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华师版 九年级 数学（上）
第22章　图形的相似
22．1　成比例线段
22．1.1　成比例线段
情景导入
你瞧，那些大大小小的图形是多么地相像！日常生活中，我们经常会看到这种相似的图形，那么它们有什么主要特征与关系呢？
知识模块一　相似图形
自学互研
日常生活中，我们会碰到很多形状相同、大小不一定相同的图形，例如下面两张照片，右边的照片是由左边的照片放大得来的.尽管它们的大小不同，但其整体，包括其中各个花叶，形状完全相同.
我们把这种具有相同形状的图形称为相似图形.
为了研究相似图形，先研究与其密切相关的成比例线段.
照片
投影
合
探
作
究
范例：下选项中，与图中所给图形相似的是 ( )
D
仿例：在下面的三个矩形中，相似的是 ( )
A．甲和乙 B．甲和丙
C．乙和丙 D．甲、乙和丙
B
知识模块二　成比例线段
自学互研
试一试
由如图的格点图可知A′B′CD，＝____, ＝____,
2
2
这样，与之间有什么关系？
＝
概括
对于给定的四条线段 a、b、c、d，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比， 如 ＝ （或 a∶b = c∶d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．此时也称这四条线段成比例．
合
探
作
究
例1 判断下列线段a，b，c，d是否是成比例线段：
(1)a＝4，b＝8，c＝5，d＝10；
(2)a＝2，b＝2，c＝，d＝5.
解：(1)∵ ＝＝，＝＝，
(2)∵＝＝，＝＝，
∴＝，
∴线段a，b，c，d是成比例线段．
∴＝，
∴这四条线段是成比例线段．
仿例：已知线段a，b，c，d是成比例线段，如果a＝1，b＝2，c＝3，那么d的值是 ( )
A．8 B．6 C．4 D．1
B
知识模块三　比例的基本性质
自学互研
1.比例的基本性质
对于成比例线段，其线段的长度之间有下面的结论:
如果＝，那么ad＝bc.
如果ad＝bc ，那么＝ .
2.根据比例的基本性质＝，你还可以得到哪些其他的结论？
合比性质：若a∶b＝c∶d，则(a±b)∶b＝(c±d)∶d.
等比性质：若a∶b＝c∶d＝…＝m∶n，则(a＋c＋…＋m)∶(b＋d＋…＋n)＝a∶b.
例2 已知＝ ，求证：(1) ＝;
(2) ＝ (a≠b).
证明：∵＝ ,
等式两边同时加上1，得
＋1 ＝＋1,
∴ ＝ .
(2) ＝ (a≠b).
(2) ∵＝ ,
∴ ad = bc，
等式两边都减去 ac，得
ad – ac = bc – ac，
∴ ac – ad = ac – bc，
∴ a ( c – d ) = c ( a – b ).
由a≠b，且＝，知c≠d ，从而a－b ≠0，且c－d ≠0，上式两边都除以(a－b) (c－d)，得
＝ .
合
探
作
究
范例：若＝ ＝ ，则的值为 ( )
A． B． C． D．
D
仿例：若 ＝ ，则的值为 ( )
A．4 B． C． D．
D
例3 如图，已知AB=1，试在线段AB上插入点P，使 ，即AP2＝AB·PB.
A
P
B
解 设AP=x，由题意，有x2=1×(1－x).
化简，得x2＋x－1=0.
解此方程，得x = ，舍去负解，所以x =.
即所需点P与端点A的距离为.
知识模块四　黄金分割
自学互研
读一读
将一条线段AB分成两条线段AP和PB
(AP>PB)，使
我们称AP为AB和PB的比例中项，点P为线段AB的黄金分割点，将线段AB黄金分割.
由于 ＝ ≈0.618，所以长为1的线段的黄金分割点，与一个端点的距离大约为0.618.
AP2 ＝AB·PB，
1．我们都知道埃菲尔铁塔、帕特农神庙、蒙娜丽莎画像，这些建筑和画作为什么看起来协调美观？其中隐藏着什么数学规律？
2．什么是黄金分割？黄金分割在生活中有哪些应用？
总结归纳
将一条线段AB分成两条线段AP和PB(AP＞PB)，使AP2＝AB·PB.我们称AP为AB和PB的比例中项，点P 为线段AB的黄金分割点，将线段AB黄金分割．
合
探
作
究
范例：已知点P是线段AB的黄金分割点(AP＞BP)，若AB＝2，则AP为 ( )
A．＋1 B．－1
C． D．3－
B
仿例：如图，若点C是线段AB的黄金分割点(AC＞BC)，AB＝4 cm，则AC的长为 ( )
A．(－1)cm B．(2－2)cm
C．(＋1)cm D．(2＋2)cm
B
课堂小结
比例的基本性质
如果＝，那么ad＝bc.
如果ad＝bc ，那么＝ .
随堂练习
1.判断下列线段a、b、c、d是不是成比例线段:
(1)a=2cm，b=4cm， c=3m， d=6m;
(2)a=0.8，b =3，c=0.64，d=2.4.
解：(1)因为 ＝，＝
所以 ＝＝.
所以a、b、c、d是成比例线段.
(2)因为 ＝＝，＝＝
所以 ＝＝.
所以a、b、c、d是成比例线段.
2.已知线段a、b、c满足关系式＝ ，且b=4，那么ac=______.
16
3.已知＝ ，那么 、 各等于多少
解：因为＝，
所以 ＝ ＋1＝ ＋1 ＝.
因为＝，因为＝
所以 ＝ －1 ＝－1 ＝ － ，
所以 ＝ ，
所以＝ 3 .
4.(1)根据图示求线段比: 、 、;
(2)试找出图中两组成比例的线段;
(3)试找出线段CB的黄金分割点E.(CE>EB，精确到0.01cm)
A
C
D
B
1cm
2cm
4cm
解：(1)＝，＝＝.
(2)成比例的线段有:AC、CD、AD、BC;
AC、CD 、CD 、 DB; CD、 AD 、 DB 、 BC.
(3)线段CB的黄金分割点E到C点的距离约为 3.71 cm（CE≈3.71 cm）.
A
C
D
B
1cm
2cm
4cm
作业布置
完成本课时相关练习

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