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华师版 九年级 数学（上）
第21章　一元二次方程
习题21.3
1.如图，学校课外生物小组的试验园地是长35m、宽20m的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道.要使种植面积为600m2，求小道的宽.(精确到0.1m)
A
组
解：设小道的宽为 x cm.
根据题意，得(35 2x)(20 x)=600.
解得x1≈36.1 (不符合题意，舍去) ，x2≈1.4.
答：小道的宽约为 1.4 m.
2.某商店2月份的营业额为50万元，3月份下降了30%，4月份比3月份有所增长，5月份的增长率又比4月份的增长率增加了5个百分点(即5月份的增长率要比4月份的增长率多5%)，营业额达到48.3万元.问:4、5两月的营业额增长率各是多少
解：设4月份的营业额增长率为x cm，则4月份的营业额增长率为(x＋5％).
根据题意，得50(1－30％) (1＋x)(1＋x＋ 5％)=48.3.
解得x1＝0.15 ，x2＝－2.2 (不符合题意，舍去).
答： 4、5两月的营业额增长率各是15％和20％.
当x＝0.15 ＝15％时， x＋ 5％ ＝ 20％.
3.学校准备在图书馆后面的场地边建一个面积为50m2的矩形自行车棚.一边利用图书馆的后墙，并利用已有总长为25m的铁围栏.请你设计，如何搭建较合适
解:如图，设与墙垂直的一边的长为x m,则其邻边长为(25－2x) m.
根据题意,得x(25－2x)=50，
x
25－2x
解得x1=10, x2=2.5 .
所以有两种搭建方法:
一种是与墙平行的一边长为5m，另两边长均为10m;另一种是与墙平行的一边长为20m,另两边长均为2.5m.
墙长无限制，则有两种方法.若墙长不足20m,则选第一种搭建方法.
4.一块长30m、宽20m的矩形操场，现要将它的面积增加一倍，但不改变操场的长、宽之比，问:长和宽应各增加多少米 (精确到0.1m)
解:操场现在的面积:30×20=600(m2)
面积增加一倍即:600×2=1200(m2)
设增加后的长为3x cm，宽为2x cm .
则3x×2x=1200，
解得x =.
即增加后的长为3≈42.4(m);增加后的宽为2≈28.3 (m)
长应增加:42.4-30=12.4(m);宽应增加:28.3-20=8.3(m)
即长应增加12.4m;宽应增加8.3m.
B
组
5.水果店花1500元进了一批水果，按50%的利润定价，无人购买，决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完.经结算，这批水果共盈利500元.若两次打折的折扣相同，问:每次打几折 (精确到0.1折)
解:设每次打了x折，
根据题意，得1500(1＋15％) (1－x)2＝1500＋500，
解得x1≈9.4, x2=－9.4(不符合题意，舍去).
即每次约打了9.4折.
6.为了绿化学校附近的荒山，某校九年级学生已连续三年春季上山植树，至今已成活了2000棵.已知这些学生在七年级时植树400棵，若平均成活率为95%，求这些学生后两年植树棵数的年平均增长率.(精确到1%)
解:这些学生后两年植树棵数的年平均增长率为x，
根据题意，得[400＋400(1＋x) ＋400(1＋x)2]× 95%＝2 000，
整理，得19x2＋57x－43＝0，
解得x1≈0.62=0.62×100％=62％, x2 ≈ －3.62(舍去).
答：这些学生后两年植树棵数的年平均增长率62％.
作业布置
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第21章　一元二次方程
习题21.1
A
组
1.关于x的方程mx2－3x=x2－mx+2是一元二次方程，m应满足什么条件
解：把方程化为一元二次方程的一般形式
mx2－3x=x2－mx+2
mx2－3x －x2+mx=2
(m－1)x2 + ( m－3)x =2
∵m－1≠0
∴m≠ 1
∴ m应满足的条件是m≠ 1.
2.已知关于x的一元二次方程(m－2)x2+3x+m2－4=0有一个根是0，求m的值.
解：已知一元二次方程(m－2)x2+3x+m2－4=0一个根是 0，
把x = 0代入方程(m－2)×02+3×0+m2－4=0.
化简得：m2 4=0，
解得： m=2或m=－2.
又∵m－2≠0
∴m≠ 2
∴m=2 要舍去，只能取 m= 2.
∴ m= 2.
3.根据题意，列出方程(不必求解):
学校中心大草坪上准备建两个同样大小的圆形花坛，要求使花坛的面积是余下草坪面积的一半.已知草坪是长和宽分别为80 m和60 m的矩形，求花坛的半径.
解：设每个圆形花坛的半径为 r 米。
大草坪总面积：80×60=4800 平方米
两个花坛的总面积：2×πr2
余下的草坪面积：4800 2πr2
根据题意列方程： 2πr2=(4800-2πr2)
B
组
4.根据题意，列出方程(不必求解):
在制造变压器中所用的某种规格的硅钢片时，要把长为300 mm、宽为200 mm的矩形硅钢片从中间截去一块面积为14 400 mm2的矩形，使四周剩下的边一样宽.求这个宽度.
解：设设四周剩下的边宽为 x mm。
原硅钢片长：300 mm，截去的矩形长：300 2x mm（左右各留 x）
原硅钢片宽：200 mm，截去的矩形宽：200 2x mm（上下各留 x）
根据题意列方程： (300 2x)(200 2x)=144400
截去的矩形面积为 144400 mm2
作业布置
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华师版 九年级 数学（上）
第21章　一元二次方程
习题21.2
A
组
1.解下列方程:
(1) 2x2－6=0; (2)27=4x2;
(3) 3x2=4x; (4)x(x－1)+3(x－1)=0;
(5) (x＋1)2=2; (6)3(x－5)2=2(5－x).
解：(1)移项，得，2x2＝6.
直接开平方法，得x ＝±
∴ x1＝
(2)两边除以4，得x2 ＝
∴ x1＝
直接开平方法，得x ＝±
(3)移项，得，3x2 － 4x＝0.
因式分解法，得 x(3x－ 4) ＝0
解得： x1＝
∴x＝0或3x－ 4＝0
(4)因式分解法，得 (x－1) (x＋3) ＝0
解得： x1＝1， x2＝－3.
∴x－1 ＝0或x＋3 ＝0，
(5)直接开平方法，得x＋1＝±.
∴ x＝－1±
∴x1＝－1＋， x2＝－1－.
因式分解法，得(x－5) (3x－13)＝0.
∴ x－5 ＝0或3x－13＝0，
∴x1＝5 ， x2＝.
(6)移项，得3(x－5)2＋2(x－5)=0
2.解下列方程:
(1) (2x－1) 2 －1=0; (2) (x＋3)2 =2;
(3) x2＋2x－8=0; (4)3x2=4x－1;
(5) x(3x－2)－6x2 =2; (6) (2x－3)2=x2.
解(1) x1＝1， x2＝0.
(2) x1＝－1， x2＝－5.
(3) x1＝－4， x2＝2.
(4) x1＝， x2＝1.
(5)此方程无实数根.
(6) x1＝1， x2＝3.
3.求满足下列要求的x的所有值:
(1)3x2－6的值等于21;
(2)3x2－6的值与x－2的值相等.
解：(1)根据题意列方程：3x2－6=21
移项，得3x2=21＋6 =27
直接开方法，得x=±3
所以x1＝3， x2＝－3.
(2)根据题意列方程：3x2－6= x－2
整理为一元二次方程标准形式: 3x2－x－4=0
因式分解法，得(3x －4) (x＋1) =0
所以3x －4 ＝0或 x＋1 ＝0.
解得x1＝， x2＝－1.
4.用适当的方法解下列方程:
(1) 3x2－4x =2x; (2) (x＋3)2 =1;
(3) x2＋(＋1)x=0; (4) x(x－6) = 2(x－8);
(5) (x＋1)(x＋1) = 2x; (6) x(x＋8) =16;
(7) (x＋2)(x－5) =1; (8) (2x＋1)2=2(2x＋1).
解(1) x1＝0， x2＝2.
(2) x1＝－3＋， x2＝－3－.
(3) x1＝0， x2＝－－ 1.
(4) x1＝ x2＝4.
(5) x1＝ x2＝ － 1.
(6) x1＝－4＋ 4 ， x2＝－4－4 .
(7) x1＝， x2＝.
(8) x1＝－， x2＝.
5.已知A=2x2＋7x－1，B=6x＋2,当x为何值时，A=B
解：根据题意列方程：2x2＋7x－1=6x＋2，
整理为一元二次方程标准形式：2x2＋x－3 =0
因式分解法，得(2x＋3) (x－1)=0
解得：x1＝－， x2＝1.
所以当x＝－或 x＝1时， A=B.
6.已知两个连续奇数的积是255，求这两个奇数.
解：设较小的奇数为x，则连续的下一个奇数为 x+2.
根据题意列方程： x(x+2)＝255
整理为标准形式: x2＋2x－255＝0
因式分解法，得(x＋17) (x－15)=0
解得：x1＝15， x2＝－17.
∴当 x=15 时，另一个奇数为 15+2=17 .
当 x= 17 时，另一个奇数为 17+2= 15 .
因此这两个连续奇数是 15 和 17，或 -17 和 -15.
7.不解方程，判断下列方程的根的情况:
（1）3x2 = 4x + 2;
（2）2(x + 2) 2－(8－x)=0;
（3） x2 +3－2x=0;
（4） (2y－3)2+ (3y－2)2=0.
解：(1)先整理为标准形式: 3x2－4x－2 =0.
这里a=3，b=－4，c=－2
∴Δ＝(－4) 2－4×3×(－2) ＝16＋24＝ 73>0；
∴这个方程有两个不相等的实数根.
(2)先整理为标准形式: 2x2＋9x =0.
这里a=2，b=9，c=0
∴Δ＝92－4×2×0 ＝81>0；
∴这个方程有两个不相等的实数根.
(3)先整理为标准形式: x2－2x＋3 =0.
这里a=1，b=－2，c=3
∴Δ＝(－2) 2－4×1×3 ＝12－12＝0；
∴这个方程有两个相等的实数根.
(4)先整理为标准形式: 13y2－24y＋13 =0.
这里a=13，b=－24，c=13
∴Δ＝(－24) 2－4×13×13＝576－676＝－100＜0；
∴这个方程没有实数根.
8.不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积;
(1)(x＋1)(x－2)=2; (2) 3x2＋7x =6.
解：(1)展开整理为标准形式: x2－x－4 =0.
这里a=1，b=－1，c=－4
∴x1＋x2＝－＝ ＝1 ；
x1 x2＝
(2)展开整理为标准形式: 3x2＋7x－6 =0.
这里a=3，b=7，c=－6
∴x1＋x2＝－＝ ；
x1 x2＝
B
组
9.已知关于x的方程x2－(2k＋1)x+k2=2.
(1)当k取何值时，方程没有实数根
(2)当k取何值时，方程有实数根
解：整理为标准形式: x2－(2k＋1)x+ (k2－2) =0.
这里a=1，b=－(2k＋1)，c= k2－2
∴Δ＝[－(2k＋1)] 2－4×1×(k2－2) ＝4k2＋4k＋1－4k2 ＋8＝4k＋9；
(1) ∵方程没有实数根，
∴ Δ ＝4k＋9＜0，
解得：k ＜－
∴当k＜－时，方程没有实数根.
(2) ∵方程有实数根，
∴ Δ ＝4k＋9≥0，
解得：k ≥ －
∴当k ≥ －时，方程有实数根.
10.证明:对于任何实数m，关于x的方程x2－2mx＋2m－2=0总有两个不相等的实数根.
解： x2－2mx＋2m－2=0.
这里a=1，b=－2m，c= 2m－2
∴Δ＝(－2m)2－4×1×(2m－2) ＝4(m－1)2＋4；
∵(m－1)2≥ 0对任何实数m恒成立,
∴ 4(m－1)2＋4 ≥4＞ 0,
即Δ＞0对任何实数m恒成立.
因此对于任何实数m ，x的方程x2－2mx＋2m－2=0总有两个不相等的实数根.
11.解答下列问题，并考虑有哪些不同的解法:
(1)已知关于x的方程x2－px＋q=0的两个根是0和－3，求p和q的值;
(2)已知关于x的方程x2－6x＋p2－2p＋5=0的一个根是2，求它的另一个根和p的值.
解：（1）方法一：韦达定理
对于一元二次方程 x2－px＋q=0 ，
这里 a=1, b=－p, c=q
∴x1＋x2＝0+( 3) = p ，
∴x1x2＝ 0×( 3) =q ，
∴q= 0.
∴ p = 3.
方法二：代入法
将根 x=0 和 x= 3 分别代入方程：
代入 x=0：02－p×0+q=0，得q=0
代入 x= 3：( 3)2+ －p×( 3)+0=0，即9+3p=0，得p =－3
∴ p = 3，q=0.
（2）方法一：韦达定理
设另一个根为 x2 ，a=1, b=－6.
∴ x1 + x2 ＝2+ x2 ＝6，得x2 ＝4.
∴ x1 · x2 = 2×4 =p2－2p＋5，即p2－2p＋5 =8，
整理得p2－2p－3 =0，
解得：p =3或p=－1.
方法二：代入法
将 x=2 代入方程：22+6×2＋ p2－2p＋5 =0，
整理得p2－2p－3 =0.
解得：p =3或p=－1，
将p=3代入原方程: x2－6x＋8=0，因式分解得(x－2)(x－4)=0，另一个根为4。
将p=－1代入原方程: x2－6x＋8=0，同样得另一个根为4。
因此另一个根为4，p=3或p=－1.
作业布置
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