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第一章 因式分解
课题4 用平方差公式因式分解
旧知回顾
1．计算下列各式：
(1)(a＋2)(a－2)＝_________；
(2)(a＋b)(a－b)＝________；
(3)(3a＋2b)(3a－2b)＝_________．
a2－4
a2－b2
9a2－4b2
2．请你根据上面的算式填空：
(1)a2－4＝_________________；
(2)a2－b2＝________________；
(3)9a2－4b2＝_______________ ．
请同学们对比以上两题，你发现了什么？
(a＋2)(a－2)
(a＋b)(a－b)
(3a＋2b)(3a－2b)
如图，在边长为 a 米的正方形上剪掉一个边长为 b 米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么等式？
a米
b米
b米
a米
(a-b)米
a2 - b2 = (a + b)(a - b)
自学互研
x －25＝ ＝ .
在平方差公式中，将 y 用 5 代入得到等式：
(x＋5)(x－5)＝ ＝ .
x －5
x －25
把这个等式从右到左使用，就可以把多项式
x －25因式分解：
x －5
(x＋5)(x－5)
探 究
知识模块一　用平方差公式因式分解
像上面那样，把乘法公式从右到左使用，就可以把某些形式的多项式因式分解，这种因式分解的方法叫作公式法.
归 纳
平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
平方差公式特点
适用平方差公式因式分解的多项式特点：
必须是二项式；
两项符号相反；
能写成平方差的形式．
例题与练习
例1 把多项式 25x －4y 因式分解.
分析 由 25x ＝(5x) 和 4y ＝(2y) 可知，
(5x)2 － (2y)2
= (5x+2y)(5x－2y).
x
x
y
y
+
(
)
(
－
)
x2 － y2 =
解：原式=
5x
2y
5x
5x
2y
2y
2y
例2 把多项式 x4－y4 因式分解.
解： x4－y4＝( x2 )2－( y2 )2
＝( x2＋y2 )(x2－y2 )
＝( x2＋y2 )( x＋y )(x－y ).
因式分解后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解.
＝(2m＋4n)(4m＋2n)
解：(1) 原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)
＝(b－a)(3a＋b).
(2) 原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n )
＝4(m＋2n)(2m＋n)．
分解因式：(1) (a＋b)2－4a2； (2) 9(m＋n)2－(m－n)2.
练 习
例3 把多项式 x5－x3y 因式分解.
分析：多项式 x5－x3y 的各项有公因式 x3，故应先提公因式，然后运用公式法进行因式分解.
解：x5－x3y ＝x3(x2－y )
＝x3( x＋y )(x－y).
方法总结：因式分解前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．注意因式分解必须进行到每一个多项式都不能再分解为止.
因式分解：
(1) 5m2a4 － 5m2b4；
＝ 5m2( a2＋b2)( a＋b )( a－b ).
解：(1) 原式＝ 5m2( a4－b4 )
＝ 5m2( a2＋b2)( a2－b2 )
练 习
＝ ( a＋2b )( a－2b－1 ).
(2) 原式＝ ( a2－4b2 )－( a＋2b )
＝ ( a＋2b )( a－2b )－( a＋2b )
(2) a2 － 4b2 － a － 2b.
例4 把多项式 x4 － 9 因式分解.
解： x4－9＝( x2 )2－32
＝( x2＋3 )( x2－3 )
＝( x2＋3)[ x2－()2 ]
＝( x2＋3)( x＋)( x－).
方法总结：在进行因式分解时，必须进行到每一个因式都不能分解为止.
用简便方法计算：(1) 6.12－3.92； (2) 0.122－0.882.
解：(1) 原式＝( 6.1＋3.9 )( 6.1－3.9 )
(2) 原式＝( 0.12＋0.88 )( 0.12－0.88 )
＝1×(－0.76 )＝－0.76.
方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.
做一做
＝10×2.2＝22.
因式分解：
(1)a4－b4；(2)x3y2－xy4.
练 习
解：(1)原式＝(a2＋b2)(a2－b2)
＝(a2＋b2)(a＋b)(a－b)；
(2)原式＝xy2(x2－y2)
＝xy2(x＋y)(x－y).
知识模块二　利用平方差公式进行简便计算
探 究
利用因式分解计算 ：(1)1012－992；
解析：直接利用平方差公式计算；
解：(1)原式＝(101＋99)(101－99)
＝200×2＝400；
(2)5722×－4282×.
解析：先提取公因式，再利用平方差公式计算.
(2)原式＝×(5722－4282)
＝×(572＋428)(572－428)
＝×1 000×144＝36 000.
在一个边长为12.75 cm的正方形内剪去一个边长为7.25 cm的正方形，求剩余部分的面积．
练 习
解：12.752－7.252＝(12.75＋7.25)×(12.75－7.25)＝20×5.5＝110(cm2).
所以剩余部分的面积为110 cm2.
平方差公式分解因式
公式
a2 - b2 = ( a + b )( a - b )
步骤
一提：公因式；
二套：公式；
三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解
课堂小结
1. 下列多项式中能用平方差公式因式分解的是（　　）
A．a2 ＋ ( - b)2 B．5m2 - 20mn
C．- x2 - y2 D． - x2 ＋ 9
D
随堂检测
3. 若 a + b = 3，a - b = 7，则 b2 - a2 的值为（　　）
A．- 21 B．21
C．- 10 D．10
A
2. 因式分解 ( 2x + 3 )2 - x2 的结果是（　　）
A．3( x2 + 4x + 3 ) B．3( x2 + 2x + 3 )
C．( 3x + 3 )( x + 3 ) D．3( x + 1 )( x + 3 )
D
4.用简便方法计算：
（1）49.62－50.42；
解:原式=(49.6+50.4)(49.6－50.4)
=100×(－0.8)
=－80
（2）13.32－11.72.
原式=(13.3+11.7)(13.3－11.7)
=25×1.6
=40
5. 已知 4m + n = 40，2m - 3n = 5，求 (m + 2n)2 - (3m - n)2 的值．
原式 = -40×5 = -200.
解：原式 = (m + 2n + 3m - n)(m + 2n - 3m + n)
= (4m + n)(3n - 2m)
= -(4m + n)(2m - 3n).
当 4m + n = 40，2m - 3n = 5 时，
作业布置
完成对应课时练习

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