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华师版 九年级 数学（上）
第22章　图形的相似
习题22.4
A
组
1.任选一种方法，作一个三角形的位似图形，使它与原三角形的相似比为:
(1)
(2)2.5 .
答案略
2.如图，已知格点△OAB，请在方格图中画出另一格点三角形，使它与原三角形关于点O成位似关系，并说出它们之间的相似比.(在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形)
O
A
B
解:如图所示，△OA′B′与△OAB是位似图形，它们的相似比为2.(答案不唯一)
B′
A′
3.如图，△ABC与△ A′B′C′是位似图形，点O为位似中心.求证:AB//A′B′，AC//A′C′,BC∥B′C′.
A
B
C
O
C′
A′
B′
解：∵△ABC与△A′B′C′位似,
∴△ABC∽△ △A′B′C′ ，且对应顶点连线交于位似中心O,
∴ = ==k(位似比)
∵∠A′OB′＝∠AOB(公共角)
∴△OAB∽△OA′B′.
∴∠OAB＝∠OA′B′.
∴ AB//A′B′.
同理可证AC//A′C′,
BC∥B′C′.
B
组
4.已知△AOB、 △DEC为正三角形，连结OE并延长交AB于点E，过点E′作E′C′//EC交OB于点C′，作E′D′//ED，交OA于点D'，连结D′C′.
(1)证明:△D′E′C′和△DEC是以点O为位似中心的位似图形;
(2)证明:△ D′E′C′是正三角形.
A
O
B
C
D
D′
E′
C′
E
A
O
B
C
D
D′
E′
C′
E
(1)证明：∵E′C′//EC , E′D′//ED，
∴△OD′E′∽△ODE， △OC′E′∽△OCE,
∴ = = ,
且D′E′//DE， E′C′//EC，D′C′// DC,
又直线DD′、EE′、CC′共交于点O,
△D′E′C′和△DEC是以点O为位似中心的位似图形.
A
O
B
C
D
D′
E′
C′
E
(2)证明：∵△D′E′C′∽△DEC,△DEC是正三角形,
∴D′E′ =E′C′ =D′C′,
∴△ D′E′C′是正三角形.
5.在水平桌面上有两个“E”，当点P1、P2,O在同一条直线上时，在点O处用大小不同的两个“E”测得的视力相同，若b1=3.2m，b2=2m，用大“E”的测试距离l1=8m，为确保测量正确，必须要将小“E”放于适当的位置，保证“测量距离”相同.则小“E”的测试距离l2应为多少
解:(1)∵P1D1//P2D2,
∴△P1D1O∽△P2D2O.
∴ = ，即 =.
又∵ b1=3.2m，b2=2m ，l1=8m，
∴ = .
∴=5(m).
答:小“E”的测试距离应为5m.
作业布置
完成本课时相关练习(共19张PPT)
华师版 九年级 数学（上）
第22章　图形的相似
习题22.3
A
组
1.判断下面各组中的两个三角形是否相似，如果相似，请写出证明过程:
(1)如图①，∠B=∠ADE，△ABC和△ADE;
(2)如图②, ∠E=∠C,△ADE和△ABC.
A
B
C
D
E
①
A
B
C
D
E
②
解:(1)相似.证明如下：
∵∠B=∠ADE,∴DE//BC,
∴△ABC∽△ADE.
(2)相似.证明如下:
∵∠C=∠E(已知), ∠BAC=∠DAE,
∴△ABC∽△ADE.
2.已知△ABC的三边长分别为6、8、10,与△ABC相似的△A′B′C′的最长边长为30.求△A′B′C′的另两条边的长、周长以及最大角的大小.
解:设△A′B′C′另两条边的长分别为x, y(x则 = ， = ， = ，
解得x= 18, y= 24,l=72.
由△ABC的三边长分别为6,8,10,且62+82=102,
得△ABC为直角三角形，
∴ △A′B′C′也为直角三角形，
∴最大角为90°.
3.使用三角板画一个三角形，其中两个角分别为60°和45°，再画一个与它相似的三角形.
解:1、画线段AB;
2、分别以A、B为顶点，利用三角尺在线段AB的同侧作∠ABC1=45°， ∠BAC2=60°，设BC1与AC2交于C点;
3、分别延长CA、CB使CA=AA′、CB=BB′,则∠ABC∽∠A′B′C.
45°
60°
A
B
C1
C2
C
A′
B′
4.依据下列各组条件，判断ABC和A′B′C′是否相似，如果相似，请给出证明:
(1) ∠A = 70°, ∠B = 46°, ∠A′ = 70°, ∠C′ = 64°;
(2)AB= 10cm，BC=12cm，AC=15 cm, A′B′ = 150 cm, B′C′= 180 cm， A'C' =225 cm;
(3) ∠B=35°,BC=10,边BC的高AD=7,∠B′=35°,B′C′=5,边B′C′上的高A′D′=3.5.
解:(1)相似.
∠C= 180° －∠A －∠B= 180° － 70° －46°，
∠B′=180° －∠A′－∠C′=180° －70° －∠64 °，
∵∠A=∠A′= 70°, ∠B=∠B′ = 46°, ∠C=∠C′ = 64°，
∴△ABC∽△A′B′C′ (两角分别相等的两个三角形相似)
(2)相似.
= = ， = = ， = = ，
∴ = = ，
∴△ABC∽△A'B'C′ .
(3)相似.
设△ABC中AD⊥BC,△A′B′C′中A′D′⊥B′C′ ，
则∠ADB=∠A′D′B′=90°;
因为∠B= ∠B′=35°,
所以△ABC∽△A′B′C′，
相似比为 = = 2，
因此 = = 2，又 = = 2，
且∠B= ∠B′，
∴△ABC∽△A'B'C′ .
5.在等腰三角形ABC和等腰三角形A′B′C′中，∠A、∠A′分别是顶角.试分别依据下列条件，判断△ABC和△A′B′C′是否相似，如果相似，请写出证明过程:
(1)∠A=∠A′;
(2) ∠B=∠B′ (或∠C= ∠C′ ).
解:(1)相似.证明如下:
∵∠B=∠C = = =∠B′ =∠C′，
∴△ABC∽△A'B'C′ .
(2)相似.证明如下:
∵∠B=∠B′ =∠C′ =∠C ，
∴△ABC∽△A'B'C′ .
6.网球比赛时，发球往往是制胜的关键.如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，假设球沿直线前进而且落在离网4 m的位置上，求球拍击球的高度h.(精确到0.01m)
解:由相似三角形对应边成比例，得
= ，
答:球拍击球的高度h约为1.71米.
解得h≈1.71米.
B
组
7.如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点,AF⊥DE，垂足为点F，AB=3,AD=2,CE=1.求证:△AFD∽DCE，并计算点A到直线DE的距离.(精确到0.1)
A
B
C
D
F
解:∵∠C=90°,
A
B
C
D
F
∴DE== = .
∵AF⊥DE,
∴∠AFD = 90°.
∴∠AFD=∠C.
∵∠DAF+∠ADF = 90°,∠CDE+∠ADF = 90°,
∴∠DAF=∠CDE.
∴△AFD∽△DCE.
∴ = .
∴ = .
∴AF==≈ 1.9.
∴点A至直线DE的距离约为1.9.
8.如图是用12个相似直角三角形组成的图案，请你也用相似三角形设计出一幅或两幅美丽的图案.
解：如图所示，答案不唯一.
9.如图，在△ABC中，D、E是边AB上的点，CD平分∠ECB,且BC2= BD·BA.求证:△CED∽△ACD.
A
B
C
E
D
解:∵ BC2= BD·BA,
∴ BD:BC=BC:BA.
∴∠B是公共角,
∴△BCD∽△BAC.
∴∠BCD =∠A.
∵ CD平分∠ECB,
∴ ∠ECD＝∠BCD.
∴ ∠ECD＝ ∠A.
∵ ∠EDC＝∠CDA,
∴ △CED∽△ACD.
10.如图，等边三角形ABC的边长为7cm，点D、E分别在AB和AC上，且=，将△ADE沿DE翻折，使点A落在边BC上的点F处.
(1) 求证:△BDF∽△CFE;
(2)求BF的长.
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
解:(1)证明∵ △ABC是等边三角形,
∴∠A＝∠B＝∠C ＝60°.
又∵△ADE沿DE翻折，使点A落在边BC上，
∴△ADE≌△FDE, ∠DFE＝∠A＝60°.
设∠DFB ＝α，则∠CFE ＝120°－α.
又∵ ∠C+ ∠CFE+∠CEF=180°,
∴∠CEF=α.
∴ ∠DFB＝∠CEF.
又∵ ∠B=∠C=60°,
∴△BDF∽△CFE .
A
B
C
D
E
F
(2)∵ △ADE≌△FDE,
∴DF=DA, EF =EA.
又∵ = .
设AD=4k,AE=3k.
∴ DF=4k，EF=3k.
又∵AB=7, DB=7-4k，CE=7-3k.
设BF=x厘米，则CF=7－x(厘米).
∵△BDF∽△CFE，
∴ = ，
∴ = .
解方程，得x=5.
答:BF的长为5厘米.
作业布置
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第22章　图形的相似
习题22.5
A
组
1.已知下列各点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中正确标出这些点，并把它们依次连结起来，观察得到的图形，你觉得它像什么
(0, 2), (0, 0), (1, 3), (2, 3), (3, 2),
(3, 0), (1, -1), (2, -1),(1, -3),
(0, -1),(-1, -3),(-2, -1),(-1, -1),
(-3, 0),(-3, 2), (-2, 3), (-1, 3), (0, 0).
y
x
O
解:如图所示，它像一只蝴蝶，并且关于y轴对称.
2.将图中的△OAB分别作下列变换，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化:
(1)沿y轴正方向平移2个单位;
(2)关于y轴对称;
(3)以点O为位似中心，放大到原来的2倍;
(4)沿y轴向下平移2个单位，再沿x轴向左平移3个单位.
y
x
O
A
B
3.分别写出下列各点关于x轴和y轴对称的点的坐标:
(2, 0), (-5, 4), (3, -2), (-4, -6).
解：关于x轴对称:
(2,0)→ (2,0),
(-5,4)→(-5,-4),
(3,-2)→(3,2),
(-4,-6)→(-4,6)
关于y轴对称:
(2,0)→(-2,0),
(-5,4)→(5,4),
(3,-2)→(-3,-2),
(-4,-6)→(4,-6)
4.下面列出了点关于x轴或y轴作轴对称变换之后点的坐标变化，请判断它们是关于x轴还是关于y轴进行了轴对称变换:
(1) (2, 3)→(-2, 3);
(2) (-5, 6) →(5, 6);
(3)(-4,-4) →(4,-4);
(4) (4,-3) →(4,3).
y轴
y轴
y轴
x轴
5.点A(1，1)经过平移变换到点A′(1,5)，分别写出下列各点经过同样的平移变换之后点的坐标:
(1) (0,3);
(2) (-3, -4);
(3) (-4, 0);
(4)(2,1).
平移规则:横坐标不变，纵坐标十4
(1)(0,7);
(2)(-3,0);
(3)(-4,4);
(4)(2,5)
B
组
6.如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使
“帅”位于点(0，-2)处，“马”位于点(4，-2)处，
求“兵”所位于的点的坐标.
解： (0，1)
7.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(-2,0)，等边三角形AOC经过平移、轴对称或旋转都可以得到另一个三角形.
(1)△AOC沿x轴向右平移得到△OBD，则平移距离是______个单位长度;
(2)△AOC与△BOD成轴对称图形，则对称轴是______;
(3)△AOC绕原点O顺时针方向旋转得到△DOB，则旋转角度可以是_______.
y
x
O
A
C
D
B
2
y轴
120°
8.线段AB经过平移得到线段A′B′，其中点A(1，-1)、B(4，1)的对应点分别为点A′(-1，2)、B′(2，4)，若线段AB上有一个点P(a，b)，求点P在A′B′上的对应点P′的坐标.
解： P′(a－2，b＋3)
作业布置
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华师版 九年级 数学（上）
第22章　图形的相似
习题22.2
A
组
1.所有的矩形都相似吗 所有的正方形呢
所有的矩形不一定相似，所有的正方形都相似.
所有矩形的内角都为90，边不一定成比例，故所有的矩形不一定都相似;
所有的正方形内角均为90，对应边成比例，故都相似.
2.如图所示的两个矩形是否相似
解:不相似.
由题图可知，大矩形的长与宽分别是20和12,小矩形的长与宽分别是14和6.
因为≠，
所以尽管内角都是直角，但这两个矩形不相似.
3.在6×6的格点图中分别画出两个相似的三角形、四边形、五边形.
4.把一张长10cm、宽6cm的矩形图片用复印机放大，其中长放大为30cm，那么新图片的面积是原来的多少倍
解:原图片的面积为10×6=60(cm2).
新图片的长放大为30cm，即扩大到原来的3倍，
所以新图片的宽也扩大到原来的3倍，即18cm.
所以新图片的面积为30×18=540(cm2).
540+60 =9.
答:新图片的面积是原来的9倍
5.将一张矩形纸片ABCD沿一组对边AD和BC的中点连线EF对折，对折后所得矩形恰好与原矩形相似，求原矩形纸片的长与宽的比值.
A
B
C
D
E
F
解: 如图:
由折叠得AE=DE=AD，
∵矩形ABCD 和矩形AEFB相似.
∴= ，
∴= ，
∴AB2 =2 ，
∴ 2 = 2AB2 ，
∴ = 2 ，
∴= ：1.
B
组
6.如图，点E、F分别是矩形ABCD边AD和BC上的点，且四边形ABFE是正方形，矩形DEFC与矩形ABCD相似.求AD:AB.
A
B
C
D
E
F
解: AD:AB＝ .
7. 如图,在 ABCD中,EF//AD,设AB=a, BC=b,若 AEFD、 EBCF都与 ABCD相似，试确定a与b之间的关系.
A
B
C
D
E
F
解:∵在 ABCD中，EF∥AD，AB=a,BC=b, AEFD、 EBCF都与 ABCD相似,
∴= = ，
∴= = .
∴=EB.
∴= .
∴=b.
8.如图，已知四边形ABCD，利用尺规作图作一个四边形A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′与四边形ABCD相似，且相似比为2:1.
A
B
C
D
A′
B′
C′
D′
作业布置
完成本课时相关练习(共12张PPT)
华师版 九年级 数学（上）
第22章　图形的相似
习题22.1
A
组
1.在比例尺为1:5 000 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是25cm，则两地间的实际距离是多少
解:25×5 000 000=125 000 000(厘米)，
125 000 000厘米=1250千米.
答:两地间的实际距离是1250千米.
2.判断下列长度的各组线段是不是成比例线段:
(1) 2 cm, 3 cm, 4 cm, 5 cm;
(2) 1.5 cm, 2.5 cm, 3 cm, 5 cm;
(3) 1.1 cm, 2.2 cm, 3.3 cm, 4.4 cm;
(4) 1 cm, 2 cm, 2 cm, 4 cm .
不是
是
不是
是
3.小明的学校里有两种规格的国旗，一种规格的国旗长288cm、宽192cm;另一种规格的国旗长144cm、宽96cm.问:这两种规格的国旗的长与宽的比有什么关系
解:第一种国旗长与宽的比:288:192，
化简比:(288+96):(192+96)=3:2 .
第二种国旗长与宽的比:144:96，
化简比:(144÷48):(96÷48)=3:2 .
答:这两种规格的国旗的长与宽的比相等，均为3:2。
4.已知= .求证: = (a、b、c、d>0).
解:∵ = (a、b、c、d>0).
∴ ad＝ bc，
∴ bc ＝ ·，
∴ = .
5.已知= .求的值.
解:∵ = ,
∴5＝3b ,
则5a ＝ 8b
∴ ＝ .
6.已知= (b±d≠0).求证: .
解:∵ = (b±d≠0) ,
∴ ， = ,
∴，
∴.
B
组
7.如图,l1// l2 // l3,两条直线与这三条平行线分别相交于点A、B、C和点D、E、F.已知 = ，求的值.
A
B
C
D
E
F
l1
l2
l3
解:∵ l1// l2 // l3,
∴ = .
又∵ = ，
∴ = ，
即 = .
∴ = = .
8.如图，在 ABCD中,DE=BF.求证:= .
A
B
C
D
证明:∵四边形ABCD为平行四边形，
∴FD//BC,BE//DQ.
∴= , = .
∴= ,
即= .
故= .
又∵ DE=BF，
∴= .
∴= .
9.利用尺规作图作出下列所要求作的点:
(1)如图，在Rt△ABC中,AB=2,BC=1，在线段AB上求作一点D，使得AD=-1;
A
B
C
D
E
1
(2)如图，求作线段AB的黄金分割点P，且使AP> PB.
A
B
P
E
如图,点P个是线段AB的一个黄金分割点.
D
作业布置
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