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第二十五章 一元二次方程
25.2.3 因式分解法
1．依据“若两个因式乘积为0，则至少一个因式为0”，理解因式分解法解方程原理．
2．掌握提公因式、平方差、完全平方分解方程左边多项式，快速求解方程．
3．对比四种解法，能根据方程结构特征选择最简捷的解方程方法．
1．上节课我们学习了哪种解一元二次方程的通用方法？
公式法
2．用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？
第1步：先把方程化为一般形式；
第2步：确定a，b，c的值；
第3步：计算b2－4ac的值；
第4步：当b2－4ac≥0时，把a，b，c的值代入一元二次方程的求根公式，求得方程的根；当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．
一元二次方程一般可以用公式法来解，但对于像这样的方程，根据平方根的意义求解较为简便.
下面，我们继续讨论对于解某些一元二次方程较为简便的方法.
问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过后的离地高度(单位:m)约为
根据上述规律，物体经过多少秒落回地面？
解：设物体经过落回地面，这时它离地面的高度为，即
你能利用学过的方法解这个方程吗？
解：①配方法：
整理，得5x2－10x＝0．
二次项系数化为1，得x2－x＝0．
配方，得，
，
由此可得，
x1＝0，x2＝．
②公式法：
方程化为5x2－10x＝0．
a＝5，b＝－10，c＝0．
Δ＝b2－4ac
＝(－10)2－4×5×0＝100＞0．
方程有两个不等的实数根
即x1＝0，x2＝．
思考1：除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程 10x－5x2＝0？
观察方程10x－5x2＝0的左右两边，发现：
方程的左边是一个二项式，且这个二项式可以进行因式分解，
即
10x－5x2＝5x(2－x)．
方程的右边是0，所以
5x(2－x)＝0．
怎么解5x(2－x)＝0个这方程呢？
这个方程的左边是两个一次因式的乘积，右边是0.我们知道，如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反之，如果两个因式中任何一个为0，
那么它们的积也等于0.所以
5
因此，方程的两个根是
如果，那么，或.
对于这两个根，表示物体抛离地面的时刻，即在时物体被抛出，此刻物体的高度是；而表示物体在抛离地面时落回地面.
思考2：解方程时，二次方程是如何降为一次的
可以发现，在上述解法中，由到或的过程，不是用开平方降次，而是先分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.
这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法.
例：解下列方程:
(1)； (2).
解:(1)左边分解因式，得
于是
即
(2)移项、合并同类项，得
左边分解因式，得
于是
即
利用因式分解法解一元二次方程的常用方法
（1）提公因式法：把多项式各项的公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式．
（2）运用平方差公式a2－b2 ＝ (a＋b)(a－b) 和完全平方公式a2±2ab＋b2 ＝ (a±b)2来分解因式．
思考3：学习了配方法、公式法、因式分解法等求解一元二次方程的方法后，你能说说它们各自的特点吗
配方法要先配方，再开方，进而降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式解方程；因式分解法要先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.
配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法只在解某些一元二次方程时比较简便.总之，解一元二次方程的基本思路是:先将二次方程化为两个一次方程，即降次，再分别解两个一次方程.
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因式分解法解一元二次方程
定义
方法
解法选择
利用因式分解来解一元二次方程的方法
提公因式法，运用平方差公式和完全平方公式
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