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华师版 九年级 数学（上）
第22章　图形的相似
22．3.2　相似三角形的判定
第2课时　相似三角形的判定定理2、3
情景导入
到目前为止，我们学会了哪些判定三角形相似的方法？
（1）根据定义；（2）两角分别相等的两个三角形相似.
知识模块一　两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
自学互研
1.观察右图，如果有一点E在边AC上移动，那么点E在什么位置时能使入△ADE与△ABC相似呢
探索
A
C
B
D
A
C
B
D
2.图中△ADE与△ABC的一组边AD与AB的长度的比值为，将点E由点A开始在AC上移动，可以发现当AE＝AC时，△ADE与△ABC似乎相似，此时DE∶BC＝______．
2∶3
E
猜想
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．
合
探
作
究
下面我们来证明上述猜想．
已知：如图，在△ABC和△A1B1C1中，∠A＝∠A1，
＝. 求证：△ABC∽△A1B1C1.
A
B
C
A1
B1
C1
证明：在边AB或它的延长线上截取AD＝A1B1，过点D作BC的平行线交AC于点E，则△ADE∽△ABC，
A
B
C
A1
B1
C1
∴＝ .
∵＝ ，AD＝A1B1，
∴AE＝A1C1.
又∵∠A＝∠A1，AD＝A1B1，
∴△ADE≌△A1B1C1，
∴△ABC∽△A1B1C1.
D
E
总结归纳
这样我们又有了一种判定两个三角形相似的方法，即
相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
例4 如图,已知 AE= 54,BE= 45,CE=30,FE=36.求证:△AEB∽△FEC.
证明：∵＝＝1.5，＝＝1.5，
∴＝.
又∵∠AEB＝∠FEC，
∴△AEB∽△FEC(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似).
仿例：如图，已知AB·AE＝AD·AC，且∠1＝∠2，求证：△ABC∽△ADE.
证明：∵AB·AE＝AD·AC，
∴＝.
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＋∠BAE＝∠1＋∠BAE，即∠BAC＝∠DAE.
∴△ABC∽△ADE.
知识模块二　三边对应成比例的两个三角形
相似
自学互研
如果两个三角形的三条边成比例，那么这两个三角形相似吗？
探索
在如图所示的方格图中任画一个三角形，再画出第二个三角形，使它的三边长都是原来三角形三边长的相同倍数．画完之后，用量角器度量并比较两个三角形对应角的大小，你得出了什么结论？
做一做
总结归纳
我们可以发现这两个三角形相似.即有如下定理:
相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似．
合
探
作
究
例5 在△ABC和△A′B′C′中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，AC＝10 cm，A′B′＝18 cm，B′C′＝24 cm，A′C′＝30 cm.求证：△ABC与△A′B′C′相似．
证明：∵＝＝ ，＝＝，＝＝，
∴＝＝ .
∴△ABC∽△A′B′C′(三边成比例的两个三角形相似).
仿例：如图，在△ABC中，已知AB＝45，AC＝72，
BC＝15.在△DEF中，已知DE＝30，EF＝10，
DF＝48.
求证：△ABC∽△DEF.
证明：∵AB＝45，AC＝72，BC＝15，DE＝30，EF＝10，DF＝48，
则＝＝，＝＝，＝＝.
∴＝＝＝.
∴△ABC∽△DEF.
课堂小结
相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似．
随堂练习
1.依据下列各组条件，说明△ABC和△A'B'C'是否相似:
(1)AB=10 cm, BC = 8 cm, AC = 16 cm, A'B'= 16 cm, B'C' = 12.8 cm，A'C'=25.6 cm;
(2)∠A= 80°,∠C=60°,∠A'= 80°,∠B'= 40°;
(3)∠A=40°, AB = 8, AC=15, ∠A' =40°，A'B'= 16, A'C' = 30.
解：(1)∵＝，
＝，＝＝，
∴＝ ＝ .
∴ △ABC∽△A'B'C'.
(2)∵∠A= 80°,∠C=60°,
∴ △ABC∽△A'B'C'.
∴ ∠B =180°－80° －60° = 40°.
∵∠A′ = 80°,∠B′ = 40°,
∴∠A=∠A′， ∠B=∠B′，
(3)∵＝，＝，
∴ △ABC∽△A'B'C'.
又∵∠A=∠A′ =40°
∴＝.
2.在第1题的小题(3)中，若已知BC=a，∠B=α，你能求出B'C'的长及∠B' 、∠ C'的大小吗 写出你的计算过程
解：∵△ABC∽ △ABC，
∴＝ ＝2，
又∵BC ＝a,
∴BC ＝2a, ∠B =∠B=α， ∠ C =180°－40°－α =140 °－α.
3.在图中，点E在边AC上移动，除了教科书中提出的△ADE外，你还能找到另外的△ADE与原三角形相似吗 若能，请求出此时AE的长.
A
C
B
D
解：能.
当∠ADE=∠C时,△ADE∽△ACB,
此时＝ ，
E
∵∠A =∠A，
∴ △ADE∽ △ACB.
∴ AE ＝ .
作业布置
完成本课时相关练习

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