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华师版 九年级 数学（上）
第22章　图形的相似
22．3　相似三角形
22．3.1　相似三角形
情景导入
这些情境中都有一个共同点——都涉及到了三角形的放大或缩小．这样的三角形之间有什么关系呢？
金字塔的测量(泰勒斯测金字塔高)
知识模块一　相似三角形的有关概念及性质
自学互研
1．前面我们学习过，什么是相似图形？它有什么性质？两个多边形相似需要满足什么条件？
答：形状相同，大小不一定相同．
对应角相等，对应边成比例．
在相似多边形中，最简单的就是相似三角形，它们是对应边成比例、对应角相等的三角形.
相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”.
2．什么是相似三角形？相似三角形具备相似多边形的性质吗？
A
B
C
A'
B'
C'
如图所示的两个三角形中，
∠A = ∠A'， ∠B = ∠B'， ∠C = ∠C' .
= = ,
A
B
C
A'
B'
C'
此时△ABC 与△A'B'C' 相似，记作
通常把对应顶点写在对应位置上.
如图所示的两个三角形中，
△ABC ∽ △A'B'C'
读作： △ABC 相似于 △A'B'C' .
如果记
= = = k,
那么，这个比值 k 就表示这两个相似三角形的相似比.
当 k = 1 时，两个相似三角形有什么特点？
形状相同，大小也相同，称为全等三角形.
特例
知识模块二　由平行线判定两个三角形相似
自学互研
思考
如图，DE为△ABC的中位线， △ADE和△ABC是相似三角形吗
根据三角形中位线定理，有DE//BC，DE=BC.
由此可知
∠ADE＝∠ABC ，
∠AED =∠ACB，
∠A = ∠A；
= == .
即△ADE和△ABC的三个角对应相等、三条边对应成比例.因此△ADE和△ABC是相似三角形，相似比k= .
如图，如果只有DE//BC这个条件，是否同样也能得到△ADE和△ABC相似的结论呢
显然∠ADE = ∠ABC， ∠AED = ∠ACB，∠A = ∠A.
我们可以用演绎推理证明这一结论.
又由平行线分线段成比例的基本事实，可推得 = ，通过度量，还可以发现 因而有 △ADE∽△ABC .
问题：如图，在△ABC中，D为边AB上的任一点，作DE∥BC，交边AC于点E，用刻度尺和量角器量一量，判断△ADE与△ABC是否相似．
自
探
主
究
已知：如图，DE∥BC，并分别交AB、AC 于点 D、E.
求证：△ADE ∽ △ABC .
证明 ∵ DE∥BC ，
A
B
C
D
E
合
探
作
究
∴ ∠ADE = ∠B，
∠AED = ∠C，
= (平行线分线段成比例)，
用演绎推理来证明这个结论：
过点 D 作 AC 的平行线交 BC 于点 F，
A
B
C
D
E
F
∴= (平行线分线段成比例).
∴= = .
∵DE∥BC， DF∥AC，
∴四边形DFCE是平行四边形.
∴ DE = FC .
∴ △ADE ∽ △ABC（相似三角形的定义）
A
B
C
D
E
F
“A”型
∴= = .
又∵∠ADE＝∠B， ∠AED =∠C，∠A = ∠A.
如图，DE∥BC，△AED与△ABC是否相似？
相似.
“X”型
思考
平行于三角形一边的直线，和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似．
总结归纳
例1 如图，在△ABC 中，点 D 是边 AB 的三等分点，DE∥BC，DE = 5. 求 BC 的长.
解 ∵ DE∥BC ，
A
B
C
D
E
∴ △ADE ∽ △ABC（平行于三角形一边的直线，和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似），
∴ = = ，
∴ BC = 3DE = 15.
课堂小结
平行于三角形一边的直线，和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似．
随堂练习
1.如图，正方形ABCD的边长为1，点O为对角线的交点，试指出图中的相似三角形，并求出它们的相似比.
A
D
B
C
O
解:△AOB, △BOC, △DOC, △AOD,△ABC, △ADC, △DAB,△BCD都两两相似.
同类三角形（小三角形之间、大三角形之间）的相似比为 1:1；小三角形与大三角形的相似比为 .
2.如果一个三角形的三边长分别是5、12和13，与其相似的三角形的最长边长是39，那么较大三角形的周长是多少 较小三角形与较大三角形周长的比是多少
解:设较大三角形的另外两边长分别为x，y(x>y)，
则 = ， = ，
所以39＋36＋15 =90，，
所以x=36， y=15，
所以较大三角形的周长是90，较小三角形与较大三角形周长的比是 .
3.如图，在△ABC 中，点 D 是边 AB 的四等分点，DE∥AC， DF∥BC， AC = 8，BC = 12. 求四边形 DECF 的周长.
A
B
C
D
E
F
解 ∵ DF∥BC ，
∴ △ADF ∽ △ABC，
∴ = = = ，
∴ AF = 2，FC = 6，DF = 3.
∵ DE∥AC， DF∥BC，
A
B
C
D
E
F
∴ 四边形 DECF 是平行四边形，
∴ CDECF = 2（DE + EC）= 18.
作业布置
完成本课时相关练习

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