,CD=,
又CE⊥OD,∠CDE=∠ODC,
则Rt△CDE∽Rt△ODC,,
于是DE=,观察图形知,OD≥CD,DE≤CD,OF≤CF,当且仅当点C,O重合时,等号成立,即,当且仅当a=b时,等号成立,故A,B,C正确;a2+b2,2ab不能表示△OCD,△CDE,△OCF中边长,故D错误.故选ABC.
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