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同步探究学案
课题 25.2.3 因式分解法 单元 第二十五章 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 1．依据“若两个因式乘积为0，则至少一个因式为0”，理解因式分解法解方程原理． 2．掌握提公因式、平方差、完全平方分解方程左边多项式，快速求解方程． 3．对比四种解法，能根据方程结构特征选择最简捷的解方程方法．
重点 理解因式分解法解方程的原理，熟练运用因式分解法解方程，能根据方程特征灵活选择最优解法．
难点 准确将方程整理为一边等于0的形式并彻底分解因式，结合方程结构对比区分四种解法，合理选择最简捷的求解方法．
探究过程
导入新课 【引入思考】 1．上节课我们学习了哪种解一元二次方程的通用方法？ 2．用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助两个因式的积为0，研究因式分解法解一元二次方程。 问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过后的离地高度(单位:m)约为 根据上述规律，物体经过多少秒落回地面？ 解：设物体经过落回地面，这时它离地面的高度为，即 （1）你能利用学过的方法解这个方程吗？ 思考1：除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程 10x－5x2＝0？ 分析：观察方程10x－5x2＝0的左右两边，发现： 方程的左边是一个二项式，且这个二项式可以进行因式分解， 即 10x－5x2＝__________． 方程的右边是0，所以 5x(2－x)＝__________． （2）怎么解5x(2－x)＝0个这方程呢？ 注意：如果，那么，或. 分析：这个方程的左边是两个一次因式的乘积，右边是0.我们知道，如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反之，如果两个因式中任何一个为0， 那么它们的积也等于0.所以 5 因此，方程的两个根是 对于这两个根，表示物体抛离地面的时刻，即在时物体被抛出，此刻物体的高度是；而表示物体在抛离地面时落回地面. 思考2：解方程时，二次方程是如何降为一次的 分析：可以发现，在上述解法中，由到或的过程，不是用开平方降次，而是先__________，使方程化为两个一次式的乘积等于__________的形式，再使这两个一次式分别等于__________，从而实现降次. 归纳：这种解一元二次方程的方法叫作__________. 例：解下列方程: (1)； (2). 归纳：利用因式分解法解一元二次方程的常用方法 （1）提公因式法：把多项式各项的公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式． （2）运用平方差公式a2－b2 ＝ (a＋b)(a－b) 和完全平方公式a2±2ab＋b2 ＝ (a±b)2来分解因式． 思考3：学习了配方法、公式法、因式分解法等求解一元二次方程的方法后，你能说说它们各自的特点吗 分析：配方法要先__________，再__________，进而降次；通过配方法可以推出__________公式，公式法直接利用求根公式解方程；因式分解法要先将方程一边化为两个__________相乘，另一边为__________，再分别使各一次因式等于0. 配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法只在解某些一元二次方程时比较简便.总之，解一元二次方程的基本思路是:先将二次方程化为两个一次方程，即降次，再分别解两个一次方程.
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．一元二次方程的解是（ ） A． B． C．或 D．或 2．若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 3．用适当的方法解方程： (1)； (2)． 选做题： 4．若实数m、n分别满足方程，，且，则的值为（ ） A．12 B．13 C．14 D．15 【综合拓展类练习】 5．已知关于x的一元二次方程． (1)当时，求方程的解． (2)若是方程的一个解，求b的值和方程的另一个解．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．已知三角形两边长分别为3和4，第三边的长是方程 的一个根，则此三角形的周长为（ ） A．13 B．14 C．15 D．13或15 2．的根是______，的根是______． 3．用适当方法解下列方程 (1) (2) 选做题： 4．将个数、、、排成两行、两列，两边各加一条竖线段，定义，上述记号就叫做二阶行列式，若 ，则______． 【综合拓展类作业】 5．设是实数，已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若方程的两根都大于，求的取值范围．
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同步探究学案
课题 25.2.3 因式分解法 单元 第二十五章 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 1．依据“若两个因式乘积为0，则至少一个因式为0”，理解因式分解法解方程原理． 2．掌握提公因式、平方差、完全平方分解方程左边多项式，快速求解方程． 3．对比四种解法，能根据方程结构特征选择最简捷的解方程方法．
重点 理解因式分解法解方程的原理，熟练运用因式分解法解方程，能根据方程特征灵活选择最优解法．
难点 准确将方程整理为一边等于0的形式并彻底分解因式，结合方程结构对比区分四种解法，合理选择最简捷的求解方法．
探究过程
导入新课 【引入思考】 1．上节课我们学习了哪种解一元二次方程的通用方法？ 答案：公式法 2．用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 答案：第1步：先把方程化为一般形式； 第2步：确定a，b，c的值； 第3步：计算b2－4ac的值； 第4步：当b2－4ac≥0时，把a，b，c的值代入一元二次方程的求根公式，求得方程的根；当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助两个因式的积为0，研究因式分解法解一元二次方程。 问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过后的离地高度(单位:m)约为 根据上述规律，物体经过多少秒落回地面？ 解：设物体经过落回地面，这时它离地面的高度为，即 （1）你能利用学过的方法解这个方程吗？ 解：①配方法： 整理，得5x2－10x＝0． 二次项系数化为1，得x2－x＝0． 配方，得， ， 由此可得， x1＝0，x2＝． ②公式法： 方程化为5x2－10x＝0． a＝5，b＝－10，c＝0． Δ＝b2－4ac ＝(－10)2－4×5×0＝100＞0． 方程有两个不等的实数根 即x1＝0，x2＝． 思考1：除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程 10x－5x2＝0？ 分析：观察方程10x－5x2＝0的左右两边，发现： 方程的左边是一个二项式，且这个二项式可以进行因式分解， 即 10x－5x2＝5x(2－x)． 方程的右边是0，所以 5x(2－x)＝0． （2）怎么解5x(2－x)＝0个这方程呢？ 注意：如果，那么，或. 分析：这个方程的左边是两个一次因式的乘积，右边是0.我们知道，如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反之，如果两个因式中任何一个为0， 那么它们的积也等于0.所以 5 因此，方程的两个根是 对于这两个根，表示物体抛离地面的时刻，即在时物体被抛出，此刻物体的高度是；而表示物体在抛离地面时落回地面. 思考2：解方程时，二次方程是如何降为一次的 分析：可以发现，在上述解法中，由到或的过程，不是用开平方降次，而是先分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次. 归纳：这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 例：解下列方程: (1)； (2). 解:(1)左边分解因式，得 于是 即 (2)移项、合并同类项，得 左边分解因式，得 于是 即 归纳：利用因式分解法解一元二次方程的常用方法 （1）提公因式法：把多项式各项的公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式． （2）运用平方差公式a2－b2 ＝ (a＋b)(a－b) 和完全平方公式a2±2ab＋b2 ＝ (a±b)2来分解因式． 思考3：学习了配方法、公式法、因式分解法等求解一元二次方程的方法后，你能说说它们各自的特点吗 分析：配方法要先配方，再开方，进而降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式解方程；因式分解法要先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0. 配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法只在解某些一元二次方程时比较简便.总之，解一元二次方程的基本思路是:先将二次方程化为两个一次方程，即降次，再分别解两个一次方程.
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．一元二次方程的解是（ ） A． B． C．或 D．或 答案：C 2．若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 答案： 3．用适当的方法解方程： (1)； (2)． 解：（1）， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，； （2）， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，． 选做题： 4．若实数m、n分别满足方程，，且，则的值为（ ） A．12 B．13 C．14 D．15 答案：B 【综合拓展类练习】 5．已知关于x的一元二次方程． (1)当时，求方程的解． (2)若是方程的一个解，求b的值和方程的另一个解． 解：（1）当时，方程为， 因式分解，得， 所以或， 解得，． （2）∵是方程的一个解， ∴， ∴， ∴方程为， 因式分解，得， 解得，， ∴方程的另一个解为．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．已知三角形两边长分别为3和4，第三边的长是方程 的一个根，则此三角形的周长为（ ） A．13 B．14 C．15 D．13或15 答案：A 2．的根是______，的根是______． 答案：， ， 3．用适当方法解下列方程 (1) (2) 解：（1） ∴或 解得，． （2） 移项得 开平方得 解得，． 选做题： 4．将个数、、、排成两行、两列，两边各加一条竖线段，定义，上述记号就叫做二阶行列式，若 ，则______． 答案：或 【综合拓展类作业】 5．设是实数，已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若方程的两根都大于，求的取值范围． 证明：（1）， 该方程总有两个实数根； （2）由得， 或， ，． 方程的两根都大于， ， 解得， 的取值范围是．
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