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2025-2026学年广东省深圳市南山区第二外国语学校（集团）海德学校初中部八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.习近平总书记指出：发展新能源汽车是我国从汽车大国走向汽车强国的必由之路.下列四款新能源汽车的标志中，是中心对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
2.下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（　　）
A. x2+x+1 B. x2+2x-1 C. x2-1 D. x2-8x+16
3.如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1克，则天平左盘中的每个小立方体的质量m的取值范围是（　　）
A. m＜2 B. C. m＜2或 D.
4.下列式子从左到右变形正确的是（　　）
A. B. C. D.
5.如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB、AC于E、F两点：再分别以E、F为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点G，作射线AG交CD于点H.若∠C=130°，则∠AHD的大小是（　　）
A. 135° B. 145° C. 150° D. 155°
6.下列命题的逆命题正确的是（　　）
A. 对顶角相等
B. 互为相反数的两个数的平方相等
C. 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D. 等边三角形是锐角三角形
7.如图，直线y1=x+b与y2=kx-1相交于点P，点P的横坐标为-1，则关于x的不等式x+b＜kx-1的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A.
B.
C.
D.
8.我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式.例如由图1可以得到a2+3ab+2b2=（a+2b）（a+b）.若已知a2+b2+c2=45，ab+bc+ac=38，由图2所表示的数学等式，则a+b+c的值为（　　）
A. 83 B. 7 C. 121 D. 11
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.分解因式：2a2-8= .
10.如果多边形的每个外角都是30°，那么这个多边形的边数是______.
11.如图，将周长为17cm的△ABC沿BC平移得到△DEF.平移后，如果四边形ABFD的周长是21cm,那么平移的距离是______cm.
12.如图，在等腰三角形ABC中，，BC=2，AD平分∠BAC，GE垂直平分AC交AD于点F，则AF的长是______.
13.如图，在△ABC和△DEF中，∠ACB=∠DFE=90°，∠A=∠EDF=60°，ED在直线AB上运动.若AC=ED=4，则CE+CF的最小值为 .
三、解答题：本题共6小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题6分)
解不等式组：，把解集在数轴上表示出来.
15.(本小题7分)
先化简，再求值：，再从0，1，2，3三个数中选择一个合适的数作为x的值，代入求值．
16.(本小题9分)
在如图所示的平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）.
（1）作出将△ABC向左平移5个单位得到的图形△A1B1C1；
（2）作出将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到的图形△AB2C2；
（3）若△A1B1C1与△A3B3C3成中心对称图形，写出对称中心的坐标______.
17.(本小题9分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°.
（1）利用尺规求作线段AB的垂直平分线，分别交AB，AC于点D，E.（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）连接CD，BE，若∠AEB=120°，CD=3，求AE的长.
18.(本小题10分)
随着生活水平的提高，人们越来越注重健康饮食、均衡膳食营养.某校食堂为丰富日常餐食，采购小米、黑米两种优质杂粮食材.已知小米每千克的价格是黑米每千克价格的1.2倍，用150元购买小米的质量比用100元购买黑米的质量多5千克.
（1）求小米、黑米每千克分别是多少元；
（2）该食堂计划采购两种杂粮共60千克，且购买小米的质量不少于黑米质量的一半，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少.
19.(本小题10分)
【阅读材料】
我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”.如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式.
我们知道，假分数可以化为带分数，例如：.类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，
如：，.
【学以致用】根据上面材料回答下列问题：
（1）填空：①请写出一个含有字母x的真分式：______；
②把下列假分式化成带分式的形式：=______.
（2）把分式化为“带分式”的形式，并求它的最大值.
（3）把分式化为“带分式”的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数.
20.(本小题10分)
综合与实践：研究△ABC的角平分线AD的性质.
【问题提出】
如图，AD是△ABC的角平分线，某数学兴趣小组进行了如下探究：
分别过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，由角平分线的性质可得DE=DF，进一步证得.于是小组成员们提出了一个新的问题：与有什么数量关系呢？
【特例感知】
（1）如图1，AD是△ABC的角平分线，若AB=AC，则______（填“＞”“＜”或“=”）；
【深入探究】
（2）如图2，AD是△ABC的角平分线，当AB≠AC时，该小组成员猜想：能否再次利用面积法，类比证明出与的关系？请你完成该证明；
【结论应用】
（3）如图3，AD是△ABC的角平分线，E是AB上一点，使得AE=2CD，连接DE，若BD=6，BE=CD=4，则DE=______；
（4）如图4，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的角平分线，且与AD相交于O，若∠ABC=60°，，则的值是______.
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】2（a+2）（a-2）
10.【答案】12
11.【答案】2
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】2≤x＜6，．
15.【答案】解：原式=
=
=，
由分式有意义的条件可知：，
∴x≠1且x≠0且x≠3，
∴x不能取0，1，3，
∴当x=2时，
原式=
=-2．
16.【答案】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△AB2C2即为所求．
（3）（-2，0）；
连接A1A3，B1B3，C1C3，相交于点P，
则△A1B1C1与△A3B3C3关于点P（-2，0）成中心对称，
∴对称中心的坐标为（-2，0）．
故答案为：（-2，0）．
17.【答案】见解析；
2．
18.【答案】小米、黑米每千克分别是6元和5元 当采购小米20千克，采购黑米40千克时，所需费用最少
19.【答案】（答案不唯一）; ，最大值是4 ，x=4或x=2或x=8或x=-2
20.【答案】= 能再次利用面积法，类比证明出与的关系；证明：设△ABC边BC上的高为h，
则，
又∵，
∴ 4
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