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华师版 九年级 数学（上）
第21章 一元二次方程
21．2 一元二次方程的解法
21．2.4　一元二次方程根的判别式
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) 的求根公式是什么？
复习导入
x ＝ (0).
公式中哪个部分决定了方程根的情况？为什么？
情景引入
问题：不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？
(1)x2－5x＋6＝0；
(2)x2－4x＋4＝0；
(3)x2＋2x＋3＝0.
知识模块一　一元二次方程根的判别式的推导
自学互研
我们在用配方法推导一元二次方程求根公式的过程中，得到
(x ＋ )2 ＝.
（ ）
当 b2 – 4ac ≥ 0时，直接开平方，得
x ＋ ＝ .
如果会怎么样
x ＋ ＝ .
也就是说，只有当一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0)的系数 a、b、c 满足条件 b2 – 4ac ≥ 0 时才有实数根.
因此，我们可以根据一元二次方程的系数直接判定根的情况.
观察方程 (x ＋ )2 ＝. （ ），
我们发现有如下三种情况：
（1）当 b2 – 4ac > 0 时，方程 （ ）的右边是一个正数，它有两个不相等的平方根，因此方程有两个不相等的实数根：
x1＝，x2＝ ；
（2）当 b2 – 4ac = 0 时，方程 （ ）的右边是 0，因此方程有两个相等的实数根：
（3）当 b2 – 4ac < 0 时，方程 （ ）的右边是一个负数，而对于任何实数 x，方程左边 (x ＋ )2 ，因此方程没有实数根.
x1＝x2＝；
合
探
作
究
计算“情境引入”三个方程的 b2－4ac的值：
(1)x2－5x＋6＝0；
(2)x2－4x＋4＝0；
(3)x2＋2x＋3＝0.
解：(1)Δ＝25－24＝1>0；
(2)Δ＝16－16＝0；
(3)Δ＝4－12＝－8<0
概括
这里 b2 – 4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，用它可以直接判断一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的实数根的情况：
当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根；
当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根；
当 Δ < 0 时，方程没有实数根.
知识模块二　用根的判别式判断一元二次方程根的情况
自学互研
例7 不解方程，判断下列方程的根的情况：
（1）3x2 = 5x – 2； （2）4x2 – 2x + = 0；
（3）4(y2 + 1) – y = 0；
解 （1）原方程可变形为 3x2 – 5x + 2 = 0.
因为 Δ = (– 5)2 – 4×3×2 = 25 – 24 = 1 > 0，
所以方程有两个不相等的实数根.
计算判别式时，方程必须化为一元二次方程的一般形式.
例7 不解方程，判断下列方程的根的情况：
（1）3x2 = 5x – 2； （2）4x2 – 2x + = 0；
（3）4(y2 + 1) – y = 0；
（2）因为 Δ = _______________________，所以方程________________________.
有两个相等的实数根
(－2)2－4×4×＝4－4＝0
例7 不解方程，判断下列方程的根的情况：
（1）3x2 = 5x – 2； （2）4x2 – 2x + = 0；
（3）4(y2 + 1) – y = 0；
（3）原方程可变形为_________________.
因为 Δ =_____________________________，所以方程________________________________.
4y2 – y + 4 = 0
(– 1)2 – 4×4×4 = 1 – 64= – 63＜0
没有实数根
合
探
作
究
变例：求证：关于x的方程x2＋2kx＋k－1＝0总有两个不相等的实数根．
证明：∵Δ＝(2k)2－4×1×(k－1)＝4k2－4k＋4＝ 4 (k － )2 ＋3，
又(k － )2 ≥0，
∴Δ＝4 (k － )2 ＋3＞0.
∴关于x的方程x2＋2kx＋k－1＝0总有两个不相等的实数根．
知识模块三　由一元二次方程根的情况确定方程中字母系数的值或取值范围
自学互研
已知关于 x 的方程 2x2 – (3 + 4k)x + 2k2 + k = 0.
当 k 取何值时，方程有两个不相等的实数根？
当 k 取何值时，方程有两个相等的实数根？
当 k 取何值时，方程没有实数根？
试一试
解 因为 Δ = [– (3 + 4k)]2 – 4×2×(2k2 + k)
= 16k + 9.
当16k + 9 = 0，即k = － 方程有两个相等的实数根.
当16k + 9 > 0，即k＞ － 时，方程有两个不相等的实数根.
当16k + 9 ＜ 0，即＜ － 方程没有实数根.
已知根的情况，利用根的判别式求参数的取值范围时，应注意什么？
自
探
主
究
遇到含参方程，首先要判断是否一定是一元二次方程．
如果二次项系数含参数，必须讨论参数是否为0.
合
探
作
究
范例：若关于x的方程x2＋x＋m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ( )
A．m＜－4 B．m＞4
C．m＜－ D．m＜
D
仿例：若关于x的方程x2－4x＋m＝0不存在实数根，则m的取值范围是 ( )
A．m＞4 B．m≥4
C．m≤4 D．m＜4
A
变例：若关于x的一元二次方程(k－1)x2－4x＋2＝0有两个相等实数根，则k的取值为 ( )
A．k＝3 B．k＝1
C．k＝3且k≠1 D．k＝－3
A
课堂小结
这里 b2 – 4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，用它可以直接判断一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的实数根的情况：
当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根；
当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根；
当 Δ < 0 时，方程没有实数根.
随堂练习
1.不解方程，判断下列方程的根的情况:
(1) 3x2＋5x =4; (2)2x－x2－2=0;
(3)4(y2－y)＋1=0; (4)2(x＋1)2=5x.
解：(1)先化为一般形式: 3x2＋5x－ 4 =0，
这里a＝3， b＝5， c＝－4
∴Δ＝52－4×3×(－4) ＝25＋48 ＝ 73>0；
∴这个方程有两个不相等的实数根.
(2)先化为一般形式: x2－2x＋2 =0，
这里a＝1， b＝－2， c＝2
∴Δ＝(－2) 2－4×1×2 ＝4－8 ＝ －4＜0；
∴这个方程没有实数根.
(3)先化为一般形式: 4y2－4y＋1 =0，
这里a＝4， b＝－4， c＝1
∴Δ＝(－4) 2－4×1×1 ＝16－16 ＝ 0；
∴这个方程有两个相等的实数根.
(4)先化为一般形式: 2x2－x＋2 =0，
这里a＝2， b＝－1， c＝2
∴Δ＝(－1) 2－4×2×2 ＝1－16 ＝ －15 ＜0 ；
∴这个方程没有实数根.
2.小明告诉同学，他发现了一种简便方法，可以判断一类方程必有实数根:若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的系数a、c异号(即两数为一正一负)，那么这个方程一定有两个不相等的实数根.他的说法是否正确 为什么
正确
证明过程：
对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，判别式为：Δ＝ .
∵a、c异号，即ac＜0,
是一个数的平方，
∴ 0.
∴ Δ＝
∴方程一定有两个不相等的实数根，小明的说法是正确的。
∴
作业布置
完成本课时相关练习

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