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华师版 九年级 数学（上）
第21章 一元二次方程
21．2 一元二次方程的解法
21．2.3　公式法
用配方法解方程2x2＋4x＋1＝0，并总结用配方法解一元二次方程的步骤是什么．
情景导入
用配方法解一元二次方程的步骤：
(1)移项：把常数项移到方程的右边；
(2)配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；
(3)开方：根据平方根的意义，方程两边开平方；
(4)求解：解一元一次方程；
(5)写解：写出原方程的解．
知识模块一　一元二次方程的求根公式
自学互研
探索
我们来解一般形式的一元二次方程:
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
因为 a ≠ 0，方程两边除以 a，得
移项，得
x2 + x + ＝ 0.
x2 + x ＝ － .
配方，得
x2 ＋ 2·x· ＋ ()2＝ － ，
即 (x ＋ )2 ＝.
因为a ≠ 0，所以4a2 > 0.当 b2 – 4ac ≥ 0时，直接开平方，得
x ＋ ＝ .
所以
即
x1＝，x2＝.
x ＝ － .
由以上研究，得到了一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的求根公式.
将一元二次方程中系数 a、b、c 的值，直接代入这个公式，就可以求得方程的根.这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
这里为什么要强调 b2 – 4ac ≥ 0 ？如果 b2 – 4ac < 0会怎样？
无解
x ＝ (0).
总结归纳
如果b2－4ac＜0，方程无实数根，此时就不能将a，b，c代入公式来计算．所以，用公式法解方程时，首先求它的判别式b2－4ac的值，如果为非负数，然后再代入公式求解．
知识模块二　用公式法解一元二次方程
自学互研
例6 解下列方程：
（1）2x2 + x – 6 = 0； （2）x2 + 4x = 2；
（3）5x2 – 4x – 12 = 0；
（4）4x2 + 4x + 10 =1 – 8x.
解（1）a = 2，b = 1，c = – 6，
因为 b2 – 4ac = 12 – 4×2×（ – 6）
= 1 + 48 = 49 > 0，
所以
x ＝
即 x1＝，x2＝－.
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
特别注意:当 b2 – 4ac < 0 时无解.
1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值.
2、求出 b2 – 4ac 的值.
x ＝
3、代入求根公式 :
4、写出方程的解：x1、x2.
（2）将方程化为一般形式，得
x2 + 4x – 2 = 0.
因为 b2 – 4ac = 24＞0，
所以
x
即 x1＝，x2.
（3）因为 b2 – 4ac = 256，
所以
x
即 x1＝，x2.
（4）整理，得
4x2 + 12x + 9 = 0.
因为 b2 – 4ac = 0，
所以
x
即 x1＝x2.
这里b2 – 4ac = 0 ，方程有两个相等 的实数根.
合
探
作
究
范例：解下列一元二次方程：
(1)x2－5x＋2＝0；
(2)x2－3x＝5.
解：(1)这里a＝1，b＝－5，c＝2.
∵b2－4ac＝(－5)2－4×1×2＝25－8＝17>0，
∴x＝＝＝，
即 x1＝， x2 ＝.
(2)将方程化为一般形式，得x2－3x－5＝0.
这里a＝1，b＝－3，c＝－5，
∵b2－4ac＝(－3)2－4×1×(－5)＝9＋20＝29＞0，
∴x＝＝＝，
即x1＝， x1 ＝.
仿例：解下列方程：
(1)2x2＋1＝2x； (2)6x2＋3x＝2x＋1.
解：(1)将方程化为一般形式，得2x2－2x＋1＝0.
∵b2－4ac＝(－2)2－4×2×1＝4，
这里a＝2，b＝－23，c＝1.
∴x ＝ ＝＝＝，
即x1 ＝，x2＝.
(2)将方程化为一般形式，得6x2＋x－1＝0.
这里a＝6，b＝1，c＝－1.
∵b2－4ac＝12－4×6×(－1)＝1＋24＝25>0，
∴x＝ ＝＝.
即x1 ＝－， x2＝.
知识模块三　用适当的方法解一元二次方程
自学互研
思考
根据你学习的体会小结一下：解一元二次方程有哪几种方法？通常你是如何根据方程的特点选用的？和同学交流一下.
直接开平方法
因式分解法
配方法
公式法
现在我们来解决 22.1 节中的问题 1：
x(x + 10) = 900，
x2 + 10x – 900 = 0，
x＝，
x1 ＝， x2＝.
它们都是所列方程的根，但负数根 x2 不符合题意，应舍去.
x1 ＝， x2＝.
x ＝≈ 25.4 ，
x + 10 ≈ 35.4，
符合题意，因此绿地的长约为 35.4 m，宽约为25.4 m.
合
探
作
究
范例：用适当的方法解一元二次方程：
(1)(x－3)2－9＝0； (2)x2－2x＝2x＋1.
解：(1)移项，得(x－3)2＝9.
直接开平方，得x－3＝±3.
即x1＝6，x2＝0.
(2)移项，得x2－4x＝1.
配方(方程两边都加4)，得x2 －4x＋4＝5，
即(x－2)2＝5.
直接开平方，得x－2＝±.
∴ x1＝2＋，x2＝2－.
仿例：用适当的方法解下列方程：
(1)2x2－3x－1＝0； (2)x(x－2)－3x＋6＝0.
解：(1)这里a＝2，b＝－3，c＝－1.
∴x＝ ＝＝.
即x1＝， x2 ＝.
∵b－4ac＝(－3)－4×2×(－1)＝9＋8＝17＞0，
(2)方程变形为x(x－2)－3(x－2)＝0.
方程左边分解因式，得(x－3)(x－2)＝0.
∴x－3＝0或x－2＝0.
得x1＝3，x2＝2.
课堂小结
一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的求根公式.
将一元二次方程中系数 a、b、c 的值，直接代入这个公式，就可以求得方程的根.这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
x ＝ (0).
随堂练习
用公式法解下列方程:
(1) x2－6x＋1=0; (2) 2x2－x=6;
(3)4t2-3t-1=t-2; (4) 3x(x－3)=2(x－1)(x + 1).
解：(1)这里a＝1，b＝－6，c＝1.
∴x＝ ＝＝.
即 x1＝， x2 ＝.
∵b－4ac＝(－6)－4×1×1＝36－4＝32＞0，
(2)整理，得2x2－x － 6=0
这里a＝2，b＝－1，c＝－6.
∴x＝ ＝＝.
即 x1＝， x2 ＝.
∵b－4ac＝(－1)－4×2×(－6)＝1＋48＝49＞0，
(3)整理，得4t2－4t ＋1=0
这里a＝4，b＝－4，c＝1.
∴t＝ ＝＝＝.
即 t1＝ t2 ＝.
∵b－4ac＝(－4)－4×4×1＝16－16＝0，
(4)整理，得x2－9x ＋2=0
这里a＝1，b＝－9，c＝2.
∴x＝ ＝＝.
即 x1＝， x2 ＝.
∵b－4ac＝(－9)－4×1×2＝81－8＝73＞0，
作业布置
完成本课时相关练习

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