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第一章 因式分解
课题3 提多项式公因式
情景导入
1．因式分解：2ax－4a2y.
2．在多项式2ax－4a2y中，如果把其中的a用(a＋b)替换，则可得到多项式：2(a＋b)x－4(a＋b)2y，还可以进行因式分解吗？如果可以，怎样进行因式分解？
解：原式＝2a(x－2ay).
自学互研
知识模块一　确定多项式公因式
探 究
做一做：把下列多项式因式分解：
解：(1) x(x－2)－y(x－2)＝(x－2)(x－y).
看作整体
（1）x (x－2)－y(x－2)；
(2) x(x－2)－y(2－x)＝x(x－2)－y[－(x－2)]
变形为－(x－2)
＝x(x－2)＋y(x－2)
＝(x－2)(x＋y).
（2）x(x－2)－y(2－x).
归 纳
在确定多项式公因式时，如果多项式中的各部分含有相同的多项式因式，可把这个多项式看作一个整体，然后按照确定单项式公因式的方法确定公因式．
公因式的系数取各项系数的绝对值的最大公因数，公因式的字母及指数取各项都含有的相同字母的最低次幂．
01
02
(1)10a2(x＋y)2－5a(x＋y)3应提取的公因式是______________；
(2)2x(－x＋y)2－(x－y)3应提取的公因式是__________．
5a(x＋y)2
(x－y)2
练 习
知识模块二 提多项式公因式进行因式分解
自主学习
变形为(x－y)2
例1 把多项式 12xy (x－y)2－18x y(y－x) 因式分解.
分析：(1) 公因式的系数是多少
(2) 公因式中含哪些字母因式？对应字母的最低次数各是多少？
(3) 公因式中含有什么式子？
6
x 与 y；x 与 y 的最低次数都是 1
xy (x－y)2
解 12xy (x－y) －18x y(y－x)
=12xy (x－y) －18x y(x－y)
=6xy(x－y) ·2y－6xy(x－y) ·3x
=6xy(x－y) (2y－3x).
例2把多项式 2x3y－10xy2因式分解.
分析 2＝2×，10＝5×2×，所以公因式的系数为 2.
解：2x3y－10xy2 ＝2xy·x2－2xy·5y
＝2xy(x2－5y).
提公因式法步骤（分两步）
注意：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.
整体思想是数学中一种重要且常用的思想方法.
归 纳
第一步：找出公因式；
第二步：提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积.
将多项式 x3y2－ x2y3因式分解，对比其他同学的答案，你们的结果一样吗？
分析＝×，所以公因式的系数为.
x3y2－ x2y3＝x2y2·x－x2y2·y
＝x2y2
议一议
将下列多项式进行因式分解：
(1)12xy2(x－y)2－18x2y(y－x)2；
合作探究
解：原式＝12xy2(x－y)2－18x2y(x－y)2
＝6xy(x－y)2·2y－6xy(x－y)2·3x
＝6xy(x－y)2(2y－3x)；
底数互为相反数时，可通过如下两个等式变
形：(a－b)2n＝(b－a)2n，(a－b)2n+1＝－(b－a)2n+1(n为正整数)．因此，确定公因式时，原多项式中的部分项的因式可适当变形，在变形时要特别注意符号．
归 纳
(2)2x3y－10xy2.
解析：2＝2×，10＝10×，所以公因式的系数为2.
解：原式＝2xy·x2－2xy·5y
＝2xy(x2－5y).
提取公因式后，每个因式都要化为最简形式．
把下列各式因式分解：
(1)x(x－y)－y(x－y)；
(2)6(x＋y)(x－y)－3(y－x)2.
练 习
解：(1)原式＝(x－y)(x－y)
(2)原式＝6(x＋y)(x－y)－3(x－y)2
＝(x－y)2；
＝3(x－y)[2(x＋y)－(x－y)]
＝3(x－y)(x＋3y).
提公因式法
确定公因式的方法：三定 ——
即定系数，定字母，定指数
分两步：
第一步找公因式，第二步提公因式
注意
1. 分解因式是一种恒等变形；
2. 公因式要提尽；
3. 整项提出莫漏 1；
4. 提负号，要注意变号
课堂小结
1. 把多项式 (x + 2)(x - 2) + (x - 2) 提取公因式 (x - 2) 后，余下的部分是（　　）
A．x + 1 B．2x
C．x + 2 D．x + 3
D
2. 若 9a2( x - y )2 - 3a( y - x )3 ＝ M · ( 3a ＋ x - y )，则 M 等于___________.
3a( x - y )2
随堂检测
解：(1) a(m - 6) + b(m - 6)
3. 把下列各式因式分解：
(1) a(m - 6) + b(m - 6)； (2) 3(a - b) + a(b - a).
= (m - 6)(a + b).
(2) 3(a - b) + a(b - a)
= 3(a - b) - a(a - b)
= (a - b)(3 - a).
4. 分解因式：( x - y )2 + y( y - x ).
解法1：( x - y )2 + y( y - x )
= ( x - y )2 - y( x - y )
= ( x - y )( x - y - y )
= ( x - y )( x - 2y ).
解法2：( x - y )2 + y( y - x )
= ( y - x )2 + y( y - x )
= ( y - x )( y - x + y )
= ( y - x )( 2y - x ).
5.已知a－b－c=2，求a(a－b－c)+b(c－a+b)+ c(b+c－a)的值.
解： a(a－b－c)+b(c－a+b)+c(b+c－a)
=a(a－b－c)－b(a－b－c)－c(a－b－c)
=(a－b－c)2
因为a－b－c=2，所以原式=22=4.
作业布置
完成对应课时练习

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