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华师版 九年级 数学（上）
第22章　图形的相似
22．3.4　相似三角形的应用
第2课时　等积式、比例式的证明与应用
情景导入
等积式与比例式的关系：
比例式：a∶b＝c∶d 等积式：ad＝bc
交叉相乘：＝ ad＝bc
几何意义：比例式常出现在相似三角形、平行线分线段成比例中．
等积式常与面积、勾股定理等相关．
基本形式：1.线段比例式：＝.
2．乘积形式：AB·CD＝EF·GH.
知识模块一　证明比例式或等积式
自学互研
例8 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为边AB上的高.求证:CD2=AD·BD.你还能找出其他类似的结论吗
A
B
C
D
利用相似三角形，可以证明几条线段之间的乘积关系.
A
B
C
D
证明 ∵∠ACD=90°－∠CAD=∠B,
∠CDA=∠BDC = 90°,
∴△ACD∽△CBD.
即 CD2=AD·BD.
∴＝,
还可以证明
CA2 = AD·AB,
CB2 = BD·BA
合
探
作
究
范例：如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
求证：AE·AB＝AF·AC.
证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
∵DE⊥AB，
∴△ABD∽△ADE.
∴＝.
∴AD2＝AE·AB.
同理：AD2＝AF·AC.
∴AE·AB＝AF·AC.
仿例：如图，点D，E，F分别在△ABC的边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB.
求证：＝ .
解：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DBFE是平行四边形．
∴DE＝BF.
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
∴＝ .
∴＝ .
知识模块二　三角形的重心的有关证明及运用
自学互研
例9 如图22.3.22，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于点G.
求证:＝ = .
A
B
C
D
E
G
证明 如图，连结ED.
∵D、E分别是边BC、AB的中点，
∴ DE∥AC， = (三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半).
∴△G∽△G.
∴ = = = .
∴＝ = .
A
B
C
D
E
G
拓展
如果在上图所示的△ABC中取边AC的中点F，假设BF与AD相交于点G′，如图那么我们同理可得
A
B
C
D
E
G′
F
＝ = ，
所以 = = ，
即两图中的点与点是重合的.
自
探
主
究
在纸上任意作△ABC，画出三条中线，AD，BE，CF，验证交点G的存在性，并测量，，的值，记录数据．
根据测量数据，你可发现什么规律？
总结归纳
三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的 .
合
探
作
究
范例：如图，在△ABC中，∠C＝90°，G是三角形的重心，AB＝8，过点G的直线MN∥AB，求GC的长．
G
C
M
N
A
B
解：连结CG并延长，与AB交于点H.
∵点G是△ABC的重心，
∴CG＝CH，点H为AB的中点．
∵∠C＝90°，且AB＝8，
∴CH＝AB＝4.
∴CG＝CH＝.
H
G
C
M
N
A
B
变例：三角形三条中线相交于一点，这个点称为三角形的重心．重心将中线分成1∶2的两条线段．
(1)如图①，在△ABC中，AE为中线，点G是△ABC的重心，若AG＝4，则AE＝____．
(2)如图②，在△ABC中，点G是△ABC的重心，若△ABC的面积为48，则△CEG的面积为____．
6
8
课堂小结
三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的 .
随堂练习
1.如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠A=36°，BD是∠ABC的平分线，求证:BC2=AC·DC .
A
B
C
D
证明 ∵AB=AC， ∠A=36° ，
∴ ∠ABC =∠C =72 ° ，
∵ BD是∠ABC的平分线，
∴△ ABC ∽△ BDC.
∴ = .
∴ ∠ABD =∠DBC =36 °=∠A ，
∴ BC2=AC·DC .
又∠C =∠C，
2.如图，已知正方形DEFG内接于Rt△ABC，EF在斜边BC上，试证明：
(1) ＝ ；
(2)EF2=BE·FC.
D
E
F
G
A
B
C
证明 (1)∵∠DEB=∠BAC = 90°，∠B=∠B ，
∴△ BDE ∽△ BCA.
∴ = .
∴ ＝ .
D
E
F
G
A
B
C
(2)∵∠B＋∠BDE= 90°，∠B＋∠C =90°
∴∠BDE= ∠C ，
又∵∠DEB=∠GFC = 90°
∴△ BDE ∽△ CGF.
∴ = .
∵DE=GF = EF
∴ = .
∴EF2=BE·FC.
作业布置
完成本课时相关练习

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