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华师版 九年级 数学（上）
第22章　图形的相似
22．3.2　相似三角形的判定
第1课时　相似三角形的判定定理1
情景导入
如何判断两个三角形是否相似？
根据定义：对应角相等，对应边成比例.
是否存在判定两个三角形相似的简便方法？
知识模块一　两角对应相等的两个三角形相似
自学互研
在判定两个三角形全等时，我们得到了SSS，SAS，ASA，AAS的简便方法.
回忆
那么，对于相似三角形的判定，是否也存在类似的分类与判定方法呢？
从直观来看，一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等时，它们就“应该”相似了.确实是这样吗？
直角三角尺
任意画两个三角形，使其两个角分别相等.用刻度尺量一量两个三角形的各条边，看看它们的边是否对应成比例.你能得出什么结论？
B
A
C
B'
A'
C'
①
探索
于是这两个三角形相似.
B
A
C
B'
A'
C'
我们可以发现，此时它们的边对应成比例，
根据三角形内角和等于180°，如果两个三角形有两对角分别对应相等，那么第三对角也 一定对应相等.
②
相似三角形的判定定理1 两角分别相等的两个三角形相似.
由此，我们可以得到判定两个三角形相似的一个较简便的方法，即
总结归纳
A
B
C
已知：如图，在△ABC 和△A1B1C1中，∠A = ∠A1，∠B =∠B1 .
求证：△ABC ∽ △A1B1C1.
A1
B1
C1
证明 在边 AB (或它的延长线)上截取 AD = A1B1，过点 D 作 BC 的平行线交 AC 于点 E，则
△ADE ∽ △ABC .
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
∵ DE∥BC ，
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
∴ ∠ADE = ∠B .
在△ADE 与△A1B1C1 中，
∵ ∠A =∠A1，
∠ADE =∠B =∠B1 ，AD = A1B1 ，
∴ △ADE ≌△A1B1C1.
∴ △ABC ∽ △A1B1C1.
全等变换
仿例：如图，AC，BD相交于点O，∠B＝∠C.求证：△AOB∽△DOC.
证明：∵AC，BD相交于点O，
∴∠BOA＝∠DOC.
又∵∠B＝∠C，
∴△AOB∽△DOC.
合
探
作
究
变例：如图所示的三个三角形，相似的是 ( )
A
A.①② B．②③ C．①③ D．①②③
知识模块二　两角对应相等的两个三角形相似的应用
自学互研
思考
如果两个三角形仅有一对角是对应相等的，那么它们是否一定相似？
例2 如图，在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′ 中，∠C 与∠C′ 都是直角，∠A =∠A′.求证：△ABC ∽△A′B′C′ .
解 ∵ ∠C =∠C′ = 90°，
∠A =∠A′ ，
两个直角三角形，若有一对锐角对应相等，则它们一定相似.
∴ △ABC ∽△A′B′C′ （两角分别相等的两个三角形相似）.
A
B
C
D
E
F
例3 如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB.求证：△ADE∽△EFC.
证明：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.
又∵EF∥AB，
∴∠EFC＝∠B.
∴∠ADE＝∠EFC.
∴△ADE∽△EFC(两角分别相等的两个三角形相似).
不一定相似．
1．如果两个三角形仅有一对角相等，那么它们是否一定相似？
2．对于直角三角形，如果仅有一对角相等，它们是否相似？
自
探
主
究
如图，已知Rt△ABC和Rt△A1B1C1，且已知∠C＝∠C1＝90°，∠A＝∠A1，分别测量对应边的比值，可以得到什么结论？
两个直角三角形，若有一对锐角相等，则它们一定相似．
合
探
作
究
范例：如图，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，BC的垂线交BC于D，交AC于E，交BA的延长线于F，求证：BD·DC＝DE·DF.
证明：∵∠BAC＝90°，
∴∠B＋∠C＝90°.
∵FD⊥BC，
∴∠BDF＝∠CDE＝90°，∠B＋∠F＝90°.
∴∠F＝∠C.
∴△BDF∽△EDC.
∴= .
∴BD·DC＝DE·DF.
仿例：如图，线段CD是直角三角形ABC斜边AB上的高．求证：△ACD∽△CBD.
证明：∵CD⊥AB，
∴∠A＋∠ACD＝90°.
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＋∠BCD＝90°.
∴∠A＝∠BCD.
∵∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴△ACD∽△CBD.
课堂小结
相似三角形的判定定理1 两角分别相等的两个三角形相似.
随堂练习
1.如图，DG//EH//FI//BC,找出图中所有的相似三角形。
A
B
C
F
E
D
G
H
I
解：△ADG ∽△AEH;
△ ADG ∽△AFI;
△ ADG∽△ABC;
△AEH ∽△AFI;
△AEH∽△ABC;
△AFI∽△ABC.
2.如图，找出图中所有的相似三角形.
A
B
C
D
△ABC ∽△ACD∽△CBD
作业布置
完成本课时相关练习

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