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13.1 三角形的概念
人教版八年级上册 第十三章 三角形
一、学习目标
1. 结合具体的实例，理解三角形的概念及其边、顶点、角等基本要素，会用符号、字母表示三角形，进一步强化数学符号意识。
2. 能按边的相等关系对三角形进行分类，体会数学中的分类思想。
3. 掌握在复杂图形中数三角形个数的方法，做到不重不漏，培养有序思维能力。
二、知识梳理
1. 三角形的定义和基本要素
项目 内容
定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫作三角形。
顶点 三个顶点，相邻两边的公共端点。用大写字母A、B、C表示。
边 三条边，分别是线段AB、BC、CA。顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示。
内角 三个内角，简称三角形的角。相邻两边所组成的角，分别是∠A、∠B、∠C。
符号表示 顶点是A、B、C的三角形记作△ABC，读作"三角形ABC"。
关键条件 三条线段；不在同一条直线上；首尾顺次相接。三个条件缺一不可。
2. 三角形按边分类
类别 定义 特征
三边都不相等的三角形 三条边互不相等 没有相等的边
等腰三角形 有两条边相等的三角形 相等的两条边叫腰，另一条边叫底边；两腰的夹角叫顶角，腰与底边的夹角叫底角
底边和腰不相等的等腰三角形 有两条边相等，第三条边不相等 是等腰三角形的常见情况
等边三角形 三条边都相等的三角形 特殊的等腰三角形。等边三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形
两种分类方式 三角形按边分类和按角分类是两种独立的分类方式，各自独立 同一个三角形可以同时属于两种分类体系中的不同类别
3. 数三角形个数的方法
方法 操作要点
方法一：按组成图形的个数 先数由单个图形组成的三角形，再数由两个图形组成的三角形，再数由三个图形组成的三角形……以此类推，最后相加。
方法二：固定顶点 固定一个顶点，变换另外两个顶点去数。例如固定A点，找所有包含A的三角形，再固定B点，以此类推，注意去重。
方法三：固定边 固定一条边（如AB），按顺序找出所有以该边为边的三角形，再换下一条边，注意去重。关键是做到有序、不重不漏。
三、课堂练习
练习1（判断三角形）
下列图形是三角形吗？是三角形的，在括号内打"√"，不是三角形的，打"×"。
（ ） （ ） （ ） （ ） （ ）


练习2（教材P3 例题）
如图，在△ABC中，点D在边BC上，BD = AD = DC = AC。
（1）写出以点C为顶点的三角形。
（2）写出以AB为边的三角形。




练习3（针对训练——数三角形）
如图，在△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD、BE相交于点F。
（1）图中有几个三角形？请把它们表示出来。
（2）以AB为边的三角形有哪些？
（3）以∠C为内角的三角形有哪些？










练习4（教材P3 例题续）
如图，在△ABC中，点D在边BC上，BD = AD = DC = AC。
找出图中的等腰三角形和等边三角形。




练习5（判断正误）
下列说法：
① 等边三角形一定不是钝角三角形；
② 钝角三角形一定不是等腰三角形；
③ 等腰三角形一定不是锐角三角形；
④ 直角三角形一定不是等腰三角形。
其中正确的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4



练习6（随堂演练1——集合关系图）
设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形。下列选项中，能正确表示它们之间关系的是（ ）


练习7（随堂演练2——综合计算）
若△ABC的周长是13cm，边AB与AC的长的和为8cm，边AC与AB的长的差为2cm，则△ABC按边分类是____________。






练习8（随堂演练3——教材P3练习第1题）
如图，在△ABC中，AB = BC = CA，点O在△ABC内，OA = OB = OC，找出图中的等腰三角形和等边三角形。






练习9（随堂演练4——教材P3练习第2题）
如图，在△ABC中，∠BAC是直角，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段BD上，找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。








四、参考答案
练习1 答案
答案：√ × × × ×
解析：
第一个图形：由三条线段首尾顺次相接组成，且三点不在同一直线上，是三角形。
第二至第五个图形：都没有做到首尾顺次相接——有的线段没有连接，有的出现了交叉或断开，不满足三角形的定义，因此都不是三角形。
练习2 答案
解：
（1）以点C为顶点的三角形是△ABC、△ADC。
（2）以AB为边的三角形是△ABC、△ABD。
解析：以某点为顶点的三角形，就是从该点出发，找所有包含该点的三角形。以某边为边的三角形，就是找包含该边的三角形。
练习3 答案
解：
（1）图中一共有8个三角形。
单个的三角形：△ABF、△AEF、△BDF（3个）
两个图形组成的三角形：△ABD、△ABE、△ACD、△BCE（4个）
四个图形组成的三角形：△ABC（1个）
3 + 4 + 1 = 8（个）
（2）以AB为边的三角形有：△ABF、△ABD、△ABE、△ABC。
（3）以∠C为内角的三角形有：△BCE、△ACD、△ABC。
练习4 答案
解：
（3）等腰三角形是△ABD、△ADC。等边三角形是△ADC。
解析：因为BD = AD = DC = AC，所以△ABD中AD = BD，是等腰三角形；△ADC中AD = DC = AC，三边都相等，既是等腰三角形也是等边三角形。
练习5 答案
答案：A（1个正确）
解析：
① 正确。等边三角形的三个角都是60°，都是锐角，所以一定不是钝角三角形。
② 错误。钝角三角形可以是等腰三角形。例如，顶角为100°、两个底角各为40°的等腰三角形就是钝角三角形。
③ 错误。等腰三角形可以是锐角三角形。例如，三个角都是60°的等边三角形就是锐角三角形，同时也是等腰三角形。
④ 错误。直角三角形可以是等腰三角形，即等腰直角三角形（两个锐角各为45°）。
核心结论：三角形按边分类和按角分类是两种独立的分类方式，可以任意组合。
练习6 答案
答案：C
解析：
P（等边三角形）是N（等腰三角形）的子集，因为等边三角形是特殊的等腰三角形。
Q（等腰直角三角形）是M（直角三角形）和N（等腰三角形）的交集。
Q不是P的子集，因为等腰直角三角形只有两条边相等，不是等边三角形。
选项C正确表示了这一关系：P在N内部，Q在M和N的重叠区域。
练习7 答案
答案：等腰三角形
解析：
由 AB + AC = 8cm，AC - AB = 2cm，
解得 AB = 3cm，AC = 5cm。
由周长 AB + AC + BC = 13cm，
得 BC = 13 - 8 = 5cm。
因为 AC = BC = 5cm，两条边相等，
所以△ABC是等腰三角形。
练习8 答案
解：
等腰三角形是△ABC、△BOC、△AOB、△AOC。
等边三角形是△ABC。
解析：因为AB = BC = CA，所以△ABC是等边三角形。因为OA = OB = OC，所以△AOB、△BOC、△AOC都是等腰三角形（各有两条边相等）。
练习9 答案
解：
锐角三角形是△ACE。
直角三角形是△ABC、△ABD、△ACD、△ABE。
钝角三角形是△ADE。
解析：∠BAC是直角，所以△ABC是直角三角形；AD⊥BC，所以∠ADB = ∠ADC = 90°，因此△ABD和△ACD是直角三角形；∠AEB是直角（因为AD⊥BC，E在BD上），所以△ABE是直角三角形。∠ADE = 90° + ∠EDC > 90°，所以△ADE是钝角三角形。△ACE的三个角都是锐角，所以是锐角三角形。

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