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2025-2026学年江苏省无锡市惠山区锡山高级中学实验学校七年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.（-2a3）2的计算结果是（　　）
A. 4a9 B. 2a6 C. -4a6 D. 4a6
2.在三角形、正方形、正五边形这三种图形中，是中心对称图形的有（　　）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
3.计算（a+b）（-a+b）的结果是（　　）
A. a2-b2 B. b2-a2 C. -a2-2ab+b2 D. -a2+2ab+b2
4.若（x-m）（x+1）的运算结果中不含x的一次项，则m的值等于（　　）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
5.如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△A′OB′，若∠AOB=25°，则∠AOB′的度数是（　　）
A. 25° B. 35°
C. 40° D. 85°
6.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=20°.根据尺规作图的痕迹可知，∠ADE的度数为（　　）
A. 70° B. 55°
C. 50° D. 60°
7.已知a=212，b=38，c=74，则a，b，c大小关系是（　　）
A. a＞b＞c B. b＞a＞c C. c＞b＞a D. b＞c＞a
8.在如图所示的正方形网格中，画出格点△DEF，使得△DEF与△ABC成轴对称，则不同位置的△DEF有（　　）
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
9.如图，长方形ABCD中，AB=5，第1次将长方形ABCD沿AB的方向向右平移4个单位长度，得到长方形A1B1C1D1，第2次将长方形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移4个单位长度，得到长方形A2B2C2D2，…，第n次将长方形An-1Bn-1Cn-1Dn-1沿An-1Bn-1的方向向右平移4个单位长度，得到长方形AnBnCnDn（n＞2）.若ABn的长度为2025，则n的值为（　　）
A. 504 B. 505 C. 2021 D. 2025
10.如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”，比如8=32-12，16=52-32，即8，16均为“和谐数”.在不超过2023的正整数中，所有的“和谐数“之和为（　　）
A. 255024 B. 253008 C. 257048 D. 255054
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.某地区空气中PM2.5的平均浓度为0.000035g/m3，数0.000035用科学记数法表示为 .
12.计算（3+3+…+3）2的结果是 .（括号里有m个3）
13.如果2x+3y-3=0，那么4x 8y= .
14.若x2+2（m-3）x+16是完全平方式，则m的值为 ．
15.如图，将边长为7cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移1cm，得到正方形A′B′C′D′，此时阴影部分的面积为______cm ．
16.利用平方差公式计算：的结果为 .
17.一根绳子AB长为12cm,C，D是绳子AB上任意两点（C在D的左侧）.将AC，BD分别沿C，D两点翻折（翻折处长度不计），A，B两点分别落在C，D上的点E，F处.当E，F两点间的距离为2cm时，CD的长为 .
18.已知，那么代数式a2+b2+c2-ab-bc-ac的值是 .
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
计算：
（1）；
（2）（-a） （-a）5-（-3a3）2.
20.(本小题6分)
计算：
（1）（x-1） （x+2）-（x+1）2；
（2）20252-2024×2026.（简便运算）
21.(本小题8分)
△ABC的三边长分别为：AB=2a2-a-7，BC=10-a2，AC=a.
（1）求△ABC的周长（请用含有a的代数式来表示）；
（2）若△ABC与△DEF成轴对称图形，其中点A与点D是对称点，点B与点E是对称点，EF=4-b2，DF=3-b,求a-b的值.
22.(本小题8分)
如图所示，由每一个边长均为1的小正方形构成的8×8正方形网格中，点A、B、C、M、N均在格点上（小正方形的顶点为格点），利用网格画图.
（1）画出△ABC关于直线MN对称的△A'B'C'；
（2）计算△ABC的面积为______；
（3）在线段MN上找一点P，使得PA+PB最小.（保留必要的画图痕迹，并标出点P位置）
23.(本小题8分)
教材呈现：如图是2024苏科版七年级下册数学教材第59页的部分内容.我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴.
如图①，直线l是线段AB的垂直平分线，P是直线l上任一点，连接PA、PB.将线段AB沿直线l对折，我们发现PA与PB完全重合，即PA=PB.
尺规作图：在图②中，作△ABC边AB，BC的垂直平分线m,n,交点为O（不写过程，保留作图痕迹）；
（1）若∠B=90°，则直线m,n夹角的度数为 ______；
（2）若∠B=α（α≠90°），求直线m,n所夹锐角的度数（用含α的代数式表示）.
24.(本小题10分)
如果xn=y,那么我们规定（x,y]=n.例如：因为32=9，所以（3，9]=2.
（1）（-3，81]=______；若（2，y]=6，则y=______；
（2）已知（3，60]=a,（3，4]=b,（3，m]=c,若a-b=c,则m=______；
（3）若（5，10]=a,（2，10]=b,令.
①求的值；
②求t的值.
25.(本小题10分)
【综合实践】根据以下素材，探索完成任务：
小江和小南在做物理实验时发现：当光发生反射时，反射光线与平面镜的夹角总是等于入射光线与平面镜的夹角.于是，他们想进一步探究转动的平面镜对光线反射的影响.如图1，点O为水平放置的平面镜MN上一点，将一块三角板的直角顶点摆放在O处，满足斜边AB∥MN，∠A=60°，∠B=30°，现有一束光线CO经平面镜反射后沿OC'射出，当光发生反射时，∠C'ON总是等于∠COM.若使光线CO从与OM重合处开始绕着点O以每秒5°的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒.
【探究1】当t=3时，请用无刻度的直尺和圆规在图2中画出此时入射光线CO和反射光线OC'所在位置；
【探究2】当∠AOC=3∠BOC'，且0＜t＜18时，求出满足条件的t的值；
【探究3】若在光线CO开始转动的同时，平面镜MN也绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转，当0＜t＜10时，请直接写出∠AOC和∠BOC′之间的数量关系.
26.(本小题10分)
学习情境：在学习整式的乘法中，智慧小组通过对同一面积的不同表达和比较，利用图1和图2发现并验证了乘法公式，不仅更清晰地“看到”公式的结构，同时感受到这样的抽象代数运算也有直观的背景.这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化.
数学思考：（1）请写出图1表示的代数恒等式______.
深入探究：（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（x+y）（x+2y）=x2+3xy+2y2.
拓展应用：
【提出问题】21×29，23×27，32×38，54×56，21×29，23×27，32×38，54×56， 是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？
【几何建模】用长方形的面积表示两个正数的乘积，以23×27为例：画宽为23，长为27的长方形，如图3，将这个23×27的长方形从右边切下长20，宽3的一条（阴影部分），拼接到原长方形的上面（阴影部分）.
【思路分析】几何建模步骤原长方形面积可以有两种不同的表达方式：长方形面积=27×23或（20+7+3）×20的长方形与右上角3×7的长方形面积之和，即长方形面积=（20+10）×20+3×7=2×7=2×3×100+3×7=621，用文字表述23×27的速算方法是：十位数字2与2加1的和相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果.
体验操作：（3）请你参照上述几何建模步骤，计算28×22.写出几何建模步骤：______.
归纳提炼：（4）两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用字母表示：设十位上的数字为n,个位上的数字分别为a,b）：______.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】B
10.【答案】A
11.【答案】3.5×10-5
12.【答案】9m2
13.【答案】8
14.【答案】7或-1
15.【答案】24
16.【答案】1012
17.【答案】7cm或5cm
18.【答案】3
19.【答案】-7 -8 a6
20.【答案】-x-3 1
21.【答案】a2+3； a-b=2．
22.【答案】3
23.【答案】90°
24.【答案】4;64 15 ①；②2
25.【答案】解：
【探究1】如图，作∠BON的角平分线OC′，再作∠MOC=∠NOC′，
则入射光线CO和反射光线OC′即为所求；
当t=3时，∠NOC'=15°，
∵AB//MN，
∴∠BON=∠B=30°，
∴作∠NOB的角平分线即可.
【探究2】
当0＜t≤6时，∠MOC=∠NOC'=5t°，
∵AB∥MN，
∴∠AOM=∠A=60°，∠BON=∠B=30°，
∴∠AOC=∠AOM-∠COM=60°-5t°，∠BOC'=∠BON-∠NOC'=30°-5t°，
∵∠AOC=3∠BOC′，
∴60-5t=3（30-5t），
解得t=3；
当6＜t≤12时，∠MOC=∠NOC′=5t°，
∵AB∥MN，
∴∠AOM=∠A=60°，∠BON=∠B=30°，
∴∠AOC=∠AOM-∠COM=60°-5t°，∠BOC′=∠NOC′-∠BON=5t°-30°，
∵∠AOC=3∠BOC′，
∴60-5t=3（5t-30），
解得t=7.5；
当12＜t＜18时，∠MOC=∠NOC′=5t°，
∵AB∥MN，
∴∠AOM=∠A=60°，∠BON=∠B=30°，
∴∠AOC=∠COM-∠AOM=5t°-60°，∠BOC'=∠NOC′-∠BON=5t°-30°，
∵∠AOC=3∠BOC′，
∴5t-60=3（5t-30），
解得t=3（舍去）；
综上所述，t=3或t=7.5；
【探究3】当时，11∠AOC-5∠BOC'=510°；当时，11∠AOC+5∠BOC'=510°．
26.【答案】（a-b）2=a2-2ab+b2；
见解析；
画宽为22，长为28的长方形，如图，将这个22×28的长方形从右边切下长20，宽2的一条（阴影部分），拼接到原长方形的上面；
100 n（n+1）+ab．
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