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一次函数提升练习
一、选择题：本题共4小题，每小题3分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点，若直线，与线段均有公共点不含端点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分别求出经过点和经过点时的值，讨论在满足题意的情况下，直线，运动趋势与值的增减变化关系从而求出答案．
【详解】解：方法一：用过定点和平移的观点来看，，经过点，当此直线经过点时，，当公共点往左边来时，可知．
经过点时，，当公共点往左边来时，
可得，
解得，
综上：
方法二：联立解析式，用不等式来解决
经过点，的直线解析式为：
联立，得
由交点在线段上，且不含端点，
，
解得，
联立
可得
由交点在线段，且不含端点，
，
解得
综上：．
2.“漏壶”是中国古代一种全天候计时器，在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．壶中水面高度单位：随漏水时间单位：的变化规律如图所示不考虑水量变化对压力的影响水面高度从变化到所用的时间是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】先利用待定系数法确定水面高度与漏水时间的函数关系，再把代入高度与漏水时间的函数关系，即可计算出水面高度从变化到所用的时间．
【详解】解：设壶中水面高度与漏水时间的函数解析式为，
把点，分别代入，
得
解得
高度与漏水时间的函数解析式为，
把代入，
得，
解得，
故水面高度从变化到所用的时间是．
3.小明同学利用人工智能设计了一款游戏，计算机屏幕上随机地出现一些图形，若过定点的直线与图形的边包含顶点有交点，则称图形被“击中”当屏幕上出现如图所示的正方形时，点，，轴，直线“击中”正方形，则的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】解：点的坐标为，，轴，且四边形为正方形，
点的坐标为．
当点在直线上时，，
解得：；
当点在直线上时，，
解得：，
直线“击中”正方形，的取值范围是．
故选：．
由点的坐标，利用正方形的性质，可求出点的坐标，分别求出当点，在直线上时的值，进而可得出当直线“击中”正方形时，的取值范围．
本题考查了一次函数的应用以及正方形的性质，分别求出当点，在直线上时的值是解题的关键．
4.如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与，小聪根据图象得到如下结论：
；
关于，的方程组的解为；
关于的方程的解为；
关于的不等式的解集是．
其中结论正确的个数是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】解：当时，，即，
故正确，符合题意；
由图象可知：一次函数与的图象相交点，
关于，的方程组的解为，
故错误，不符合题意；
由图象可知：一次函数与的图象相交点，
关于的方程的解为，
故正确，符合题意；
，
，
由图象可知：一次函数图象不在的图象上方的时，
不等式的解集为，
即不等式的解集是，
故错误，不符合题意；
故选：．
根据一次函数的图象及性质，一次函数与二元一次方程，一次函数与不等式对各项判断即可解答．
本题考查一次函数的图象及性质，一次函数与二元一次方程，一次函数与不等式，一次函数与坐标轴的交点，掌握一次函数的图象及性质是解题的关键．
二、填空题：本题共1小题，每小题3分，共3分。
5.一次函数其中为常数，以下五个结论：
若此一次函数的图象经过点，则；
若此一次函数随着的增大而增大，则；
无论取何值，此一次函数的图象经过定点；
若此一次函数的图象不经过第四象限，则；
对于函数，当时，随的增大而增大，则或．
其中正确的是 填写序号．
【答案】
【解析】将代入求即可；
由一次函数随着的增大而增大，可知，解不等式求即可；
由一次函数的图象经过定点可知，将展开后，含的项的系数和为零，即解方程即可；
一次函数的图象不经过第四象限可知，满足不等式组，解不等式组求即可；
根据题意，分类讨论当或的情况求值即可．
【详解】解：当一次函数经过点，
所以，则，故正确；
若此一次函数随着的增大而增大，所以，则，故错误；
，当时，解得，即当时，此时无论取何值，恒成立，此时无论取何值，此一次函数的图象经过定点，故正确；
若此一次函数的图象不经过第四象限，
此一次函数的图象是由经过一、三象限的正比例函数平移得到，由于不经过第四象限，与轴的交点应该在原点或轴的正半轴，
，解得，故错误．
当时，随着的增大而增大，应该分类讨论：
当，解得，一次函数随着的增大而增大，
所以当时，随着的增大而增大，
，
当，解得，
此时关于的函数与轴的交点为，
只要，
解得，
，综上所述：或，故正确．
三、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
6.本小题分
综合与探究：
【定义】在平面直角坐标系中，对于点，当时有点，当时有点，则称点是点的“跃迁点”．
【应用】点的“跃迁点”坐标为______；
点的“跃迁点”坐标为______；
若点是点的“跃迁点”，则的坐标为______；
【探究】已知点在某函数图象上，对于任意实数，点的“跃迁点”的图象如图所示当时，点在直线上，当时，点在直线上，求点所在函数的表达式；
【拓展】在的条件下，若直线与点所在的函数图象有且只有两个交点时，请直接写出的取值范围．
【答案】

【解析】解：由题知，
因为，
则，
所以点的“跃迁点”坐标为；
同理可得，点的“跃迁点”坐标为．
故答案为：，；
因为且点是点的“跃迁点”，
则，，
所以，
所以点的坐标为．
故答案为：；
由题知，
因为当时，点在直线上，
则，
所以点所在直线的函数表达式为；
因为时，点在直线上，
则，
所以点所在直线的函数表达式为，
所以点所在函数的表达式为；
点的函数图象如图所示，
因为直线与点所在的函数图象有且只有两个交点，
所以．
根据所给定义进行计算即可；
根据所给定义求出点所在函数的表达式即可；
利用数形结合的数学思想即可解决问题．
本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的性质及一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键．
7.本小题分
随着全球电商市场的不断扩大和互联网购物的普及，快递行业将继续保持增长态势．某快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣，两种型号的机器人的工作效率和价格如下表：
型号 甲 乙
每台每小时分拣快递件数件
每台价格万元
该公司计划购买这两种型号的机器人共台，总费用不超过万元，并且使这台机器人每小时分拣快递件数总和不少于件．
【建立模型】设购买甲种型号的机器人台，购买这台机器人所花的费用为万元，求关于的解析式，并求出的取值范围；
【解决问题】请设计购买方案，使总费用最少，并求出最少费用；
【拓展应用】实际付款时，每台甲型机器人降价万元，乙型机器人售价不变，最终该快递公司以万元的最低价格完成采购，求的值．
【答案】(1)解：由题意，，
解得：，
（且x为整数）

(2)解：对于一次函数，，
当时，y随x的增大而增大
当时，费用最低，最低费用为：万元，
购买甲型机器人3台，乙型机器人7台，最低费用为36万元．

(3)解：由题意，
∴，
，
，
当时，y随x的增大而增大，
当时，y有最小值为，
，
解得.

【解析】
根据总费用等于购买两种机器人的费用之和，列出函数关系式，根据题意，列出不等式组求出的取值范围即可；

根据一次函数的增减性进行求解即可；

列出新的函数解析式，根据一次函数的性质进行求解即可．
8.本小题分
在平面直角坐标系中，点，在直线上．
直接写出： ， ．
如图，若点是直线上的一个动点，且满足的面积为，求点的坐标；
如图，直线分别与轴、轴交于点、，将直线沿着轴平移得到直线，与另一条直线为常数，且交于点，当的值发生变化时，的面积始终不变，求出的值和点到直线的距离．
【答案】(1)
;
(2)解：如下图，过点Q作轴，交直线于点D，
点Q在上，
设，
轴，且点D在上，
，
，
，
又，
，
解得：或，
或；

(3)解：联立，解得，
，
随着p的变化，的面积始终不变，
点H所在的直线与直线平行，
设直线：，
将代入得：，
整理可得：，
与p无关，
，解得，则，
，
，
：，过点，
直线分别与x轴、y轴交于点M、N，
，，
则，，
根据平行线间的距离相等，点到直线的距离等于点H到直线的距离，
在中，由三角形的面积法可知，
，
∴点H到直线的距离为.

【解析】
将点代入函数解析式进行求解即可；
解：点，在直线上，
，
；

过点作轴，交直线于点，设，铅垂法求三角形的面积，即可得出结果；

联立直线解析式求出交点坐标，根据题意得到点所在的直线与直线平行，得到，根据的值发生变化时，的面积始终不变，求出的值，根据平行线间的距离处处相等，以及等积法进行求解即可．
9.本小题分
在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点．
求的值；
画出一次函数的图象；
当时，直接写出的取值范围；
若一次函数的图象与轴交于点，将函数的图象平移，使得平移后的图象经过点，且与轴交于点，求的面积．
【答案】
画出一次函数图象：
当时，的取值范围为

【解析】解：把点代入得：，
解得；
由知，一次函数解析式为，
令，则，
画出一次函数图象：
，
随的增大而减小，
当时，；当时，，
当时，的取值范围为；
由知，，
函数的图象平移，使得平移后的图象经过点，
平移后的解析式为，
令，则，
解得，
，
．
把点坐标代入解析式即可求出的值；
根据一次函数解析式求出直线与轴交点坐标，用两点法画出函数图象；
根据一次函数的性质得出的取值范围；
求出平移后函数解析式，再求出点坐标，然后由三角形面积公式求解即可．
本题考查一次函数图象与几何变换，一次函数的性质，关键是掌握一次函数和平移的性质．
10.本小题分
在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和．
求该一次函数的解析式；
点在一次函数的图象上，其横坐标为，过点作轴的垂线与函数的图象交于点若点在点上方，求的取值范围；
当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出的取值范围．
【答案】

【解析】解：将点和代入得，
，
解得，
所以一次函数的解析式为；
由题知，
点坐标为，点坐标为，
因为点在点上方，
所以，
解得；
如图所示，
将点代入得，，
因为当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值，
所以．
利用待定系数法进行求解即可；
根据题意得出关于的不等式，据此进行求解即可；
利用数形结合的数学思想即可解决问题．
本题主要考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象与系数的关系及待定系数法求一次函数解析式，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键．
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一次函数提升练习
一、选择题：本题共4小题，每小题3分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点，若直线，与线段均有公共点不含端点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.“漏壶”是中国古代一种全天候计时器，在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．壶中水面高度单位：随漏水时间单位：的变化规律如图所示不考虑水量变化对压力的影响水面高度从变化到所用的时间是( )
A. B. C. D.
3.小明同学利用人工智能设计了一款游戏，计算机屏幕上随机地出现一些图形，若过定点的直线与图形的边包含顶点有交点，则称图形被“击中”当屏幕上出现如图所示的正方形时，点，，轴，直线“击中”正方形，则的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
4.如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与，小聪根据图象得到如下结论：
；
关于，的方程组的解为；
关于的方程的解为；
关于的不等式的解集是．
其中结论正确的个数是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共1小题，每小题3分，共3分。
5.一次函数其中为常数，以下五个结论：
若此一次函数的图象经过点，则；
若此一次函数随着的增大而增大，则；
无论取何值，此一次函数的图象经过定点；
若此一次函数的图象不经过第四象限，则；
对于函数，当时，随的增大而增大，则或．
其中正确的是 填写序号．
三、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
6.本小题分
综合与探究：
【定义】在平面直角坐标系中，对于点，当时有点，当时有点，则称点是点的“跃迁点”．
【应用】点的“跃迁点”坐标为______；
点的“跃迁点”坐标为______；
若点是点的“跃迁点”，则的坐标为______；
【探究】已知点在某函数图象上，对于任意实数，点的“跃迁点”的图象如图所示当时，点在直线上，当时，点在直线上，求点所在函数的表达式；
【拓展】在的条件下，若直线与点所在的函数图象有且只有两个交点时，请直接写出的取值范围．
7.本小题分
随着全球电商市场的不断扩大和互联网购物的普及，快递行业将继续保持增长态势．某快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣，两种型号的机器人的工作效率和价格如下表：
型号 甲 乙
每台每小时分拣快递件数件
每台价格万元
该公司计划购买这两种型号的机器人共台，总费用不超过万元，并且使这台机器人每小时分拣快递件数总和不少于件．
【建立模型】设购买甲种型号的机器人台，购买这台机器人所花的费用为万元，求关于的解析式，并求出的取值范围；
【解决问题】请设计购买方案，使总费用最少，并求出最少费用；
【拓展应用】实际付款时，每台甲型机器人降价万元，乙型机器人售价不变，最终该快递公司以万元的最低价格完成采购，求的值．
8.本小题分
在平面直角坐标系中，点，在直线上．
直接写出： ， ．
如图，若点是直线上的一个动点，且满足的面积为，求点的坐标；
如图，直线分别与轴、轴交于点、，将直线沿着轴平移得到直线，与另一条直线为常数，且交于点，当的值发生变化时，的面积始终不变，求出的值和点到直线的距离．
9.本小题分
在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点．
求的值；
画出一次函数的图象；
当时，直接写出的取值范围；
若一次函数的图象与轴交于点，将函数的图象平移，使得平移后的图象经过点，且与轴交于点，求的面积．
10.本小题分
在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和．
求该一次函数的解析式；
点在一次函数的图象上，其横坐标为，过点作轴的垂线与函数的图象交于点若点在点上方，求的取值范围；
当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出的取值范围．
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