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第五章 直角三角形
课题2 含30°角的直角三角形的性质和判定
情景导入
直角三角形有哪些性质？
直角三角形的两个锐角互余．
有两个角互余的三角形是直角三角形．
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
(1)画∠MON，使∠MON＝30°；
按要求画图：
(2)在OM上任意取一点P，过点P作ON的垂线
PK，垂足为点K，量一量PO，PK的长度，PO，PK有什么关系？
N
O
M
D
E
K
Q
P
R
由此你发现了什么规律？为什么会有这个规律？
(3)在OM上再取点Q，R，分别过点Q，R作ON的垂线QD，RE，垂足分别为D，E，量一量QD，OQ，它们有什么关系？量一量RE，OR，它们有什么关系？
N
O
M
D
E
K
Q
P
R
自学互研
知识模块一　含30°角的直角三角形的性质
在一个锐角为30°的直角三角板中，这个锐角所对直角边的长度与斜边的长度存在怎样的数量关系？
解：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
A
30°
B
C
D
取斜边AB的中点D，连接CD.
根据直角三角形的性质定理得，CD＝AB＝BD，
于是△DBC是等腰三角形．
由于∠ACB＝90°，∠A＝30°，
因此∠B＝60°.
于是△DBC是等边三角形，因此BC＝BD＝AB.
A
30°
B
C
D
归 纳
含30°角的直角三角形的性质
所以BC = AB．　　
A
B
C
)
30°
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
因为在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，　　
应用格式：
例1 在 A 岛周围 20 海里水域内有暗礁，一轮船由西向东航行到 O 处时，测得 A 岛在北偏东 60°的方向，且与轮船相距 30 海里，如图所示. 若该轮船继续保持由西向东的航向，会有触礁的危险吗？(已知≈1.732)
例题与练习
分析：如图，取轮船航向所在的直线为 OB .过点 A 作 AD⊥OB ，垂足为D. AD 的长为 A 岛到轮船航道的最短距离，若 AD 大于 20 海里，则轮船由西向东航行不会有触礁的危险.
解：如图，取轮船航向所在的直线为OB.
过点 A 作AD⊥OB，垂足为 D，连接 AO.
在 Rt△AOD中，AO = 30海里，∠AOD =3 0°，
于是 AD = AO = ×30=15 ≈25.98 (海里).
因为 AD ≈25.98 > 20，
所以轮船由西向东航行不会有触礁的危险.
1．如图，一艘轮船以15 n mile/h的速度由南向北航行，在A处测得小岛P在北偏西15°的方向上，2 h后，轮船在B处测得小岛P在北偏西30°的方向上，在小岛P周围18 n mile内有暗礁．若轮船仍按原方向继续向北航行，则有无触礁的危险？
练 习
A
B
P
北
解：有．如图，过点P作PC⊥AB，垂足为点C.
由题意，得∠PAB＝15°，∠PBC＝30°，
∴∠APB＝∠PBC－∠PAB＝30°－15°＝15°.
∴∠APB＝∠PAB.
∴PB＝AB.
A
B
P
北
C
由题意，得AB＝15×2＝30(n mile)，
在Rt△PBC中，∵∠PBC＝30°，
∴PC＝PB＝15(n mile).
∵15 n mile<18 n mile，
∴若轮船仍按原方向继续向北航行，有触礁的危险．
∴PB＝30 n mile.
A
B
C
P
北
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为BC的中点，DE⊥AB于点E，求EB∶EA的值．
B
D
C
E
A
解：连接AD.
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为BC的中点，
∴∠BAD＝∠BAC＝60°，AD⊥BC.
∴∠B＝90°－60°＝30°.
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE＝90°－60°＝30°.
设EA＝x，在Rt△ADE中，AD＝2EA＝2x.
在Rt△ABD中，AB＝2AD＝4x，
∴EB＝AB－EA＝4x－x＝3x，
∴EB∶EA＝3x∶x＝3∶1.
B
D
C
E
A
知识模块二　含30°角的直角三角形的判定
(方法一) 解：如图，取线段 AB 的中点 D，连接 CD.
例2 如图，在 Rt△ABC 中，如果 BC = AB，求证∠A = 30° .
∵CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的中线，
D
∴CD = AB = BD = BC，
即△BDC 为等边三角形．
∴∠B = 60°.
∵∠B +∠A = 90°，
∴∠A = 30°.
D
(方法二)如图，延长 BC 到 F，使 CF = BC，连接 AF
所以 BF = AB，
因为 ∠BCA = 90°，BC = CF，
(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等).
又 BC = AB，BC = CF = BF，
所以 AC 垂直平分 BF，于是 AB = AF
因此 BF = AB =AF，即△ABF 是等边三角形.
所以∠B = 60°，
因此∠CAB=90° -∠B = 30°.
F
应用格式：　
BC = AB．　　
A
B
C
)
30°
∴∠A = 30°
归 纳
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 30° ．
∵ 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，　
例题与练习
如图，△ABC的边AB的垂直平分线DE分别交AB，BC于点D，E，AE平分∠BAC.若BE＝2DE，求证：BE＝2EC.
证明：∵DE垂直平分AB，
B
E
C
A
D
∴∠BDE＝90°，BE＝AE.
∴∠B＝∠BAE.
在Rt△BDE中，∵BE＝2DE，
∴∠B＝∠BAE＝30°.
又∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE＝30°.
∴∠C＝90°.
∴BE＝AE＝2EC.
B
E
C
A
D
课堂小结
内容
在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半（反之亦成立）
使用要点
含 30°角的直角三角形的性质
找准 30° 的角所对的直角边，点明斜边
注意
前提条件：含30° 角的直角三角形中
1. 如图，一棵树在一次强台风中，于离地面 3 米处折断倒下，倒下部分与地面成 30° 角，这棵树在折断前的高度为( )
A．6 米
B．9 米
C．12 米
D．15 米
B
随堂检测
2. 如图，在 △ABC 中，∠ACB = 90°，CD 是高,∠A = 30°，AB = 4．则 BD 的长为_____.
A
B
C
D
1
3. 在 △ABC 中，∠A∶∠B∶∠C = 1∶2∶3，若
AB = 10，则 BC 的长为______ .
5
4. 如图，Rt△ABC 中，∠A = 30°，AB + BC = 12 cm，则 AB =______cm.
A
C
B
8
第4题图
证明：∵AB = AC，∠BAC = 120°，
5. 在 △ABC 中， AB = AC，∠BAC = 120°，D 是 BC 的中点，DE⊥AB于 E 点，求证：BE = 3AE.
A
B
C
D
E
∴∠B = ∠C = 30°.
∵ D 是 BC 的中点，
∴AD⊥BC.
∴∠ADC = 90°，∠BAD = ∠DAC = 60°.
∴ AB = 2AD.
A
B
C
D
E
∵DE⊥AB，
∴∠AED = 90°.
∴∠ADE = 30°，
∴AD = 2AE.
∴ AB = 4AE.
∴BE = 3AE.
完成对应课时练习
作业布置

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