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华师版 九年级 数学（上）
第22章　图形的相似
22．3.4　相似三角形的应用
第1课时　相似三角形的实际应用
情景导入
人们从很早开始，就懂得利用相似三角形的有关性质来计算那些不能直接测量的物体高度和两地距离.
知识模块一　利用相似三角形测量高度
自学互研
例6 古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：
如图，为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O′B′，比较木棒的影长A′B′与金子塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB.如果O′B′＝1 m，A′B′＝2 m，AB＝274 m，求金字塔的高度OB.
解 ∵ 太阳光线是平行光线，
∴ ∠OAB = ∠O′A′B′．
∵ ∠ABO = ∠A′B′O′ = 90°．
∴ △OAB∽△O′A′B′ (两角分别相等的两个三角形相似)，
∴ ＝ .
∴OB＝＝＝137(m).
答：金字塔的高度OB为137 m．
物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长
测高的方法
测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决。
例7 如右图，为了估算河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和C，使AB⊥BC，然后，再选定点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D，此时如果测得BD＝118 m，DC＝61 m，EC＝50 m，求河的宽度AB.
合
探
作
究
解：∵∠ADB＝∠EDC，∠ABD＝∠ECD＝90°，
∴△ABD∽△ECD(两角分别相等的两个三角形相似).
∴＝.
解得AB＝＝≈96.7(m).
答：河的宽度AB约为96.7 m．
知识模块二　利用相似三角形测量长度或宽度
自学互研
范例：如图，已知D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点．且∠ADE＝∠C.
求证：AD·AB＝AE·AC.
证明：∵∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB(两角分别相等的两个三角形相似).
∴＝，
∴AD·AB＝AE·AC.
合
探
作
究
仿例1：如图，AE＝EC，AD＝DB，测得DE＝20 m，求池塘宽BC的长．
解：∵AC＝EC，AD＝DB，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝.
∵DE＝20 m，
∴BC＝60 m．
答：池塘宽BC为60 m．
仿例2：小明在打网球时，使球恰好能过网，而且落在离网5 m的位置上(如图)．求球拍击球的高度h.(假设网球作直线运动)
解：∵DE⊥AB，CB⊥AB，
∴DE∥BC，
∴＝ .
∵DE＝0.8 m，AD＝5 m，AB＝15 m，
∴＝，
∴BC＝2.4 m．
答：球拍击球高度h为2.4 m．
另一种解法：我们还可以在河对岸选定一目标点 A，再在河的一边选点 D 和 E，使 DE⊥AD，然后，再选点 B，作 BC∥DE，与视线 EA 相交于点 C。此时，测得 DE，BC，BD，就可以求两岸间的大致距离 AB 了。
A
D
E
B
C
测距的方法
测量不能到达两点间的距离，常构造相似三角形求解。
课堂小结
解相似三角形实际问题的一般步骤：
（1）审题.
（2）构建图形.
（3）利用相似解决问题.
随堂练习
1.在同一时刻，物体的高度与它在阳光下的影长成正比.在某一时刻，有人测得一高为1.8m的竹竿的影长为3m，某一高楼的影长为60m，那么这幢高楼的高度是多少米
解：设这幢高楼的高度是x m.
根据题意，得＝，解得x＝36.
∴这幢高楼的高度是36m.
2. 如图,在△ABC中,DE//BC,BC=6, 梯形DBCE的面积是△ADE面积的3倍。求DE的长.
A
D
E
B
C
解：∵DE//BC，
∴△ADE ∽ △ABC.
又∵梯形DBCE的面积是△ADE面积的3倍，
∴＝,
∴＝ .
∵ BC=6,
∴DE=3.
3.如图，停车场的栏杆的短臂长为1.25m，长臂长为16.5m.当短臂端点下降0.85m时，长臂端点升高多少米 (栏杆的宽度忽略不计)
解：:设长臂端点升高x m，
根据题意，得＝，
解得x=11.22,
经检验,x=11.22是分式方程的解，且符合题意.
答:长臂端点升高11.22m.
作业布置
完成本课时相关练习

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