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2025-2026学年北京市第五实验学校八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各式中，是最简二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
2.下列计算正确的是（　　）
A. B. C. D.
3.下列几组数中，能作为直角三角形三边长的一组是（　　）
A. ，2， B. 1，，2 C. 6，8，12 D. 3，6，7
4.下列各曲线中表示y是x的函数的是（　　）
A. B.
C. D.
5.下列命题正确的是（　　）
A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 有两个角是直角的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
6.如图，数轴上的点A，C表示的实数分别是-2，1，BC⊥AC于点C，且BC的长度为1个单位长度，连接AB.若以点A为圆心，AB长为半径画弧交数轴于点P，则点P所表示的实数为（　　）
A. B. C. D.
7.如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点．若∠ACB=30°，AB=8，则MN的长为（　　）
A. 2
B. 4
C. 8
D. 16
8.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=5，点P在AD上，点Q在BC上，且AP=CQ，连结CP，QD，则PC+QD的最小值为（　　）
A. 11
B. 12
C. 13
D. 15
9.如图，宇树机器人小P在三角形地块上进行走路测试，它从点A出发沿折线AB→BC→CA匀速运动至点A后停止.设小P的运动路程为x,线段AP的长度为y,图2是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线DE的最低点，当小P运动到点C时，小P到线段AB的距离为（　　）
A. B. C. D.
10.如图，已知正方形ABCD中，点E为对角线BD上的一个动点（不与点B、点D重合），点F在AD上，∠AEF=45°，下列说法正确的是（　　）
①AE=EC；②∠BAE=∠FED；③△ABE≌△EDF；④若∠EAD=∠BAE+45°，连接FC，则.
A. ①② B. ②③ C. ①③④ D. ①②④
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 .
12.已知一个直角三角形的两边长分别为12和5，则第三条边的长度为 .
13.如图，正方形网格中，每一小格的边长为1．网格内有△PAB，则∠PAB+∠PBA的度数是______．
14.比较大小 .（填“＞”或“＜”=）
15.如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交CD和AB于点E、F，且AB=7，BC=4，∠DAB=60°，那么图中阴影部分的面积为 .
16.如图，矩形ABCD中，AB=5，BC=2，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为 .
17.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（-1，1），请确定点C的坐标，使得以A，B，C，O为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的所有点C的坐标是 .
18.如图1，矩形ABCD中，BC=8cm,AB=6cm,两动点M，N同时从点B出发，点M在边BC上以2cm/s的速度匀速运动，到达点C时停止运动，点N沿B-A-D-C的路径匀速运动，到达点C时停止运动.△BMN的面积S（cm2）与点N的运动时间t（s）的函数图象如图2所示.
①N点的运动速度是1cm/s；②△BMN的面积的最大面积为24cm2；③当S=12cm2时，t的值为3或17.以上说法正确的是 .
三、解答题：本题共10小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
计算：
（1）；
（2）.
20.(本小题5分)
先化简，再求值：，其中.
21.(本小题5分)
已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在AC上，且AE=CF．求证：BE=DF．
22.(本小题5分)
如图，△ABC中，D是BC的中点，AB=4，AC=2，AD=3，求BC的长及△ABC的面积.
23.(本小题5分)
在6×6的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，按下列要求在网格中画出图形.
①在图1中，以格点为顶点画一个三边长分别为4、、的三角形；
②在图2中，以格点为顶点画一个平行四边形，使平行四边形的一条边长为3，一个角是45°；
③在图3中，以格点为顶点画一个面积为4的菱形.
24.(本小题5分)
尺规作图：过直线外一点作这条直线的垂线.
已知，如图，直线l和直线外一点P.
求作：直线m,使得m⊥l,且直线m经过点P.
下面是小兵设计一种尺规作图过程.
①在直线l上取一点A，连接PA，以点P为圆心，PA的长为半径画弧，交直线l于另外一点B；
②分别以点A，B为圆心，AP为半径画弧，在直线l的下方，两弧交于点Q；
③经过P，Q两点作直线m.
则直线m即为所求直线.
根据小兵设计的尺规作图过程.
（1）使用直尺和圆规，补全图形.（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：连接PB，QA，QB，PQ，
∵AP= ______= ______= ______，
∴四边形PAQB为菱形（______）（填推理的依据）.
∴PQ⊥AB（______）（填推理的依据）.
∴直线m⊥直线l.
25.(本小题6分)
如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，点E、F分别是BC、AD的中点，AE、BF交于点O，连接EF、OC，
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AB=8，∠ABC=60°，求OC的长.
26.(本小题6分)
在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：
对于两个数a，b，称为a，b这两个数的算术平均数，称为a，b这两个数的几何平均数，称为a，b这两个数的平方平均数．
小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整：
（1）若a=-1，b=-2，则M=______，N=______，P=______；
（2）小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：
如图，画出边长为a+b的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示N2．
①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为M2，P2的图形；
②借助图形可知当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是______．（把M，N，P从小到大排列，并用“＜”或“≤”号连接）．
27.(本小题6分)
如图，在正方形ABCD中，M是对角线BD上的一动点，且BM＜DM，连接AM，过点B作AM的垂线，交AM的延长线于点E，交CD于点F，且∠DBF=α.
（1）依题意补全图1，求∠DAE的大小（用含α的式子表示）；
（2）若点N在线段BF上，BN=AM，连接MN.用等式表示MN，BN，AB之间的数量关系，并证明；
（3）连接CE.若AB=4，请直接写出线段CE长度的最小值.
28.(本小题7分)
在平面直角坐标系xOy中，若P，Q为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”，图1为点P，Q的“相关矩形”的示意图.
已知点A的坐标为（1，2）.
（1）如图2，点B的坐标为（b,0）.
①若b=-2，则点A，B的“相关矩形”的面积是______；
②若点A，B的“相关矩形”的面积是8，则b的值为______.
（2）点C在过点（0，-1）且平行x轴的直线l上，若点A，C的“相关矩形”是正方形，直接写出点C坐标；
（3）请利用图3画图并研究：等边△DEF的边DE在x轴上，顶点F在y轴的正半轴上，点D的坐标为（2，0），点M的坐标为（m,4）.若在△DEF的边上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，请直接写出m的取值范围.
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】A
10.【答案】D
11.【答案】x≥2
12.【答案】13或者
13.【答案】45°
14.【答案】＞
15.【答案】7
16.【答案】
17.【答案】（-2，0）或（2，0）或（0，2）
18.【答案】①②
19.【答案】8-3 -
20.【答案】解：∵a==2-＜1，
∴0＜a＜1，即0＜a-1＜0，
∴原式=-=（a+1）-=a+1+，
当a=2-时，原式=2-+1+2+=5．
21.【答案】证明：如图，连接BD与对角线AC交于点O．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD．
∵AE=CF，OA-AE=OC-CF，
∴OE=OF．
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BE=DF．
22.【答案】解：延长AD到E，使DE=AD=3，连接BE，CE．
∵D是BC的中点，
∴CD=BD，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴AB∥CE，EB=CA=2，
∵62+（2）2=（4）2，即AE2+AC2=EC2，
∴∠EAC=90°，
∴∠DAC=90°，
∴CD===，
∴BC=2CD=2，
∴S△ABC=2S△ACD=2×AC AD=2×3=6．
综上所述，BC的长度为2，△ABC的面积是6．
23.【答案】见解析；
见解析；
见解析．
24.【答案】见解析；
PB，QA，QB，四边相等的四边形是菱形，菱形的对角线互相垂直．
25.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴AF∥BE，
∵点E、F分别是BC、AD的中点，
∴，
∴AF=BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵BC=2AB，且BC=2BE，
∴AB=BE，
∴四边形ABEF是菱形；
（2）如图，过点O作OH⊥BC于H，
由（1）知，四边形ABEF是菱形，∠ABC=60°，
∴，BO⊥AE，
∵AB=8，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵BC=2AB=2×8=16，
HC=BC-BH=16-6=10，
∴．
26.【答案】解：（1），， ；
（2）①，
则用阴影标出一个面积为M2的图形如下所示：
，
则用阴影标出一个面积为P2的图形如下所示：
；
②N≤M≤P．
27.【答案】补全图形，如图1即为所求；
∠DAE=45°+α；
AB2+MN2=2BN2．
证明：如图2，连接CN，AN，AC，AN交BD于O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=45°，
由 得：∠FBC=∠BAE=45°-α，AB=BC，
在△ABM和△BCN中，
，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠ABM=∠BCN=45°，
∴∠ACB=∠BCN，
∴A，O，N，C共线，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，AC⊥BD，∠BAC=45°，
∴∠AOM=∠BON=90°，
在直角三角形AOB中，由勾股定理得：AB2=OA2+OB2=2OB2，
∵∠FBC=∠BAE=45°-α，
∴∠OAM=∠OBN=α，
在△AOM和△BON中，
，
∴△AOM≌△BON（ASA），
∴OM=ON，
∴MN2=OM2+ON2=2ON2，
∵AC⊥BD，
∴BN2=BO2+ON2，
∴，
∴AB2+MN2=2BN2；

28.【答案】6;5或-3 C（-2，-1）或（4，-1） m的取值范围为-6≤m≤-4+2或4-2m≤6
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