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第一章 因式分解
课题5 用完全平方公式因式分解
情景导入
1．分解因式：
(1)x2－4y2； (2)3x2－3y2；
(3)x4－1； (4)(x＋3y)2－(x－3y)2.
解：(1)原式＝(x＋2y)(x－2y)；
(2)原式＝3(x＋y)(x－y)；
(3)原式＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)；
(4)原式＝(x＋3y＋x－3y)(x＋3y－x＋3y)
＝12xy.
2．根据学方差公式因式分解的经验和方法，你能将形如“a2＋2ab＋b2，a2－2ab＋b2”的式子因式分解吗？
自学互研
知识模块一　用完全平方公式因式分解的多项式
探 究
完全平方公式1：(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2；
完全平方公式2：(x－y)2＝x2－2xy＋y2.
从右到左的变式为：x2＋2xy＋y2＝_______；x2－2xy＋y2＝__________．
(x＋y)2
(x－y)2
例如：(x＋2)2＝x2＋4x＋4，则把多项式x2＋
4x＋4因式分解是：x2＋4x＋4＝_________.
(x＋2)2
这种方法就是利用完全平方公式进行因式分解．
归 纳
能运用完全平方公式因式分解的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍．
练 习
下列多项式能用完全平方公式因式分解的有
( )
①a2＋ab＋b2；②a2－a＋；③9a2－24ab＋
4b2；④－a2＋8a－16.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
知识模块二　运用完全平方公式因式分解
例1 把多项式 9x2－6x＋1 因式分解：
分析：9x2 = (3x)2， 1 = 1 ，2·3x·1 = 6x，
因此 9x2－6x＋1 符合完全平方式 2 右边的形式，于是从右到左使用完全平方公式 2，就可把 9x2－6x＋1 因式分解.
探 究
解： 9x2－6x＋1
= (3x－1)2.
= (3x)2－2 · 3x · 1 + 12
与同学交流，具有什么特征的多项式可以运用完全平方公式分解因式？
2
x
y
+ y2
±
= (x ± y)
x2
首2
+ 尾2
±2×首×尾
(首±尾)2
两个数的平方和加上 (或减去) 这两个数积的 2 倍，等于这两个数的和 (或差) 的平方.
简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
议一议
例2 把下列多项式因式分解：
(1) －4x2＋12xy－9y2；
解：(1) －4x2＋12xy－9y2
＝－(4x －12xy＋9y )
分析：(1)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为 -(4x2－12xy＋9y2)，然后再利用公式因式分解.
＝－[(2x) －2·2x·3y＋(3y) ]
＝－(2x－3y) .
(2) x5＋2x3y＋xy2.
(2) x5＋2x3y＋xy2
＝x(x4＋2x y＋y )
分析：(2) 中有公因式 x，应先提出公因式，再进一步因式分解；
＝x[(x ) ＋2·x ·y＋y ]
＝x(x ＋y) .
例3 把多项式 x4－2x2＋1 因式分解.
解： x4－2x2＋1
＝(x ) －2·x ·1＋1
因式分解时，必须进行到每一个因式都不能分解为止.
＝(x －1)
＝[(x＋1)(x－1)]
＝(x＋1) (x－1) .
做一做
可以利用完全平方公式把多项式 (x＋y) －4(x＋y)＋4 因式分解吗？试一试.
分析：将 x＋y 看成一个整体，如 x＋y = m，则原式化为 m2 - 4m + 4.
解：(x＋y) －4(x＋y)＋4
＝(x＋y) －2·(x＋y)·2＋2
＝(x＋y－2) .
练 习
分解因式：
(1)(x＋y)2－4(x＋y)＋4；
解：原式＝(x＋y)2－4(x＋y)＋22
(2)a2－2a(b＋c)＋(b＋c)2.
解：原式＝[a－(b＋c)]2
＝(x＋y－2)2；
＝(a－b－c)2.
利用完全平方公式因式分解
公式
a2±2ab＋b2 = (a±b)2
特点
（1）要求多项式有三项；
（2）其中两项是某数或式的平方和，另一项则是这两数或式的乘积的 2 倍，符号可正可负.
课堂小结
1. 下列四个多项式中，能因式分解的是 ( )
A．a2 + 1 B．a2 - 6a + 9
C．x2 + 5y D．x2 - 5y
2. 把多项式 4x2y - 4xy2 - x3 因式分解的结果是
( )
A．4xy( x - y ) - x3 B． - x( x - 2y )2
C．x( 4xy - 4y2 - x2 ) D． - x( - 4xy + 4y2 + x2 )
B
B
随堂检测
3. 若 m ＝ 2n + 1，则 m2 - 4mn + 4n2 的值是___．
1
4. 若关于 x 的多项式 x2 - 8x + m2 是完全平方式，则 m 的值为______．
±4
5. 把下列多项式因式分解：
（1）x2 - 12x + 36；
（2）4(2a + b)2 - 4(2a + b) + 1；
解：(1) 原式 = x2 - 2·x·6 + 62
= (x - 6)2.
(2) 原式 = [2(2a + b)] - 2×2(2a + b)·1 + 1
= (4a + 2b - 1)2.
(3) 原式 = (y + 1) - x
（3）y2 + 2y + 1 - x2.
= (y + 1 + x)(y + 1 - x).
6. 计算：(1)38.92－2×38.9×48.9＋48.92；
解：(1) 原式＝(38.9－48.9)2
＝100.
(2)20232－2023×4044＋20222；
(2) 原式=20232－2×2023×2022＋20222；
=（2023-2022）2
=1
作业布置
完成对应课时练习

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