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四边形提升小练
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在正方形中，点在边上，，垂足为，交于点若，的面积为，则正方形的边长为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解：四边形是正方形，
，，
点在边上，于点，交于点，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
或不符合题意，舍去，
，
，
正方形的边长为，
故选：．
由正方形的性质得，，因为点在边上，于点，交于点，所以，则，推导出，进而证明≌，由，得，由，得，求得，则，所以，于是得到问题的答案．
此题重点考查正方形的性质、平行线的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明≌是解题的关键．
2.如图，四边形与四边形均为正方形，点在上，过点作，分别交，于，，则知道以下哪条线段的长度就可以求出阴影部分的面积( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】解：过点作于点，如图所示：
，
设，，，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，，
，
四边形是矩形，
矩形的面积为：，
即阴影部分的面积为：，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
在中，，
由勾股定理得：，
在和中，，
由勾股定理得：，
，
整理得：，
阴影部分的面积为：，
只要知道线段的长度就可以求出阴影部分的面积．
故选：．
过点作于点，设，，，则，阴影部分的面积为，证明和全等得，则，在中，由勾股定理得，在和中，由勾股定理得，整理得，由此得阴影部分的面积为，则只要知道线段的长度就可以求出阴影部分的面积，据此可得出大答案．
此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键．
3.小明同学利用人工智能设计了一款游戏，计算机屏幕上随机地出现一些图形，若过定点的直线与图形的边包含顶点有交点，则称图形被“击中”当屏幕上出现如图所示的正方形时，点，，轴，直线“击中”正方形，则的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】解：点的坐标为，，轴，且四边形为正方形，
点的坐标为．
当点在直线上时，，
解得：；
当点在直线上时，，
解得：，
直线“击中”正方形，的取值范围是．
故选：．
由点的坐标，利用正方形的性质，可求出点的坐标，分别求出当点，在直线上时的值，进而可得出当直线“击中”正方形时，的取值范围．
本题考查了一次函数的应用以及正方形的性质，分别求出当点，在直线上时的值是解题的关键．
4.如图，，，，分别为四边形的边，，，的中点，下列说法中不正确的是( )
A. 四边形一定是平行四边形
B. 若，则四边形是菱形
C. 若，则四边形是矩形
D. 若四边形是矩形，则四边形是正方形
【答案】D
【解析】解：点，，，分别为四边形的边，，，的中点，
、、分别为、、的中位线，
，，，，，，
，，
四边形为平行四边形，
当时，，则平行四边形为菱形，
当时，，则平行四边形是矩形，
若四边形是矩形，则，四边形是菱形，不一定是正方形，
故不正确的选项是，
故选：．
5.如图，在菱形中，，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由折叠的性质知，．点，，，共线，．
在中，，由勾股定理得．
又四边形是菱形，，，，，，故选D．
6.如图，在菱形中，对角线，交于点，点为上一点，若，且，，则的面积为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
的面积，
故选：．
根据菱形的性质得出，，进而利用等腰直角三角形的判定与性质得出，进而利用菱形的性质解答即可．
此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质得出，解答．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
7.如图，在 中，，，线段与关于直线对称，且交于点若的面积为，则的长为 ．
【答案】
【解析】解：连接，
四边形是平行四边形，，
，，
线段与关于直线对称，
点与点关于直线对称，
垂直平分，
，
，
交于点，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
连接，由平行四边形的性质得，，因为线段与关于直线对称，所以垂直平分，则，所以，因为交于点，所以，则，推导出，由，求得，则，所以，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的性质、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地添加辅助线是解题的关键．
8.如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，，，都在第一象限直线经过原点，且与正方形有两个公共点，，线段将正方形分成的两个多边形中至少有一个是四边形．
记这两个多边形的面积分别为，，令．
当直线经过点时，的值为 ；
的取值范围是 ．
【答案】

【解析】解：正方形的顶点，，
，
，，
直线经过原点和点，
设直线的表达式为：代入，
，
解得：，
，
如图，设直线与交于点，
当时，，
解得；，
四边形正方形，
故答案为：；
如图，连接，交于点，
当经过点时，，则最小，
此时，
此时，
如图，当直线经过点，交于点时，最大，
设直线为代入，
，
，
当时，
，
，即，
，
．
故答案为：．
当直线经过点时：设直线的表达式为：，求得表达式，设直线与交于点，求得点的坐标，进而根据题意得出即可求解．
连接，交于点，当经过点时，则最小，当直线经过点，交于点时，最大，同理求得直线的解析式，得出，进而根据即可求解．
本题考查正方形的性质，坐标与图形性质，三角形的面积，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
9.如图，菱形的边长为，连结，的平分线交于点，过点作的垂线交于点，若，则的长为 ．
【答案】
【解析】解：分别延长，交于点，取的中点，连接，
的平分线交于点，
，
，
，
≌，
，，
是的中位线，
，，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
分别延长，交于点，取的中点，连接，根据菱形的性质得出，进而利用三角形中位线定理解答即可．
此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质得出解答．
10.如图，在中，，，点为边上异于的一点，以，为邻边作 ，与交于点，则的长为 ，线段的最小值是 ．
【答案】

【解析】解：作于点，取的中点，连接，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
为的中点，为的中点，
，，
，
，
，
，
，
线段的最小值是，
故答案为：，．
作于点，取的中点，连接，根据等腰直角三角形的性质得到得到，根据平行四边形的性质得到，，求得，于是得到结论．
此题重点考查勾股定理、平行四边形的性质、三角形中位线定理、垂线段最短、正确地添加辅助线是解题的关键．
11.教材在实践栏目窗口设计了一个活动如下：将一张菱形纸片，沿着对角线剪开，得到四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形按照图中的方法能拼成正方形，根据图，图中给出的数据，图的菱形面积是 ．
【答案】
【解析】解：设直角三角形的直角边分别为，．
由题意，
解得，
菱形的对角线分别为，，
菱形的面积．
故答案为：．
设直角三角形的直角边分别为，利用图中数据构建方程组解决问题．
本题考查剪纸问题，全等三角形的性质，菱形的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题掌握相关知识解决问题．
三、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
12.本小题分
如图，在梯形中，，，，连接，作线段的垂直平分线交于点，交于点，交于点，连接，．
使用直尺和圆规依题意补全图形保留作图痕迹；
证明四边形是菱形的一种方法如下，请将证明过程补充完整．
证明：线段的垂直平分线交于点，
．
，
，．
≌．
____________．
四边形是平行四边形______填推理的依据．
，
四边形是菱形______填推理的依据．
若，，求菱形的边长．
【答案】图形如图所示：
线段的垂直平分线交于点，，，≌四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形，，四边形是菱形对角线垂直的平行四边形是菱形故答案为：，，对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线垂直的平行四边形是菱形
菱形的边长为
【解析】解：图形如图所示：
证明：线段的垂直平分线交于点，
．
，
，．
≌．
．
四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形对角线垂直的平行四边形是菱形．
故答案为：，，对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线垂直的平行四边形是菱形；
设，
在中，则有，
解得，
菱形的边长为．
根据要求作出图形；
根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可；
设，利用勾股定理构建方程求解．
本题考查作图复杂作图，菱形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，梯形，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
13.本小题分
如图，菱形的对角线、相交于点，点是中点，延长线段至点，使，连接，，求证：四边形为矩形．
【答案】四边形是菱形，
，，
是的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形．
【解析】证明：四边形是菱形，
，，
是的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形．
首先是从平行四边形的判定条件入手．观察到点是 中点且，这就满足了平行四边形对角线互相平分的判定条件，从而得出四边形是平行四边形，得到，，推出，进而可得四边形是平行四边形，再由，可证四边形为矩形．
本题考查矩形的判定，菱形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
14.本小题分
如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作于点，延长到点，使得，连接．
求证：四边形是矩形；
连接，若，，求的长．
【答案】证明：四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
平行四边形是矩形；
解：四边形是菱形，
，，，，
，
，
，
，
，，
，，
，
解得：，
，
．
【解析】由平行四边形的性质得，，再证明，则四边形是平行四边形，进而证明，然后由矩形的判定即可得出结论；
由菱形的性质得，，，，再由直角三角形的性质得，进而由勾股定理得，，然后由勾股定理得，即可得出结论．
本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
15.本小题分
如图所示是某校篮球架实物图，如图所示是篮球架的侧面示意图，篮板边侧 垂直于地面．八年级的“综合与实践”数学小组开展测量篮球架篮板 高度的实践活动．在不便于直接测量的情况下，小组设计了如下测量方法：如图所示，小组成员将竹竿 垂直固定在地面 上，小明从竹竿上的点处观察篮板底部点，用测角仪测量视线 与竹竿 的夹角 的度数为 ，接着将观察点沿着竹竿向上移动到点，使得从点观察篮板顶部点的视线 与竹竿 的夹角 的度数恰好等于 的度数时，在竹竿上标注点的位置，测量 的长度为 活动分享时，小明说：“ 的长度就是篮板 的高度”，你认为小明的说法是否正确，并说明理由．
【答案】解：我认为小明的说法正确．理由如下：
，
．
．
，
．
四边形 是平行四边形．
．
的长度就是篮板 的高度．

【解析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，证明四边形 是平行四边形是解题的关键．
根据题意可得 ，再由 ，得到 ，继而得到四边形 是平行四边形，即可解答．
16.本小题分
如图，的对角线、相交于点，．
求证：；
连接，，若，试探究四边形的形状，并对结论给予证明．
【答案】(1)证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
；

(2)解：四边形是菱形，
证明：如图，连接，，
四边形是平行四边形，对角线、相交于点O，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．

【解析】
此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定、菱形的判定等知识，推导出，及是解题的关键．
由平行四边形的性质得，，则，而，即可根据“”证明；

由平行四边形的性质得，，因为，所以，则，所以四边形是平行四边形，而，则四边形是菱形．
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四边形提升小练
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在正方形中，点在边上，，垂足为，交于点若，的面积为，则正方形的边长为( )
A.
B.
C.
D.
2.如图，四边形与四边形均为正方形，点在上，过点作，分别交，于，，则知道以下哪条线段的长度就可以求出阴影部分的面积( )
A.
B.
C.
D.
3.小明同学利用人工智能设计了一款游戏，计算机屏幕上随机地出现一些图形，若过定点的直线与图形的边包含顶点有交点，则称图形被“击中”当屏幕上出现如图所示的正方形时，点，，轴，直线“击中”正方形，则的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
4.如图，，，，分别为四边形的边，，，的中点，下列说法中不正确的是( )
A. 四边形一定是平行四边形
B. 若，则四边形是菱形
C. 若，则四边形是矩形
D. 若四边形是矩形，则四边形是正方形
5.如图，在菱形中，，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为( )
A. B. C. D.
6.如图，在菱形中，对角线，交于点，点为上一点，若，且，，则的面积为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
7.如图，在 中，，，线段与关于直线对称，且交于点若的面积为，则的长为 ．
8.如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，，，都在第一象限直线经过原点，且与正方形有两个公共点，，线段将正方形分成的两个多边形中至少有一个是四边形．
记这两个多边形的面积分别为，，令．
当直线经过点时，的值为 ；
的取值范围是 ．
9.如图，菱形的边长为，连结，的平分线交于点，过点作的垂线交于点，若，则的长为 ．
10.如图，在中，，，点为边上异于的一点，以，为邻边作 ，与交于点，则的长为 ，线段的最小值是 ．
11.教材在实践栏目窗口设计了一个活动如下：将一张菱形纸片，沿着对角线剪开，得到四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形按照图中的方法能拼成正方形，根据图，图中给出的数据，图的菱形面积是 ．
三、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
12.本小题分
如图，在梯形中，，，，连接，作线段的垂直平分线交于点，交于点，交于点，连接，．
使用直尺和圆规依题意补全图形保留作图痕迹；
证明四边形是菱形的一种方法如下，请将证明过程补充完整．
证明：线段的垂直平分线交于点，
．
，
，．
≌．
____________．
四边形是平行四边形______填推理的依据．
，
四边形是菱形______填推理的依据．
若，，求菱形的边长．
13.本小题分
如图，菱形的对角线、相交于点，点是中点，延长线段至点，使，连接，，求证：四边形为矩形．
14.本小题分
如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作于点，延长到点，使得，连接．
求证：四边形是矩形；
连接，若，，求的长．
15.本小题分
如图所示是某校篮球架实物图，如图所示是篮球架的侧面示意图，篮板边侧 垂直于地面．八年级的“综合与实践”数学小组开展测量篮球架篮板 高度的实践活动．在不便于直接测量的情况下，小组设计了如下测量方法：如图所示，小组成员将竹竿 垂直固定在地面 上，小明从竹竿上的点处观察篮板底部点，用测角仪测量视线 与竹竿 的夹角 的度数为 ，接着将观察点沿着竹竿向上移动到点，使得从点观察篮板顶部点的视线 与竹竿 的夹角 的度数恰好等于 的度数时，在竹竿上标注点的位置，测量 的长度为 活动分享时，小明说：“ 的长度就是篮板 的高度”，你认为小明的说法是否正确，并说明理由．
16.本小题分
如图，的对角线、相交于点，．
求证：；
连接，，若，试探究四边形的形状，并对结论给予证明．
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