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(共19张PPT)
第一章 因式分解
第1章小结与复习
情景导入
知识结构图
提公因式法
公式法
因式分解
因式分解
概念
因式分解的方法
互逆
因式分解的过程和多项式的乘法的过程正好相反：前者是把一个多项式化为几个多项式的乘积，后者是把几个多项式的乘积化为一个多项式.
一、因式分解
要点梳理
把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式，称为把这个多项式因式分解，也称为分解因式 ；
02
01
二、提公因式法
1. 一般地，多项式的各项都含有的因式，叫作这个 多项式各项的公因式，简称多项式的公因式.
2. 公因式的确定：
系数：取多项式各项整数系数的最大公因数 ；
字母：取多项式各项中相同的字母；
各字母的指数：取次数最最低的．
3. 定义：逆用乘法对加法的分配律，可以把 公因式提到括号外边，作为积的一个因式，这 种将多项式因式分解的方法，叫作提公因式法.
三、公式法 —— 平方差公式
1. 因式分解中的平方差公式 a2 - b2 ＝( a + b )( a - b )；
2. 多项式的特征：
3. 注意事项：(1)有公因式时，先提出公因式；
可化为两个整式；
两项符号相反；
每一项都是整式的平方.
(2)分解到每一个多项式都不能再分解为止.
四、公式法 —— 完全平方公式
1.完全平方公式：a2 + 2ab + b2 = (a + b )2，
a2 - 2ab + b2 = (a - b )2.
2.多项式的特征：(1)三项式；
(2)有两项符号相同，能写成两个
整式的平方和的形式；
(3)另一项是这两整式乘积的2倍.
3.注意事项：有公因式时，应先提出公因式.
知识模块一　因式分解的概念
例1：下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是 ( )
A．a(x－y)＝ax－ay
B．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
C．(x＋1)2＝x2＋2x＋1
D．x2－x＝x(x－1)
D
知识模块二　用提公因式法因式分解
例2：(1)75x3y5－5x2y4；
解：原式＝5x2y4(15xy－1)；
(2)2x(x＋y)－4(x＋y)2.
解：原式＝－2(x＋y)(x＋2y).
知识模块三　用公式法因式分解
例3：(1)9(m＋n)2－(m－n)2；
解：原式＝[3(m＋n)＋(m－n)][3(m＋n)－(m－n)]
＝(4m＋2n)(2m＋4n)
＝4(2m＋n)(m＋2n)；
(2)16x4－8x2y2＋y4.
解：原式＝(4x2－y2)2
＝(2x＋y)2(2x－y)2.
知识模块四　综合运用提公因式法和公式法因式分解
例4：(1)2a2(n－m)＋8(m－n)；
解：原式＝2(n－m)(a2－4)
＝2(n－m)(a＋2)(a－2)；
(2)x2(y2－1)＋2x(y2－1)＋(y2－1).
解：原式＝(y2－1)(x2＋2x＋1)
＝(y＋1)(y－1)(x＋1)2.
因式分解
定义
提公因式法
公式法
平方差公式
完全平方公式
课堂小结
1. 把下列多项式因式分解：
（1）（-）+（x-1）
=（x-1）+ （x-1）
=（ x-1 ）+（1）
（2） ax-bx-ay+by
=（ax-bx）-（ay-by）
=x（a-b）-y（a-b）
=（a-b）（x-y）
随堂检测
2. 已知 a = 9 - b，ab = 4，求 a2b ＋ ab2 的值．
解：因为 a = 9 - b，ab = 4，
所以原式 = ab( a＋b )
= 4×9 = 36.
所以 a＋b=9 ，
3.把下列多项式因式分解：
（1）x2－9；
（2）49x2－81y2；
解：原式=(x+3)(x－3)
原式=(7x+9y)(7x－9y)
（3）x4－49；
（4）9x4－16；
原式=(x2+7)(x2－7)
原式=(3x2+4)(3x2－4)
=(3x2+4)(x+2)(x－2)
=(x2+7)(x+)(x－)
5. 已知x2 －y2 ＝－1，x ＋y ＝，求x －y 的值．
解：因为 x2 － y2 ＝ ( x ＋ y )( x － y ) ＝ －1，
x ＋y ＝ ，
所以 x － y ＝ －2.
作业布置
完成对应课时练习

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