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(共38张PPT)
华师版 九年级 数学（上）
第20章　二次根式
20．2　二次根式的乘除
20．2.1　二次根式的乘法
情景导入
现有一长方形，长为3 cm，宽为2 cm，这个长方形的面积是多少？
根据长方形的面积公式可得：S＝3×2，我们如何对它进行计算呢？
知识模块　二次根式的乘法
自学互研
试一试
计算：
观察计算的结果，每小题的两个算式有什么关系
(1)×;
(2) ×.
从计算的结果，我们发现
×，×.
一般地，设a≥0，b≥0，有
·
这是什么道理呢
下面我们来证明这个结论:
一方面，(·) 2=()2·() 2
=ab(算术平方根的意义).
另一方面，· ≥ 0.
(积的乘方法则)
根据算术平方根的意义，可得·是ab的算术平方根，即
·
于是，我们得到二次根式的乘法法则
·
思考：用计算器计算：(1) ×；(2) .
从中你能发现什么规律？这是什么道理？
事实上，根据积的乘方法则，
有(×)2＝()2×()2＝2×3，
并且×＞0.
所以×是2×3的算术平方根，
即×＝.
这就是说，两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根．
注意，在上式中，a，b都表示非负数．在本章中，如果没有特别说明，字母都表示正数．
一般地，设a≥0，b≥0，有·.
例1 计算:
× ；
× .
解：
合
探
作
究
仿例：计算：(1)×；　　(2) ×；　　　(3)(－2)×3.
解：(1)原式＝＝.
(2)原式＝＝.
(3)原式＝ －2×3×＝.
变例：已知三角形的一边长为 cm，这边上的高为 cm，求此三角形的面积．
解：此三角形的面积为：
××＝ (cm2).
课堂小结
·
一般地，有
这就是说，两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根.
华师版 九年级 数学（上）
第20章　二次根式
20．2　二次根式的乘除
20．2.2　积的算术平方根
情景导入
问题：已知一个长方形，长为，宽为，它的面积是多少？
这个长方形的面积也可以用边长乘积的算术平方根来表示吗？如何表示？
2×3＝6
＝ ＝6
＝ ＝6.
×＝2×3＝6 ，
两者相等
这是一个普遍规律吗？
知识模块　积的算术平方根
自学互研
前面得到的等式·(a≥0，b≥0)，也可以写成
利用这个性质可以进行二次根式的化简.
例2 化简，使被开方数不含完全平方的因数.
解：
这里，被开方数12=23，含有2这一完全平方的因数，通常可根据积的算术平方根的性质，并利用=a(a≥0)，将这个因数“开方”出来.
做一做
计算下列各式，并将所得的结果化简：
(1) ；　 　(2) ×.
解：(1)原式＝＝＝×＝3.
(2)原式＝＝＝×＝5.
合
探
作
究
变例：现有一长方形的长为cm，宽为2 cm，这个长方形的面积是多少？
解：3×2＝3×2×＝6＝36(cm2).
答：这个长方形的面积是36 cm2.
课堂小结
化简二次根式的步骤：
（1）将被开方数尽可能分解成几个平方数.
（3）将平方项应用 (a≥0)化简.
（2）应用
华师版 九年级 数学（上）
第20章　二次根式
20．2　二次根式的乘除
20．2.3　二次根式的除法
情景导入
在△ABC中，BC边上的高h＝6 cm，它的面积恰好等于边长为2 cm的正方形的面积，则BC的长为多少？
试着解一解！
知识模块一　二次根式的除法
自学互研
两个二次根式相除，怎样进行运算呢 商的算术平方根又等于什么
概括
一般地，有
这里为什么要求a≥0，b>0
例3 计算：
(1) ；　　 　(2) .
解： (1)
解： (1)
可先将分子化简为2，从而容易算得结果.
(1) ＝____，＝____；　　　
(2) ＝____，＝____；
(3) ＝____，＝____．
自
探
主
究
1．填空：
2．利用计算器计算，并用“＞”“＜”或“＝”填空．
(1) ____ ；　 　(2) ____ ；
(3) ____ ； 　　(4) ____ ．
＝
＝
＝
＝
总结归纳
二次根式除法法则：
用语言表述为：两个算术平方根的商，等于这两个被开方数的商的算术平方根．
合
探
作
究
范例：计算：
(1) ；(2) ；(3) ；(4)÷ .
解：(1)原式＝＝.
(2)原式＝＝＝2.
(3)原式＝1－.
(4)原式＝＝＝.
合
探
作
究
变例：已知长方体的体积V＝9，高h＝3，求它的底面积S.
解：它的底面积S＝9÷3＝3.
知识模块二　商的算术平方根
自学互研
商的算术平方根法则：
商的算术平方根等于这两个数的算术平方根的商．
例4 化简，使被开方数不含完全平方的因数.
这里，二次根式的被开方数中含有分母，通常可利用分数(或分式)的基本性质，先将分母“配”成完全平方，再“开方”出来.
解：＝＝＝＝＝.
总结归纳
1.化简后的二次根式被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因数(或因式)的幂的指数都小于2，像这样的二次根式称为最简二次根式．
2.要化去分母中的根号，只要将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式就可以了．如上述“范例”，将分子、分母同乘以，得＝＝ ＝.通常将这种化简过程称为分母有理化．
合
探
作
究
仿例：已知xy＞0，化简x.
解：∵－ ≥0，x＞0，
∴y≤0.
∵xy＞0，
∴x＜0，y＜0，－y＞0.
∴原式＝x·＝x· ＝－.
课堂小结
利用这个性质可以进行二次根式的化简.
随堂练习
1.化简:
(1) ; (2) ; (3) ; (4) .
解：(1)3;
(2) 10 ;
(3) ;
(4) ;
2.计算:
(1) ; (2) .
解：(1) ＝ ＝＝ ＝;
(2)＝＝＝＝.
3.现有一张A4纸，其尺寸是210mm297mm，欲从中剪下一个面积为其一半的正方形，问:剪下的正方形的边长是多少 (先用最简二次根式表示，再用计算器计算，精确到0.1mm)
解：剪下的正方形的边长 = = 9176.6mm
作业布置
完成本课时相关练习

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