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华师版 九年级 数学（上）
第21章　一元二次方程
第21章小结与复习
实验问题
直接开平方法
公式法
因式分解法
配方
平方根
一元二次方程
一元二次方程的解法
一元二次方程的根
根的判别式
根与系数的关系
一元二次方程
分析数量关系
知识结构
1.一元二次方程的解法
方法名称 理论根据 使用方程的形式
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解法
平方根的定义
完全平方公式
配方法
两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个等于0
x2 = p 或 (mx + n)2 = p(p ≥ 0)
所有的一元二次方程
所有的一元二次方程
一边是0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积的一元二次方程
①
②
③
优先选择
要点巩固
2. 一元二次方程根的判别式 Δ = b2 – 4ac
（1）当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根；
（3）当 Δ < 0 时，方程无实数根.
在应用时，要根据根的情况限定 Δ 的取值，同时应注意二次项系数不为 0 这一条件.
3.一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）的根与系数的关系，在应用时要注意变形. 同时要明确根与系数的关系成立的两个条件：
（1）a ≠ 0，（2）Δ ≥ 0
x1＋x2＝－，x1x2＝.
4. 应用一元二次方程解决实际问题，要注重分析实际问题中的等量关系，列出方程，求出方程的解，同时要注意检验其是否符合题意.
知识模块一　一元二次方程的概念及其解法
自学互研
1. 形如ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是已知数，a≠0)的方程是一元二次方程，其中a，b，c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项．
典例1：若关于x的方程(a－1)x2＋3ax－3＝0是一元二次方程，则a的取值范围是______．
a≠1
2．一元二次方程的解法(直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法)
典例2：解下列方程：
(1)(x＋1)2－9＝0；　(2)(x－3)2＋2x(x－3)＝0；
(3)2x2－5x＋2＝0； (4)2x2－9x＋8＝0.
解：(1)移项，得(x＋1)2＝9.
直接开平方，得x＋1＝±3，
即x1＝2，x2＝－4.
(2)方程左边分解因式，得(x－3)(x－3＋2x)＝0.
∴x－3＝0或x－3＋2x＝0，
得x1＝3，x2＝1.
(3)原方程可化为x2－x＝－1.
配方，得x2－x＋＝－1＋.
即( x－ ) 2＝.
直接开平方，得x－＝±.
∴x1＝，x2＝2.
(4)这里a＝2，b＝－9，c＝8.
∵b2－4ac＝(－9)2－4×2×8＝17＞0，
∴x＝＝＝，
即x1＝，x2＝.
知识模块二　一元二次方程根的判别式的应用、根与系数的关系
自学互研
典例3：已知关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有两个不相等的实数根．
(1)求整数m的最大值；
(2)在(1)的条件下，方程的实数根是x1，x2，求代数式＋－x1x2的值．
解：(1)∵一元二次方程x2－2x＋m＝0有两个不相等的实数根，
(2)∵m＝1，
∴Δ＝(－2)2－4m＝8－4m＞0，解得m＜2.
∴整数m的最大值为1.
∴此一元二次方程为x2－2x＋1＝0.
∴x1＋x2＝2，x1x2＝1.
∴ ＋－x1x2＝(x1＋x2)2－3x1x2＝(2)2－3×1＝8－3＝5.
知识模块三　一元二次方程的实际应用
自学互研
典例4：如图，在一块长92 m、宽60 m的矩形耕地上挖三条水渠(水渠的宽都相等)，水渠把耕地分成面积均为885 m2的6个矩形小块，则水渠的宽度为____m.
1
典例5：某商场将某种商品的售价从原来的每件40元经两次调价后调至32.4元．
(1)若该商场两次调价的降价率相同，求这个降价率；
(2)经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件．若该商品原来每月可销售500件，那么两次调价后，每月可销售该商品多少件？
解：(1)设降价率为x.
由题意，得40(1－x)2＝32.4.
解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(不符合题意，舍去).
答：这个降价率是10%.
(2)(40－32.4)÷0.2×10＝380(件)，
典例5：某商场将某种商品的售价从原来的每件40元经两次调价后调至32.4元．
(1)若该商场两次调价的降价率相同，求这个降价率；
(2)经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件．若该商品原来每月可销售500件，那么两次调价后，每月可销售该商品多少件？
∴两次调价后，每月可销售该商品500＋380＝880(件).
答：两次调价后，每月可销售该商品880件．
复习题
A
组
1.解下列方程:
(1) 3x2=2x; (2)6x2－40=0;
(3) x(3x－1)=3－x; (4)y(y－2)=4－y;
(5)4x(1－x)=1; (6)(t－2)-3t2=0.
解： (1) 移项，得3x2－2x=0
因式分解法，得x (3x－2) =0
∴x =0或3x－2)=0，
∴ x1 =0或x2 = .
(2) 移项，得6x2=40，
两边同时除以6，得x2= =
∴x =± =± ，
∴ x1 =或x2 = － .
(3) 整理，得x2－1=0
因式分解法，得 (x－1) (x＋1) =0
∴x －1 =0或x＋1 =0，
∴ x1 =1或x2 = － 1.
(4) 整理，得y2－2y － 4=0
Δ =(-1) 2 －4×1×(－ 4) =17
∴y =，
∴ y1 =或y2 = .
(5) 4x2 －4x＋ 1=0
∴ 2x－1 =0，
∴ x1 =x2 = .
(2x－1) 2=0
(6) t2 －2t＋3t2 =0
∴ －2t =0或t ＋1=0 ，
∴ t1 = 0或t2 =－ 1.
－2t2 －2t=0
－2t (t ＋1) =0
2.已知关于x的方程x2－3x+k=0.
(1)当k取何值时，方程有两个不相等的实数根
(2)当k取何值时，方程有两个相等的实数根
(3)当k取何值时，方程没有实数根
解： 这里a=1 ， b=－3 ， c=1，
∴Δ =(-3) 2 －4×1×k =9－4k.
∴ (1)当9－4k＞0，即k＜时，方程有两个不相等的实数根.
(2)当9－4k = 0，即k = 时，方程有两个相等的实数根.
(3)当9－4k ＜ 0，即k ＞ 时，方程没有实数根.
3.不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积:
(1)2x2 +5x－1=0; (2) (x+2)2=2(x2+3).
解：(1) Δ =52 －4×2×(－1) =25＋8＝33＞0,
所以x1＋x2 =－ x1·x2 =－ .
(2) 整理，得x2 －4x ＋2=0.
∴Δ =(－4)2 －4×1×2 =8＞0,
所以x1＋x2 =4 x1·x2 =2 .
4.已知A=2x2+7x－1，B=4x+1,分别求出满足下列条件的x的值:
(1)A与B的值互为相反数;
(2)A的值比B的值大3.
解：(1) A＋B＝0，即2x2+7x－1+4x+1＝0,
整理，得2x2+11x ＝0.
解得x1＝0 ，x2＝－.
(2) A － B＝3，即2x2+7x－1 － (4x+1)＝3,
整理，得2x2+3x－5＝0.
解得x1＝1，x2＝－.
5.已知关于x的方程(2x－m)(mx＋1)=(3x+1)(mx－1)有一个根是0，求它的另一个根和m的值.
解:因为x=0是方程的根,将其代人(2x－m)(mx＋1)=(3x+1)(mx－1),得－m= － 1,即m=1,
所以原方程为(2x－1)(x＋1)=(3x+1)(x－1) ,
整理，得x2－3x=0，
方程左边分解因式,得x(x－3)=0,
所以x1＝0， x2＝3,
所以方程的另一个根为3，m的值为1.
6.已知三个连续奇数的平方和是371，求这三个奇数.
解:设中间的一个奇数为a,则较小的一个奇数为a－2,较大的一个奇数为a＋2,
由题意,得(a－2)2+a2+(a+2)2=371.
解得a1=11， a2=－11.
所以这三个连续奇数为9,11,13或-13，-11，-9.
7.要在某正方形广场靠墙的一边开辟一条宽为4m的绿化带，使余下部分的面积为100m2.求原正方形广场的边长.(精确到0.1m)
解:设原正方形广场的边长为x米，
由题意,得x2-4x=100,
解得x1=2＋2， x2=2－2(不符合题意，舍去)
所以x=2＋2≈12.2(米).
答:原正方形广场的边长约为12.2米.
8.村里准备修一条灌溉渠，其横截面是面积为1.6m2的等腰梯形，它的上底比渠深多2m，下底比渠深多0.4m.求灌溉渠横截面上、下底边的长和灌溉渠的深度.
解:设渠深为x米，则上底边的长为(x+2)米，下底边的长为(x+0.4)米，
由题意,得(x+2+x+0.4)x=1.6,
整理,得x2+1.2x－1.6=0.
解得x1=0.8， x2=－2 (不符合题意，舍去)
则x+2=2.8， x+0.4=1.2.
答:灌溉渠横截面上、下底边的长分别为2.8米、1.2米,渠深为0.8米.
9.如图，某海关缉私艇在点O处发现在正北方向30n mile (n mile单位“海里”符号)的A处有一艘可疑船只，测得它正以60kn的速度向正东方向航行，随即调整方向，以75kn的速度准备在B处拦截.问:经过多少时间能赶上
A
B
O
北
解:设经过x小时能赶上，
则AB=60x海里,OB=75x海里, OA=30海里.
在Rt△OAB中,由勾股定理,得(60x)2+302=(75x)2.
解得x1=， x2=－ (不符合题意，舍去)
答:经过小时(即40分钟)能赶上.
B
组
10.解下列方程:
(1) 4(x－2)2－(3x－1)2=0;
(2)(2x－1)2+3(2x－1)+2=0;
(3) x2+5=2x;
(4) x2－x－2=0.
解: (1) x1 =1， x2 =－3.
(2) x1 =0， x2 =－.
(3) x1 = x2 =.
(4) x1 =－ ， x2 =.
11.已知x=1是一元二次方程(a－2)x2+(a2－3)x－ a+1=0的一个根，求a的值.
解:把x=1代入原方程,得a2－4=0，
解得a1= 2，a2=－2.
因为二次项系数不为零，即a－2≠0,
所以a=－2.
12.已知关于x的方程2x2－4x+3q=0的一个根是1－，求它的另一个根和q的值.
解:设另一个根为x，由根与系数的关系知x1＋1－＝－＝
所以x1 ＝1＋ .
又因为(1＋)× (1－) ＝ .
所以.
所以方程的另一个根为1＋， 的值为.
13.已知关于x的方程(m－1)x2－(m－2)x－2m=0，它总是二次方程吗 试求出它的根.
解：不一定是二次方程，有以下两种情况：
当m=1时，方程是x－2=0,是一元一次方程，此时x =2;
当m≠1时，方程是一元二次方程，原方程即为[(m－1)x＋m] (x－2)=0，
∴ x1 = －， x2 =2，
故当m=1时，不是二次方程，此时x=2；
当m ≠ 1时，是二次方程，方程的解是x1 = －， x2 =2.
14.已知代数式x2－5x+7，先用配方法证明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数;再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少
解：由题意得x2－5x+7＝(x－ )2+,
∵ (x－ )2≥0，
∴(x－ )2+ ，
∴(x－ )2+，
∴这个代数式的值总是正数.
设代数式的值为M,则有M=x2-5x+7，
M=(x－ )2+，
∴当x =时，这个代数式的值最小为.
15.学校原有一块面积为1500m2的矩形场地，现结合环境整治，将场地的一边增加5m，另一边减少5m，结果场地的面积增加了10%.求现在场地的长和宽.
解：设现在场地的一边长为x米，由于现在场地的面积为1500×(1＋10％)＝1650m2，故宽为m，
根据题意有:(x－5) (＋5) ＝1500，
化简得，x2 ＋25x-1650=0，
解得：x1=30， x2=－55(不符合题意，舍去).
当x=30时， ＝55.
答:现在场地的长为55米，宽为30米.
C
组
16.解方程:
(1)(x2－x)2 － 5(x2-x)+6=0; (2) － = 1.
解：(1)设a=x2－x,则原方程为a2-5a+6=0，
解得a=2或a=3，
当a=2时，x2－x=2，解得x1=2， x2=－1.
当a=3时，x2－x=3，解得x1=， x2=.
所以原方程的解为x1=2， x2=－1 ，x3=， x4=.
(2)设y=,则原方程为y － =1，即y2－y－2=0，
解得y1=2， y2=－1.
当y=2时，=2，2x2－x－1=0，
当y=－1时，= －1 ，x2＋x＋1=0，
所以原方程的解为x1=1， x2=－.
解得x1=1， x2=－
Δ =1－4 = －3＜0,所以此方程无解；
17.证明:对于任何实数m，关于x的方程
(x－1)(x －2)=m2总有两个不相等的实数根.
证明:方程化为一般式为:x2-3x+2-m2=0，
∴Δ =32-4(2-m2) =4m2+1,
∵ 不论m取何值，4m2≥0，
∴Δ ＞0,
∴不论m取何值时，关于x的方程
(x－1)(x －2)=m2总有两个不相等的实数根.
18.设方程2x2+3x－4=0的两根为x1、x2，求下列各式的值:
(1) +； (2) + .
解： 2x2+3x－4=0，这里a=2，b=3， d=－4，
∴
(1) += =
(2) + ==
19.已知y≠0,且3x2－2xy－8y2=0,求的值.
解:∵3x2-2xy-8y2=0
∴ (3x+4y)(x-2y)=0
∴3x+4y=0或x-2y=0,
∴x=y或x=2y,
当x= y时，=；
当x=2y时，=2.
20.已知关于x的方程mx2－(2m－1)x+m-2=0.
(1)当m取何值时，方程有两个不相等的实数根
(2)当m取何值时，方程有实数根
解:当m=0时，原方程为一元一次方程.
当m≠0时，原方程为一元二次方程，
∴Δ =[-(2m-1)]2-4×m (m-2) =4m+1.
(1)当4m+1＞0且m≠0时，即m＞-时，方程有两个不相等的实数根.
(2)当4m+1≥0且m≠0或m=0时，即m ≥ -时，方程有实数根.
21.某产品每件的生产成本为50元，原定销售价为65元.经市场预测，从现在开始的第一个季度销售价将下降10%，第二个季度又将回升4%.若要使半年以后的销售总利润不变，如果你作为决策者，将采取什么措施 请将本题补充完整并解答.
解 措施1 降低产品成本
问题:求每个季度平均降低成本百分率
设每个季度平均降低成本百分率为x.
根据题意，得65(1-10%)(1+4%)-50 (1- x)2=15.
解这个方程，得符合题意的近似解x≈4.3%.
答:每个季度平均降低成本百分率约为4.3%.
措施2 降低产品成本
问题:求半年后每件产品降低成本多少元
设半年后每件产品成本降低x元.
根据题意，得65(1-10%)(1+4%)- (50 - x)=15.
解这个方程，得x＝4.16.
答:半年后每件产品降低成本4.16元.
措施3 增加产量 问题:求每个季度产品平均增长百分率.
设每个季度产品平均增长率为x，原单位时间内产量a个.
根据题意,得65a(1-10%)(1+4%)·(1+x)2－50a(1+x) 2=15a.
解这个方程,得符合题意的近似解x≈17.6%.
答:每个季度产品平均增长率约为17.6%.
作业布置
完成本课时相关练习

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