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13.3.1 三角形的内角 第2课时 三角形的两个锐角互余
人教版八年级上册 第十三章 三角形
班级：__________ 姓名：__________ 日期：__________ 教材：人教版八年级上册
一、学习目标
1. 理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余。
2. 掌握有两个角互余的三角形是直角三角形的判定方法，并能运用性质定理和判定定理解决相关问题。
二、知识梳理
1. 直角三角形的性质定理
项目 内容 说明
性质定理 直角三角形的两个锐角互余。 由三角形内角和等于180°推导得出
几何语言 在Rt△ABC中，，。 C为直角
符号表示 直角三角形用符号"Rt△"表示，如直角三角形ABC记为。
2. 直角三角形的判定定理
项目 内容 说明
判定定理 有两个角互余的三角形是直角三角形。 性质定理的逆命题
证明思路 在△ABC中，，由三角形内角和等于180°得，即△ABC是直角三角形。 将互余条件代入内角和
3. 重要模型：等角的余角相等
模型名称 模型内容 几何语言
同角的余角相等 如果两个角都与同一个角互余，那么这两个角相等。 若，，则。
等角的余角相等 如果两个角相等，那么它们的余角也相等。 若，则。
直角三角尺
三、课堂练习
练习1（教材P14例题第3题）
如图，∠C =∠D = 90°，AD，BC相交于点E，比较∠CAE与∠DBE的大小。








练习2（针对训练）
如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，CD⊥AB，垂足为D。∠ACD与∠B有什么关系？为什么？








练习3（针对训练）
如图，∠B =∠C = 90°，AD交BC于点O，∠A与∠D有什么关系？请说明理由。








练习4（针对训练）
如图，在△ABC中，∠C = 25°，直线a // b，点A在直线a上，若∠1 = 75°，∠2 = 40°，则△ABC按角分类属于______三角形。






练习5（教材P14练习第2题）
如图，在△ABC中，∠C = 90°，点D，E分别在边AB，AC上，且∠1 =∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？








练习6（随堂演练）
具备下列条件的△ABC中，是直角三角形的是（ ）
A. ∠A +∠B =∠C
B. ∠A :∠B :∠C = 1 : 3 : 4
C. ∠A = 2∠B = 3∠C
D. ∠A = 2∠B = 3∠C




练习7（随堂演练）
如图，∠ACB = 90°，CD⊥AB于D，则图中除直角外相等的角有___________________，互余的角有：_____________________________________________________。






练习8（随堂演练）
如图，在△ABC中，∠ABC = 70°，∠C = 65°，BD⊥AC于D，求∠ABD，∠CBD的度数。








四、参考答案
练习1 答案
解：在Rt△AEC中，∠CAE = 90° – ∠AEC。
在Rt△BDE中，∠DBE = 90° – ∠BED。
∵∠AEC =∠BED，∴∠CAE =∠DBE。
解析：在两个直角三角形中，分别利用"直角三角形的两个锐角互余"，将∠CAE和∠DBE分别表示为90°减去对顶角，再结合对顶角相等得出结论。
练习2 答案
解：∠ACD =∠B。理由：
∵∠ACB = 90°，CD⊥AB，
∴∠ACD +∠BCD = 90°，
∠B +∠BCD = 90°，
∴∠ACD =∠B。
解析：利用"同角的余角相等"，∠ACD和∠B都与∠BCD互余，因此它们相等。
练习3 答案
解：∠A =∠D。理由：
∵∠B =∠C = 90°，
∴∠A +∠AOB = 90°，∠D +∠COD = 90°。
∵∠AOB =∠COD，
∴∠A =∠D。
解析：在两个直角三角形中，分别利用"直角三角形的两个锐角互余"，再结合对顶角相等，推出∠A =∠D。
练习4 答案
答案：直角
解析：
∵a // b，∴∠2 = 40°（内错角相等），
∴∠BAC = 180° – ∠1 – ∠2 = 180° – 75° – 40° = 65°。
∵∠C = 25°，∴∠B = 180° – ∠BAC – ∠C = 180° – 65° – 25° = 90°。
∴△ABC是直角三角形。
练习5 答案
解：△ADE是直角三角形。理由：
∵∠C = 90°，∴∠A +∠2 = 90°。
∵∠1 =∠2，∴∠A +∠1 = 90°。
∴∠ADE = 90°。
∴△ADE是直角三角形。
解析：在Rt△ABC中利用直角三角形两锐角互余，再结合∠1 =∠2进行代换，得出△ADE中∠A +∠1 = 90°，由判定定理可知△ADE是直角三角形。
练习6 答案
答案：A、B
解析：
A. ∠A +∠B =∠C，又∠A +∠B +∠C = 180°，∴2∠C = 180°，∠C = 90°，是直角三角形。
B. ∠A :∠B :∠C = 1 : 3 : 4，设∠A = k，∠B = 3k，∠C = 4k，则k + 3k + 4k = 180°，∴8k = 180°，k = 22.5°，∠C = 90°，是直角三角形。
C. 不能确定∠C = 90°。
D. 同C。
练习7 答案
相等的角：∠A =∠BCD，∠B =∠ACD。
互余的角：∠A与∠B，∠A与∠ACD，∠B与∠BCD，∠ACD与∠BCD。
解析：由∠ACB = 90°，CD⊥AB，利用"同角的余角相等"可得出∠A =∠BCD，∠B =∠ACD。互余的角包括：两个直角三角形各自的锐角互余，以及∠ACB被分成两个互余的角。
练习8 答案
解：∵∠ABC = 70°，∠C = 65°，
∴∠A = 180° – ∠ABC – ∠C = 45°。
∵BD⊥AC，∴∠ADB =∠CDB = 90°，
∴∠ABD = 90° – ∠A = 45°，
∠CBD = 90° – ∠C = 25°。
解析：先利用三角形内角和定理求出∠A = 45°，再分别在Rt△ABD和Rt△CBD中利用直角三角形两锐角互余求出∠ABD和∠CBD。

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