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第一章 因式分解
课题1 多项式的因式分解
情景导入
1．(1)由21＝3×7，可知3和7是21的什
么？21是3和7的什么？
(2)由(x＋1)(x－1)＝x2－1得x2－1可以写成因式(x＋1)和另一个什么因式的积？
2．因为(x＋1)2＝__________，
所以x2＋2x＋1＝(x＋1)(_______)；因为x(x－)＝x2－x，
所以x2－x＝x(________).
x2＋2x＋1
x＋1
x－
自学互研
知识模块一　因式分解的概念
探 究
(1) 因为(x + 1) =，
所以x + 2x + 1 = (x + 1)( )；
(2) 因为x(x－) =，
所以x －x = x( ).
x + 2x + 1
x + 1
x－
x －x
整式的乘法
观察“所以”后面的式子，有什么共同点？
都是一个多项式化为几个多项式的积的形式
抽 象
一般地，对于多项式 f 与 g，如果有多项式 h 使得 f = gh，那么把 g 叫作 f 的一个因式，此时，h 也是 f 的一个因式.
x2＋2x＋1＝(x＋1)2
x＋1是多项式x2＋2x＋1的因式；
x2－x＝x(x－)
x和x－
都是x2－x的因式．
归 纳
一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式，称为把这个多项式因式分解，也称为分解因式．
x + 2x + 1 = (x + 1)
x －x = x(x－)
例题与练习
例1 填空：
解：(x－2)(x－3) = x －3x－2x＋(－2)×(－3)
x －5x＋6
x －5x＋6
x －5x＋6
因为(x－2)(x－3) = ，
所以 = (x－2)(x－3)
是多项式 的因式分解.
= x －5x＋6，
因此三个空格都填写 x －5x＋6.
1．下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是 ( )
A．a(m＋n)＝am＋an
B．a2－b2－c2＝(a＋b)(a－b)－c2
C．10x2－5x＝5x(2x－1)
D．x2－16＋6x＝(x＋4)(x－4)＋6x
练 习
C
2．下列因式分解正确的是( )
A．x2－y2＝(x－y)2
B．a2＋a＋1＝(a＋1)2
C．xy＋x＝x(y＋1)
D．2x＋y＝2(x＋y)
C
知识模块二　因式分解与多项式乘法的关系
探 究
x2 － y2 ( x + y )( x － y )
因式分解
多项式的乘法
多项式的乘法运算与因式分解有什么关系？
是互逆的变形过程
x2 － y2 = ( x + y )( x － y )
因式分解等式的特征：
左边是多项式，
右边是几个多项式的乘积.
例2 下列各式从左边到右边的变形是因式分解吗？若是，说明理由并指出它的因式；若不是，说明理由即可.
解：(1) 不是因式分解.
(1) x(x－2y) = x2－2xy；
例题与练习
理由：它是整式的乘法.
(2) x2－2x + 1 = x(x－2) + 1；
(2) 不是因式分解.
理由：等式右边不是几个多项式的乘积形式.
(3) 是因式分解.
(3) 3x2－x = x(3x－)；
理由：等式右边是两个多项式的乘积形式，且x(3x－) = 3x2－x，因而符合因式分解的定义. 3x2－x 的因式为 x 和3x－.
(4) xy－x－y + 1 = (x－1)(y－1).
(4) 是因式分解.
理由：等式右边是两个多项式的乘积形式，且 (x－1)(y－1) = xy－x－y + 1，因而符合因式分解的定义. xy－x－y + 1 的因式为 x－1 和 y－1.
归 纳
方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个整式的积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式．
把多项式因式分解的重要用处之一是：
可以较简便地求出关于 x 的多项式中，x用哪些数代入能够使得这个多项式的值为 0.
1．下列从左到右的变形中是因式分解的是 ( )
A．x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1
B．x3＋x＝x(x2＋1)
C．(x－y)2＝x2－2xy＋y2
D．x2＋9y2＝(x＋3y)(x－3y)
练 习
B
2．已知多项式x2＋3x＋2因式分解的结果是(x＋a)(x＋b)，请你确定a＋b与ab的值．
解：由题意，得x2＋3x＋2＝(x＋a)(x＋b)，
所以x2＋3x＋2＝x2＋(a＋b)x＋ab.
因此a＋b＝3，ab＝2.
因式分解与多项式乘法是互逆的变形过程.
x2 － y2 ( x + y )( x － y )
因式分解
多项式的乘法
课堂小结
因式分解要注意以下几点：
3. 要分解到不能分解为止.
2. 分解的结果一定是几个多项式的乘积的形式；
1. 分解的对象必须是多项式；
1.下列多项式中，分解因式的结果为﹣(x + y)
(x﹣y) 的是（　　）
A．x2﹣y2 B．﹣x2 + y2
C．x2 + y2 D．﹣x2﹣y2
B
随堂检测
因为：(x－4)(x＋5) =_____________.
所以_____________= (x－4)(x＋5)
是多项式_____________的因式分解.
2.填空：
x ＋x－20
x ＋x－20
x ＋x－20
(1) (x +1) (x+2)=x2+3x+2;
解：(1) 不是因式分解.
3.下列各式由左边到右边的变形是因式分解吗？若是，说明理由并指出它的因式；若不是，说明理由即可.
理由：它是整式的乘法.
(2) 是因式分解.
(2) 2x2y+4xy2=2xy (x +2y) ;
理由：等式右边是几个多项式的乘积形式，且等式成立，因而符合因式分解的定义.
2x2y+4xy2 的因式为 2xy 和 x+2y.
作业布置
完成对应课时练习

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