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(共24张PPT)
华师版 九年级 数学（上）
第21章 一元二次方程
21．3　实践与探索
第1课时　利用一元二次方程解决简单几何、增长率问题
情景导入
王伯伯想在院子里建一个面积为60 m2的矩形花园，花园的一侧靠墙(墙长15 m)，另外三边用篱笆围成．如果篱笆的总长度为22 m，这个花园的长和宽各是多少？
这个问题涉及到哪些几何图形？
题目中有哪些已知量？哪些未知量？
这些量之间存在怎样的关系？
知识模块一　利用一元二次方程解决简单的几何问题
自学互研
问题1 学校生物小组有一块长32m、宽20m的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道.要使种植面积为540m2，小道的宽应是多少？
分析 问题中没有明确小道在试验田中的位置，试作出图21.3.1，不难发现小道的占地面积与位置无关.
图21.3.1
32m
20m
设小道宽为 x m，则两条小道的面积分别是32x m2 和 20x m2，其中重叠部分小正方形的面积为 x2 m2，根据题意，得
32×20 – 32x – 20x + x = 540.
图21.3.1
32m
20m
x m
x m
图21.3.2
32 m
20m
如果设想把小道平移到两边，如图 21.3.2 所示，那么小道所占面积是否保持不变？
x m
x m
处理问题更方便！
试一试
在应用一元二次方程解决实际问题时，与应用一元一次方程一样，要注意：
1.分析题意，抓住等量关系；
2.列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决；
3.求得方程的根之后，要注意检验是否符合题意，最后得到实际问题的解答.
总结归纳
利用一元二次方程解应用题的一般步骤：
(1)审题，分析题意，找出已知量和未知量，弄清它们之间的数量关系；
(2)设未知数，一般采取直接设法，有的要间接设；
(3)寻找数量关系，列出方程，要注意方程两边的数量相等，方程两边的代数式的单位相同；
(4)选择合适的方法解方程；
(5)检验，因为一元二次方程的解有可能不符合题意，如：线段的长度不能为负数等，因此，解出方程的根后，一定要进行检验．
合
探
作
究
范例：在一个长30 cm、宽20 cm的矩形照片四周加上宽度相同的边框，制成一幅新画．如果新画的面积是原来照片面积的2倍，求边框的宽度．
解：设边框的宽度为 x cm.
根据题意，得(30＋2x)(20＋2x)＝2×30×20.
解得x1＝5，x2＝－30(不符合题意，舍去).
答：边框的宽度为5 cm.
变例：一个直角三角形的斜边长为10 cm，两条直角边的差为2 cm.求这两条直角边的长度．
解：设较短的直角边为 x cm，则另一条直角边为(x＋2)cm.
由勾股定理，得x2＋(x＋2)2＝102.
整理，得x2＋2x－48＝0.
解得 x1＝6，x2＝－8(不符合题意，舍去).
答： 两条直角边的长度分别为6 cm和8 cm.
知识模块二　利用一元二次方程解决简单的增长率问题
自学互研
问题2 某药品经过两次降价，每瓶零售价由 56 元降为 31.5 元，两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率.
这与讨论增长率问题中的数量关系是否相似？有什么不同？
分析 若每次降价的百分率为 x ，则
第一次降价后：56(1 – x)元
第二次降价后：56(1 – x) (1 – x)元
解 设每次降价的百分率为 x，根据题意，得
56(1 – x)2 = 31.5.
解这个方程，得
x1 = 0.25，x2 = 1.75.
因为降价的百分率不可能大于 1，所以 x2 = 1.75 不符合题意. 经检验，x = 0.25 =25% 符合本题要求.
答：每次降价的百分率为 25% .
自
探
主
究
增长率与降低率问题中的数量关系是否相似？有什么区别？
增长率问题：n年后：a(1＋x)n＝b(基数：a, 增长率：x)，
降低率问题：n年后：a(1－x)n＝b(基数：a, 降低率：x)．
合
探
作
究
范例：某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．
解：设每次降价的百分率为x.
根据题意，得56(1－x)2＝31.5.
解得x1＝0.25，x2＝1.75.
因为降价的百分率不可能大于1，所以x2＝1.75不符合题意，舍去．
∴x＝0.25＝25%.
答：每次降价的百分率为25%
仿例：某超市1月份的营业额为200万元，3月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，求平均每月的增长率．
解：设平均每月的增长率为x.
根据题意，得200(1＋x)2＝288.
解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不符合题意，舍去).
答：平均每月的增长率为20%.
课堂小结
利用一元二次方程解应用题的一般步骤：
(1)审题，分析题意，找出已知量和未知量，弄清它们之间的数量关系；
(2)设未知数，一般采取直接设法，有的要间接设；
(3)寻找数量关系，列出方程，要注意方程两边的数量相等，方程两边的代数式的单位相同；
(4)选择合适的方法解方程；
(5)检验，因为一元二次方程的解有可能不符合题意，如：线段的长度不能为负数等，因此，解出方程的根后，一定要进行检验．
随堂练习
1.学生会准备举办一次摄影展览，在每张长和宽分别为18cm和12cm的矩形相片周围镶上一圈等宽的彩纸，经试验，彩纸面积为相片面积的时较美观.求所镶彩纸的宽.(精确到0.1cm)
解：由题，可得：S相片＝18×12 ＝216 cm2
∴S彩纸＝ 216 ×＝144 cm2
设所镶彩纸的宽为x cm，则镶完彩纸后，整个大矩形的长为(18+2x)cm，宽为(12+2x)cm。
根据题意，得(18+2x) (12+2x)＝216+144 ＝360.
解得x1＝≈2.1cm，x2＝(不符合题意，舍去).
答：所镶彩纸的宽为2.1cm.
2.以初速度v0竖直上抛的物体的高度h与时间t满足关系式h= v0 t－gt2 (g重力加速度， g ≈10m/s2).竖直上抛的物体以初速度v0 =20m/s上升，经过多长时间物体离地15m
解：根据题意代入方程，得 h= v0 t－gt2 =20t－×10×t2
移项整理，得5t2 －20t＋15 =0
解得：t1 =1 s，t2 =3 s.
t=1s：物体上升过程中，第一次到达离地 15m 的高度。
t=3s：物体到达最高点后下落过程中，第二次回到离地 15m 的高度。
两个解都符合实际运动过程，均有效。
所以物体经过 1 秒或 3 秒时，离地高度为 15 米。
3.某工厂1月份的产值是50 000元，3月份的产值达到60 000元，这两个月产值的月平均增长率是多少 (精确到0.1%).
解：设月平均增长率为x.
根据题意，得50000(1＋x)2＝60000.
直接开方法，得1＋x＝±，
因为增长率＞0，负数不符合题意，舍去.
答：这两个月产值的月平均增长率为9.5%.
所以x＝－1≈1.095 －1＝0.095 ＝ 9.5%，
4.据某初级中学对毕业班学生三年来参加市级以上各项活动获奖情况的统计，七年级时有48人次获奖，之后逐年增加，到九年级毕业时累计共有183人次获奖.求这两年中获奖人次的年平均增长率.
解：设获奖人次的年平均增长率为x.
根据题意，得48+48(1+x)+48(1+x) 2=183.
解得x1＝－1＝0.25 ＝ 25%，x2＝－ (不符合题意，舍去).
答：这两年中获奖人次的年平均增长率为 25%.
作业布置
完成本课时相关练习

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