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第十五章轴对称单元测试卷
[ 时间：90分钟 分值：100分]
一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题意)
1.下列交通标志中，属于轴对称图形的是
2.下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”是互逆定理的是
[A]同旁内角不互补，两直线平行
[B]同旁内角不互补，两直线不平行
[C]两直线平行，同旁内角互补
[D]两直线不平行，同旁内角不互补
3. 已知点A(2,a)与点B(b,-3)关于x轴对称,则a+b的值为
[A]5 [B]1 [C]-1 [D]-5
4.已知等腰三角形的一个角等于42°，则它的底角的度数为
[A]42° [B]69°
[C]69°或84° [D]42°或69°
5.下列条件中，不能判定△ABC 是等腰三角形的是
[A]a=3,b=3,c=4 [B]a:b:c=2:3:4
[C]∠B=50°,∠C=80° [D]∠A:∠B:∠C=1:1:2
6. 如图15-Z-2,直线l ,l 表示一条河的两岸,且l ∥l .若村庄P 和村庄Q在这条河的两岸，现要在这条河上建一座桥EF(桥EF 与河的两岸l ，l 垂直)，使得从村庄P 经桥EF 过河到村庄Q的路径 PEFQ 最短,即 PE+EF+FQ 最小,则下列图形中满足条件的是
7. 如图15-Z-3,在△ABC 中,AB=AC.分别以点A 和点 B 为圆心，大于 AB 的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN,与AC 交于点D,连接 BD.若∠A=42°,则∠CBD 的度数为
[A]21° [B]27° [C]30° [D]34.5°
8. 如图15-Z-4,△ABC 和△A'B'C'关于直线l对称,连接CC'.有下列结论:①△ABC≌△A'B'C';②∠BAC=∠B'A'C';③直线l垂直平分CC';④直线l平分∠CAC'.其中正确的有
[A]1个 [B]2个 [C]3个 [D]4个
9. 如图15-Z-5,已知a∥b,△ABC 为等边三角形.若∠1=45°,则∠2的度数为
[A]75° [B]95° [C]105° [D]120°
10. 如图15-Z-6,等边三角形 ABC 的周长为12,BD⊥AC,垂足为D,延长BC 至点 E,使 CE=CD.若 BD=a,则△DBE 的周长是
[A]8+2a [B]8+a [C]6+a [D]6+2a
二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)
11.在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为(-2，5)，点Q 与点A关于y 轴对称，点P 与点 Q 关于x 轴对称，则点 P 的坐标是
12.围棋起源于中国，古代称为“弈”.如图15-Z-7是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子.观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形(点A，B，C，D位于棋盘的格点上).
13. 如图15-Z-8,在△ABC中,D为AB 上一点,AD=DC=BC,且∠A=30°,AD=5,则AB=
14. 如图15-Z-9,在等边三角形 ABC 中,AC=10,点O在线段AC上,且AO=3,P 是线段AB 上一点,连接OP,以点 O 为圆心,OP 的长为半径作弧,交线段 BC 于点D,连接PD.若 PO=PD,则AP 的长是
15. 如图15-Z-10所示,∠AOB=56°,OC 平分∠AOB.如果射线OA上的点 E 满足△OCE 是等腰三角形，那么∠OEC 的度数为
16. 如图15-Z-11,在△ABC 中,AB=AC,BC=8,△ABC 的面积是 48,AB 的垂直平分线ED 分别交AC,AB 边于E,D 两点.若F 为BC 边的中点,点 P 在线段ED 上,则△PBF周长的最小值为 .
三、解答题(本大题共7个小题，共52分)
17.(6分)在如图15-Z-12所示的方格纸中，△ABC的三个顶点均在格点上，这样的三角形叫作格点三角形.请在下列方格纸中，分别画出不同的与原△ABC 成轴对称的格点三角形，并画出对称轴m.
18. (6分)如图 15-Z-13,在平面直角坐标系中,已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A(1,5),B(-3,0),C(-4,3).
(1)(3 分)在图中作出与△ABC 关于 y 轴对称的图形 并写出点. 的坐标；
(2)(3分)求△ABC 的面积.
19.(6分)两所大学A,B 与两条公路m,n的位置如图15-Z-14 所示，为了方便同学们收取快递，准备在C 处修建一个快递站，要求快递站到两所大学A，B的距离相等，且到两条公路m，n的距离也相等.请在图中用尺规作图的方法找出所有符合条件的点C.
20.(8分)如图15-Z-15①,在△ABC 中,∠B 是锐角,AD⊥BC 于点D,且∠B=2∠C,AB=3.5,BD=1,求 DC 的长.
小亮积极思考后向同学们展示了自己的解题过程，如下：
解:如图②,在线段DC 上取一点E,使DE=BD,连接AE.
∵AD⊥BC,DE=BD,∴AD 垂直平分BE.
∴AB=AE.(依据1)
∴∠B=∠AEB.(依据2)
又∵∠AEB=∠EAC+∠C,∴∠EAC+∠C=2∠C.
∴∠EAC=∠C.∴AE=CE.(依据3)
∴AE=CE=AB.
(1)(3分)上述解题过程中的“依据1”“依据2”“依据3”分别指的是什么
(2)(5分)看完小亮的解题过程，小创提出了自己的想法：解:如图③,延长DB 到点E,使BE=AB,连接AE,……请根据小创的辅助线作法写出完整的解题步骤.
21. (8 分)如图 15-Z-16,△ABC 和 都是等边三角形，且A,E,D三点在同一直线上.求证:AD-BD=CD.
22.(8分)经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，则称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”.
(1)(3分)如图 15-Z-17①,在 中， CD平分 交AB 于点D.求证: 是“钻石三角形”.
(2)(2分)如图②,在 中， 则Rt△ABC “钻石三角形”(填“是”或“不是”).若是,则其“钻石分割线”必过顶点 (填“A”“B”或“C”)；若不是，请说明理由.
(3)(3分)在 中， ，若存在过点 C 的“钻石分割线”，使 是“钻石三角形”，请直接写出满足条件的 的度数.
23. (10分)已知 是等边三角形,点 E 在AB 上,点 D 在CB的延长线上，且.ED=EC.
(1)(2分)【特殊情况，探索结论】
如图15-Z-18①,当 E 为AB 的中点时,确定线段AE 与DB 的大小关系,请你直接写出结论:AE DB(填“>”“<”或“=”).
(2)(5分)【特例启发，解答题目】
如图②，当E 为AB 边上任意一点时，线段AE 与DB 的大小关系是AE DB(填“>”“<”或“=”).
理由如下：如图②，过点 E 作 交AC 于点F.
请你完成解答过程.
(3)(3分)【拓展结论，设计新题】
在等边三角形ABC中，点 E 在直线AB 上，点 D 在线段CB 的延长线上，且ED=EC.若 的边长为1，AE=2,求CD的长(请你画出相应图形，并直接写出结果).
1. C 2. C3. A 4. D 5. B
6. A 7. B8. D 9. C 10. D
11. (2,-5)12. A 或C13. 10 14. 7
15. 124°或76°或28° 16. 16
17.解：如图，阴影三角形和直线 m 即为所求.(答案不唯一)
18. (1)图略A (-1,5),B (3,0),C (4,3)
19. 略
20.解：(1)依据1：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；依据2：等边对等角；依据3：等角对等边.
(2)如题图③,延长 DB 到点 E,使 BE=AB=3.5,连接AE,∴∠E=∠EAB.
∵∠ABD 是△ABE 的外角,
∴∠ABD=∠E+∠EAB=2∠E.
又∵∠ABD=2∠C,
∴∠E=∠C.∴AE=AC.
又∵AD⊥BC,
∴DC=DE=BE+BD=3.5+1=4.5.
21. 证明:∵△ABC和△BDE都是等边三角形,∴AB =CB,BE = BD = DE,∠ABC =∠EBD=60°.
∴∠ABC-∠EBC=∠EBD-∠EBC,即∠ABE=∠CBD.
在△ABE 和△CBD 中
∴△ABE≌△CBD(SAS).∴AE=CD.
∵AD-DE=AE,∴AD-BD=CD.
22. 解:(1)证明:∵AB=AC,∠A=36°,
∵CD平分∠ACB,
∴∠A=∠ACD.∴AD=CD.
∴△ACD 是等腰三角形.
∵∠BDC=∠A +∠ACD =36°+36°=72°,∠B=72°,
∴∠B=∠BDC.∴BC=CD.
∴△BDC 是等腰三角形.
∴△ABC 是“钻石三角形”.
(2)是 B
(3)∠B 的度数为 70°或40°或100°或10°.
23. 解:(1)=
(2)=
理由如下:如题图②,过点 E 作 EF∥BC交AC 于点F.
∵△ABC 为等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°.
∵EF∥BC,
∴ ∠AEF = ∠ABC = 60°, ∠AFE =∠ACB=60°.
∴∠AEF=∠AFE=∠A.
∴△AEF 为等边三角形.∴AE=EF.
∵ED=EC,∴∠D=∠ECD.
∵EF∥BC,∴∠FEC=∠ECD.
∴∠D=∠FEC.
∵∠ABC=∠AFE=60°,
∴∠DBE=∠EFC=120°.
在△DBE 和△EFC 中
∴△DBE≌△EFC(AAS).
∴DB=EF.∴AE=DB.
(3)如图.
CD=3.

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