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第五章 直角三角形
课题5 勾股定理的逆定理
情景导入
1．在直角三角形中，三边的长度之间有什么关系？
2．如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是不是直角三角形呢？
已经知道勾股定理：“如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么 a2 + b2 = c2. ”它的逆命题是怎样的？
条件：
结论：
一个三角形是直角三角形
两直角边的平方和，等于斜边的平方
说一说
逆命题：
如果三角形的三条边a，b，c满足a2 + b2 = c2 ，那么这个三角形是直角三角形.
这个命题是否为真命题，应该如何证明呢？
自学互研
知识模块一　勾股定理的逆定理
如图，在△ABC中，AB = c，BC = a，AC = b，且 a2 + b2 = c2，那么△ABC 是直角三角形吗？
A
C
B
a
b
c
如图，作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=a，A′C′=b.
A
B
C
b
a
在Rt△A′B′C′中，根据勾股定理得，
A′B′ = a2 + b2，
因为 a2 + b2 = c2,
所以 A′B′ = c2，即 A′B′= c.
在△ABC 和△ A′B′C′ 中,
A
C
B
a
b
c
A
B
C
b
a
BC = AB′C′ = a，
AC = A′C′ = b，
AB = A′B′ = c，
所以△ABC ≌△ A′B′C′ （边边边）
因此∠C =∠ C′ = 90°.
所以△ABC 是直角三角形.
A
C
B
a
b
c
A
B
C
b
a
勾股定理的逆定理:
如果三角形的三边长 a ，b ，c 满足a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
归 纳
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角.
特别说明
例题与练习
例1 判断由线段a， b， c组成的三角形是不是直角三角形.
（1）a = 6，b = 8，c = 10；
（2）a = 12，b = 15，c = 20.
△ABC 是直角三角形
a2 + b2 = c2
分析 根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方.
A
C
B
a
b
c
解：（1）∵62 + 82 = 100，102 = 100，
（2）∵122 + 152 = 369，202 = 400，
∴62 + 82 = 102.
∴这个三角形是直角三角形.
∴122 + 152 ≠ 202.
∴这个三角形不是直角三角形.
若a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断这个三角形的形状．
练 习
解：∵a2c2－b2c2＝a4－b4，
∴c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)，
当a2－b2＝0时，即(a＋b)(a－b)＝0.
∵a>0，b>0，
∴a＋b≠0，a－b＝0，即a＝b，此时为等腰三角形．
当a2－b2≠0时，则有c2＝a2＋b2，根据勾股定理的逆定理，此时为直角三角形．
综上可得这个三角形的形状为等腰三角形或直角三角形．
知识模块二　勾股定理的逆定理的简单应用
例2 如图，在 △ABC 中，已知 AB = 10，BD = 6，AD = 8，AC = 17，求 DC 的长.
解：在 △ABD 中，AB =10，BD = 6，AD = 8，
因为 6 + 8 = 10 ，即 BD + AD = AB ，
所以△ADB 为直角三角形，且∠ADB = 90°.
所以∠ADC =180° -∠ADB = 90°.
在Rt△ADC中，DC = AC -AD ，
所以 DC = = 15.
1．如图，在四边形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，CD＝12，DA＝13，且∠ABC＝90°.求这个四边形的面积．
解：连接AC.
练 习
B
A
C
D
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC2＝AB2＋BC2，
在△ACD中，∵AC2＋CD2＝52＋122＝169，AD2＝132＝169，
即AC2＝32＋42＝25，AC＝5.
∴AC2＋CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴这个四边形的面积为S△ABC＋S△ACD＝×3×4＋×5×12＝36.
B
A
C
D
2．如图，在正方形ABCD中，AE＝EB，AF＝AD，求证：CE⊥EF.
证明：连接FC，设AF＝x，则DF＝3x，
B
C
A
D
F
E
∴AD＝BC＝AB＝CD＝4x.
∴AE＝BE＝2x.
在Rt△AEF中，EF2＝AF2＋AE2＝x2＋4x2＝5x2.
同理得EC2＝20x2，CF2＝25x2，
∴EF2＋EC2＝CF2.
由勾股定理的逆定理得，∠CEF＝90°，
∴CE⊥EF.
B
C
A
D
F
E
课堂小结
勾股定理
的逆定理
内容
如果三角形的三边长 a ，b ，c 满足 a2+b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
注意
最长边不一定是 c， ∠C 也不一定是直角.
勾股数一定是正整数
应用
航海问题
与勾股定理结合解决不规则图形等问题
随堂检测
1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（　）
A．2，3，4 B．3，4，6
C．5，12，13 D．4，6，7
C
2. 一个三角形的三边的长分别是 3，4，5，则这个三角形最长边上的高是 （　　）
A．4 B．3
C．2.5 D．2.4
D
3. 一个三角形的三边长分别为 15 cm，20 cm，25 cm，则这个三角形最长边上的高是____cm.
12
4. 若△ABC 的三边 a，b，c 满足 (a - b)(a2 + b2 - c2) = 0，则△ABC 是______________________.
等腰三角形或直角三角形
4. 已知 △ABC 中，AB = n －1，BC = 2n，AC = n + 1（n 为大于 1 的正整数）. 试问 △ABC 是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由.
解：∵AB + BC = (n －1) + (2n)
= n4－2n + 1 + 4n
= n4 + 2n + 1
= (n + 1)
= AC ，
∴△ABC 是直角三角形，边 AC 所对的角是直角.
完成对应课时练习
作业布置

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