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/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
2026秋人教新版九上数学期末 学情评估
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．垃圾分类功在当代利在千秋，下列垃圾分类指引标志图形分别代表“厨余垃圾”“可回收垃圾”“其他垃圾”“有害垃圾”，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
2．［教材P71练习T2变式］若反比例函数的图象分布在第一、三象限，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
3．把方程化成的形式，则，的值是（ ）
A. ，10 B. ，1 C. 3，8 D. 3，9
【答案】A
4．已知实数，满足，，则以，为根的一元二次方程可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
5．一篇文章，嘉淇输入完成时间与每分钟输入字数之间的关系如图所示，嘉淇原来输入完成，改变输入方法后，嘉淇每分钟输入100字，则改变输入方法后（ ）
（第5题）
A. 提前了 B. 提前了
C. 提前了 D. 落后了
【答案】A
6．如图，在中， ， ，，将绕点顺时针旋转得到，连接,当，，三点共线时，的长度为（ ）
（第6题）
A. 12 B. C. D.
【答案】A
7．如图，抛物线与轴交于，两点，下列说法正确的是（ ）
（第7题）
A. 抛物线的对称轴为直线
B. 抛物线的顶点坐标为
C. ，两点之间的距离为5
D. 当时，的值随值的增大而增大
【答案】C
8．如图，是的直径，点，，在上，，若 ，则的度数为（ ）
（第8题）
A. B. C. D.
【答案】C
9．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度（单位：）与足球被踢出后经过的时间（单位：）之间的关系如下表：
0 1 2 3 4 5 6 7 …
0 8 14 18 20 20 18 14 …
下列结论正确的是（ ）
A. 足球飞行路线的对称轴是直线
B. 足球距离地面的最大高度为
C. 足球被踢出时落地
D. 足球被踢出时，距离地面的高度是
【答案】A
10．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，是半径为1的上两动点，且，为的中点.当点，在圆上运动时，面积的最大值是（ ）
（第10题）
A. 8 B. 6 C. 4 D. 3
【答案】D
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值为_ _ _ _ .
【答案】3
12．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
13．如图，坐标平面上有一个透明胶片，透明胶片上有一条抛物线及抛物线上一点，且抛物线为，点的坐标是.若将此透明胶片进行平移，使点的坐标为，则此时抛物线的解析式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（第13题）
【答案】
14．［教材习题变式］龚扇是自贡“小三绝”之一.为弘扬民族传统文化，某校手工兴趣小组将一个废弃的大纸杯侧面剪开直接当作扇面，制作了一个龚扇模型（如图）.扇形外侧两竹条，的夹角为 ，长，扇面上长为，则扇面面积为_ _ _ _ _ _ （结果保留）.
（第14题）
【答案】
15．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在双曲线和上，点在轴上，则点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ .
（第15题）
【答案】
16．如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，连接,，,.下列结论：；②若 ，则 ；；④若点为的中点，则，其中一定正确的序号是_ _ _ _ .
（第16题）
【答案】①②③④
三、解答题（本大题共7小题，共66分）
17．（6分）解下列方程：
（1） ；
（2） .
【答案】（1） 解：原方程可化为，,,或,.
（2） 原方程可化为，，
,.
18．（8分）已知关于的一元二次方程.
（1） 求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2） 若方程的两个实数根分别为，，且，求的值.
【答案】（1） 证明：, 无论取何值，方程总有两个不相等的实数根.
（2） 解：由根与系数的关系，得，，由，得，
，解得.
19．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴、轴于，两点，与反比例函数的图象交于，两点，轴于点，已知点的坐标是，.
（1） 求反比例函数与一次函数的解析式；
（2） 求的面积；
（3） 根据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围.
【答案】
（1） 解： 点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为.
点在反比例函数的图象上，且， 点的纵坐标为3.
将代入，得，解得，
点的坐标为.
，两点在一次函数的图象上，解得
一次函数的解析式为.
（2） .
（3） 当或时，一次函数的值大于反比例函数的值.
20．（10分）如图，在中， ，将绕着点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为点，,点落在上，连接.
（1） 若 ，求的度数；
（2） 若，,求的长.
【答案】
（1） 解：在中， ， ， .
将绕着点逆时针旋转得到，
，.
.
（2） ，,，
将绕着点逆时针旋转得到， ，，.
.
，
在中，.
21．（10分）如图，在中，，为的外接圆，为的切线，为的直径，连接并延长交于点.
（1） 求证：;
（2） 若，，求的半径.
【答案】
（1） 证明：如图，连接并延长，交于点，连接，
，，垂直平分，.
为的切线，.
为的直径， ，
四边形为矩形，
，
.
（2） 解：由（1）知四边形为矩形，，，
，
.
设的半径为，则,，
在中，由勾股定理，得，
解得，即的半径为.
22．（10分）根据以下素材，探索完成任务.
素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇.某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率得到提升，该零件4月份生产了100个，6月份生产了144个.
素材2 该工厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，在此基础上每个的售价每上涨1元，则月销售量将减少10个.
问题解决
任务1．求该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率；
任务2．当零件的售价定为多少时，每个月获得的销售利润最大？最大利润为多少？
【答案】
任务1 解：设该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为，
根据题意，得，
解得，（不合题意，舍去）.
答：该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为.
任务2 设零件的售价为元/个，每个月获得的销售利润为元，
根据题意，得，
， 当时，有最大值，最大值为12 250.
答：当零件的售价定为65元/个时，每个月获得的销售利润最大，最大利润为12 250元.
23．（13分）如图，二次函数的图象与轴分别交于点，（点 在点 的左侧），直线是对称轴.点在函数图象上，其横坐标大于4，连接，，过点作，垂足为，以点为圆心，作半径为的圆，与相切，切点为.
（1） 求点，的坐标；
（2） 若以的切线长为边长的正方形的面积与的面积相等，且不经过点，求长的取值范围.
【答案】
（1） 解：令，则，解得，，
结合题意知，点的坐标为，点的坐标为.
（2） ，
此二次函数图象的对称轴为直线.
设.
，，
.
连接，则,
为的切线，切点为,
，
，
即以切线长为边长的正方形的面积为.
,,.
过点作轴，垂足为.
.
.
由题意得，
解得.
，.
假设经过点，则有两种情况：
①如图①，当点在点的上方时，，，
解得或.
，;
②如图②，当点在点的下方时，，，解得.，.
.
综上所述，当经过点时，或.
不经过点，且，即，长的取值范围为或或.
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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．垃圾分类功在当代利在千秋，下列垃圾分类指引标志图形分别代表“厨余垃圾”“可回收垃圾”“其他垃圾”“有害垃圾”，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
2．［教材P71练习T2变式］若反比例函数的图象分布在第一、三象限，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
3．把方程化成的形式，则，的值是（ ）
A. ，10 B. ，1 C. 3，8 D. 3，9
【答案】A
4．已知实数，满足，，则以，为根的一元二次方程可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
5．一篇文章，嘉淇输入完成时间与每分钟输入字数之间的关系如图所示，嘉淇原来输入完成，改变输入方法后，嘉淇每分钟输入100字，则改变输入方法后（ ）
（第5题）
A. 提前了 B. 提前了
C. 提前了 D. 落后了
【答案】A
6．如图，在中， ， ，，将绕点顺时针旋转得到，连接,当，，三点共线时，的长度为（ ）
（第6题）
A. 12 B. C. D.
【答案】A
7．如图，抛物线与轴交于，两点，下列说法正确的是（ ）
（第7题）
A. 抛物线的对称轴为直线
B. 抛物线的顶点坐标为
C. ，两点之间的距离为5
D. 当时，的值随值的增大而增大
【答案】C
8．如图，是的直径，点，，在上，，若 ，则的度数为（ ）
（第8题）
A. B. C. D.
【答案】C
9．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度（单位：）与足球被踢出后经过的时间（单位：）之间的关系如下表：
0 1 2 3 4 5 6 7 …
0 8 14 18 20 20 18 14 …
下列结论正确的是（ ）
A. 足球飞行路线的对称轴是直线
B. 足球距离地面的最大高度为
C. 足球被踢出时落地
D. 足球被踢出时，距离地面的高度是
【答案】A
10．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，是半径为1的上两动点，且，为的中点.当点，在圆上运动时，面积的最大值是（ ）
（第10题）
A. 8 B. 6 C. 4 D. 3
【答案】D
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值为_ _ _ _ .
【答案】3
12．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
13．如图，坐标平面上有一个透明胶片，透明胶片上有一条抛物线及抛物线上一点，且抛物线为，点的坐标是.若将此透明胶片进行平移，使点的坐标为，则此时抛物线的解析式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（第13题）
【答案】
14．［教材习题变式］龚扇是自贡“小三绝”之一.为弘扬民族传统文化，某校手工兴趣小组将一个废弃的大纸杯侧面剪开直接当作扇面，制作了一个龚扇模型（如图）.扇形外侧两竹条，的夹角为 ，长，扇面上长为，则扇面面积为_ _ _ _ _ _ （结果保留）.
（第14题）
【答案】
15．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在双曲线和上，点在轴上，则点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ .
（第15题）
【答案】
16．如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，连接,，,.下列结论：；②若 ，则 ；；④若点为的中点，则，其中一定正确的序号是_ _ _ _ .
（第16题）
【答案】①②③④
三、解答题（本大题共7小题，共66分）
17．（6分）解下列方程：
（1） ；
（2） .
【答案】（1） 解：原方程可化为，,,或,.
（2） 原方程可化为，，
,.
18．（8分）已知关于的一元二次方程.
（1） 求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2） 若方程的两个实数根分别为，，且，求的值.
【答案】（1） 证明：, 无论取何值，方程总有两个不相等的实数根.
（2） 解：由根与系数的关系，得，，由，得，
，解得.
19．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴、轴于，两点，与反比例函数的图象交于，两点，轴于点，已知点的坐标是，.
（1） 求反比例函数与一次函数的解析式；
（2） 求的面积；
（3） 根据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围.
【答案】
（1） 解： 点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为.
点在反比例函数的图象上，且， 点的纵坐标为3.
将代入，得，解得，
点的坐标为.
，两点在一次函数的图象上，解得
一次函数的解析式为.
（2） .
（3） 当或时，一次函数的值大于反比例函数的值.
20．（10分）如图，在中， ，将绕着点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为点，,点落在上，连接.
（1） 若 ，求的度数；
（2） 若，,求的长.
【答案】
（1） 解：在中， ， ， .
将绕着点逆时针旋转得到，
，.
.
（2） ，,，
将绕着点逆时针旋转得到， ，，.
.
，
在中，.
21．（10分）如图，在中，，为的外接圆，为的切线，为的直径，连接并延长交于点.
（1） 求证：;
（2） 若，，求的半径.
【答案】
（1） 证明：如图，连接并延长，交于点，连接，
，，垂直平分，.
为的切线，.
为的直径， ，
四边形为矩形，
，
.
（2） 解：由（1）知四边形为矩形，，，
，
.
设的半径为，则,，
在中，由勾股定理，得，
解得，即的半径为.
22．（10分）根据以下素材，探索完成任务.
素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇.某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率得到提升，该零件4月份生产了100个，6月份生产了144个.
素材2 该工厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，在此基础上每个的售价每上涨1元，则月销售量将减少10个.
问题解决
任务1．求该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率；
任务2．当零件的售价定为多少时，每个月获得的销售利润最大？最大利润为多少？
【答案】
任务1 解：设该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为，
根据题意，得，
解得，（不合题意，舍去）.
答：该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为.
任务2 设零件的售价为元/个，每个月获得的销售利润为元，
根据题意，得，
， 当时，有最大值，最大值为12 250.
答：当零件的售价定为65元/个时，每个月获得的销售利润最大，最大利润为12 250元.
23．（13分）如图，二次函数的图象与轴分别交于点，（点 在点 的左侧），直线是对称轴.点在函数图象上，其横坐标大于4，连接，，过点作，垂足为，以点为圆心，作半径为的圆，与相切，切点为.
（1） 求点，的坐标；
（2） 若以的切线长为边长的正方形的面积与的面积相等，且不经过点，求长的取值范围.
【答案】
（1） 解：令，则，解得，，
结合题意知，点的坐标为，点的坐标为.
（2） ，
此二次函数图象的对称轴为直线.
设.
，，
.
连接，则,
为的切线，切点为,
，
，
即以切线长为边长的正方形的面积为.
,,.
过点作轴，垂足为.
.
.
由题意得，
解得.
，.
假设经过点，则有两种情况：
①如图①，当点在点的上方时，，，
解得或.
，;
②如图②，当点在点的下方时，，，解得.，.
.
综上所述，当经过点时，或.
不经过点，且，即，长的取值范围为或或.
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