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华师版 九年级 数学（上）
第21章 一元二次方程
21．2 一元二次方程的解法
21．2.5　一元二次方程的根与系数的关系
情景导入
旧知回顾：
1．一元二次方程的一般形式是什么？
2．一元二次方程的求根公式是什么？
3．一元二次方程的根的情况怎样确定？
知识模块一　一元二次方程的根与系数的关系
自学互研
求出一元二次方程 x2 + 3x – 4 = 0的两根 x1 和 x2，计算 x1 + x2 和 x1·x2 的值. 它们与方程的系数有什么关系？
试一试
x2 + 3x – 4 = 0 的两根为 x1 = 1 和 x2 = – 4，于是 x1 + x2 = – 3， x1·x2 = – 4.
x2 + 3x – 4 = 0
二次项系数为 1
一次项系数
常数项
相反数
相等
对于任何一个二次项系数为 1 的一元二次方程，是否都有这样的结果呢？
自
探
主
究
填表，观察、猜想：
方程 x1，x2 x1＋x2 x1x2
x2－2x＋1＝0
x2＋3x－10＝0
x2＋5x＋4＝0
1，1
2
1
2，－5
－3
－10
－1，－4
－5
4
问题：你发现什么规律？
(1)用语言叙述你发现的规律；
(2)用式子表示你发现
x2＋px＋q＝0的两根x1，x2的规律．
探索
我们来考察方程 x2 + px + q = 0（p2 – 4q ≥ 0）.
由一元二次方程的求根公式，得到方程的两根分别为
x1＝，x2＝ ；
所以
x1 + x2 =＋ =－ p ；
x1·x2=·
= = q
概括
二次项系数为 1 的一元二次方程根与系数的关系：
设一元二次方程 x2 + px + q = 0 的两根为x1、x2，那么
x1 + x2 = – p ，x1·x2 = q.
例8 不解方程，求出方程的两根之和和两根之积：
（1）x2 + 3x – 5 = 0；
（2）2x2 – 3x – 5 = 0；
解 （1）设两根为 x1、x2，由上述二次项系数为 1 的一元二次方程根与系数的关系，可得
x1 + x2 = – 3 ，x1·x2 = – 5 .
（2）方程两边同除以 2 ，得
设两根为 x1、x2 ，可得
先将方程化为二次项系数为1的形式.
x2 – x – = 0.
x1 + x2 = –(– ) = ，x1·x2 = – .
例9 试探索一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0，b2 – 4ac ≥ 0)的根与系数的关系.
解 方程两边同除以 a ，得
由二次项系数为 1 的一元二次方程根与系数的关系，可得
x2＋x＋＝0，
x1＋x2＝－，x1x2＝.
这就是一般情形下一元二次方程的根与系数的关系.
前面概括的结论是它的特例（二次项系数为1）.
x1＋x2＝－，x1x2＝.
知识模块二　一元二次方程的根与系数的关系的运用
自学互研
1.一元二次方程根与系数的关系前提条件是方程有实数根，所以根与系数关系通常和方程的判别式结合使用．
2．能够利用完全平方公式对代数式进行灵活变形，是学习使用根与系数关系的必要条件．
合
探
作
究
范例：不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积．
(1)x2－2x－15＝0；　　(2)x2－6x＋4＝0；　　
(3)2x2＋3x－5＝0； (4)3x2－7x＝0；　　　
(5)2x2＝5.
解：设方程的两根为x1，x2.
(1)x1＋x2＝2，x1x2＝－15.
(2)x1＋x2＝6，x1x2＝4.
(3)x1＋x2＝－，x1x1＝－.
(4)x1＋x2＝，x1x2＝0.
(5)x1＋x2＝0，x1x2＝－.
仿例：若α，β是一元二次方程x2－2x－1＝0的两根，求＋的值．
解：∵α＋β＝2，αβ＝－1，
∴原式＝＝
＝＝－6.
∴＋的值为－6.
变例：已知关于x的方程2x2－4x＋3m＝0的一根为1－，求另一根及m的值．
解：设方程的另一根为x2.
∵方程2x2－4x＋3m＝0的一根为1－，
∴1－＋x2＝－＝2，(1－)x2＝.
∴x2＝＋1，m＝－.
∴方程的另一个根为1＋，m的值为－.
课堂小结
一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0，b2 – 4ac ≥ 0)的根与系数的关系：
x1＋x2＝－，x1x2＝.
随堂练习
1.不解方程，判断下列方程是否有实数根，如果有实数根的话，那么求出方程的两根之和与两根之积:
(1)x2＋4x－3＝0；　　(2)3x2－4x＝0；　　
(3) (x＋)2 ＝ x； (4) ＝.
解：(1)这里a＝1， b＝4， c＝－3
∴Δ＝42－4×1×(－3) ＝16＋12 ＝28>0；
∴这个方程有两个不相等的实数根.
∴x1＋x2＝－ ，x1x2＝.
(2)这里a＝3， b＝ － 4， c＝0
∴Δ＝(－4) 2－4×3×0＝16>0；
∴这个方程有两个不相等的实数根.
∴x1＋x2＝－ ＝，x1x2＝.
(3)先化为一般形式: x2＋4 =0，
这里a＝1， b＝0， c＝4
∴Δ＝02－4×1×4 ＝－16＜0；
∴这个方程没有实数根.
(1)先化为一般形式: 3x2＋9x－2 =0，
这里a＝3， b＝9， c＝ －2
∴Δ＝92－4×3×(－2)＝81＋24 ＝105＞0；
∴这个方程有两个不相等的实数根.
∴x1＋x2＝－ ＝－，x1x2＝.
2.试解答下列问题，并和同学讨论一下，有哪些不 同的解法:
(1)已知关于x的方程x2+mx+2n=0的两个根是1和－3，求m和n的值;
(2)已知关于x的方程x2+mx－20=0的一个根是－4， 求它的另一个根和m的值.
解：（1）方法一：韦达定理
对于一元二次方程 x2+mx+2n=0 ，
这里 a=1, b=m, c=2n
∴x1＋x2＝1+( 3) =
∴x1x2＝ 1×( 3) =
∴ =
∴m =2
方法二：代入法
联立方程组：
1+m+2n=0
9 3m+2n=0
解得：
m=2
=
将根 x=1 和 x= 3 分别代入方程：
代入 x=1：12+m×1+2n=0 1+m+2n=0
代入 x= 3：( 3)2+m×( 3)+2n=0 9 3m+2n=0
（2）方法一：韦达定理
设另一个根为 x2 ，x2 = 4，a=1, b=m, c= 20
先利用两根之积求 x2 ：( 4)× x2 =
再利用两根之和求 m：
4+5 =
解得：x2 =5
解得： m= 1
方法二：代入法
将 x= 4 代入方程：( 4)2+m×( 4) 20=0，
解得：m= 1
此时方程为 x2 x 20=0，因式分解：
(x 5)(x+4)=0
解得另一个根 x=5.
所以另一个根为 5，m= 1
作业布置
完成本课时相关练习

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