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第五章 直角三角形
课题3 勾股定理
情景导入
2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，它是最高水平的全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的“奥运会”．这就是本届大会会徽的图案(教师出示图片或照片)．
(1)你见过这个图案吗？
(2)你听说过“勾股定理”吗？
自学互研
知识模块一　探究勾股定理
勾3股4弦5 ，32＋42＝ 52 ，
在方格纸上（设小方格的动长为1）画一个顶点都在格点上的Rt△ABC，使其两直角边分别为3，4，将斜边AB绕点A旋转，使其处于水平位置，你发现这条斜边的长度是多少？
勾与股的平方和等于弦的平方．
c=5
画一个边长为a + b的正方形，将其分割成4个小直角三角形和一个四边形，其中小直角三角形的两直角边都分别为a，b，斜边都为c，如图所示. 由此，你能探索出a2＋b2＝c 2 这一结论吗？
探 究
如图，将这个边长为a + b的正方形分割，得到4个小直角三角形和一个四边形，小组探究有哪些方法？
c
b
a
a2 +b2=c2
几何
代数
如何探究？
c
b
a
a2 +b2=c2
c
b
a
c
探 究
文字语言：
如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么
a2 + b2 = c2
几何语言：
在Rt△ABC中，
∠C=90°，∴a2 + b2 = c2.
直角三角形的性质定理：
变式：
a2＝
c2－ b2，
b2＝
c2－ a2
几何
代数
勾股定理
例1 在△ABC 中，已知∠C = 90°，BC = a，AC = b，AB = c.
（1） 若a = 1，b = 2，求c.
（2） 若a = 15，c = 17，求b.
解（1） 根据勾股定理得，c2 = a2 + b2 = 12 + 22 = 5.
例题与练习
因为c > 0，
所以c = .
（2） 根据勾股定理得，b2 = c2 － a2 = 172 － 152 = 64.
因为b > 0，
所以b = 8.
(1)以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和等于以斜边为边长的大正方形的面积；
归 纳
(2)对于直角三角形而言：斜边的平方等于两直角边的平方和．
如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2＋b2＝c2 ．这一结论称为勾股定理．
如图，通过两个边长为a＋b的正方形的面积表达式，验证勾股定理．
证明：由题意，得正方形(1)的面积为(a＋b)2，
做一做
正方形(2)的面积为ab×4＋c2.
∵两个正方形面积相等，
∴(a＋b)2＝ab×4＋c2.
即a2＋2ab＋b2＝2ab＋c2，
∴a2＋b2＝c2.
知识模块二　勾股定理的简单运算
例2 如图，已知在等腰三角形 ABC 中，AB = AC = 13，BC = 10，AD是底边BC上的高线，求 AD的长.
解：根据等腰三角形的性质定理得，AD 也是底边 BC 上的中线.
因为AB＝AC＝13，BC＝10，AD⊥BC，
所以BD＝ BC＝5.
在Rt△ADB中，
由勾股定理得，AD2＋BD2 ＝AB2,
故AD的长为12.
因此AD==
在直角三角形中，已知三角形的两条边，利用勾股定理可求出第三条边．
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对应边分别为a，b，c.
(1)已知a＝6，b＝2，求c；
(2)已知a∶b＝1∶2，且c＝10，求a，b.
解：(1)∵∠C＝90°，
练 习
∴c＝＝4；
(2)∵a∶b＝1∶2，
∴设a＝x，则b＝2x.
∵∠C＝90°且c＝10，
∴a2＋b2＝102，即x2＋(2x)2＝102，
∴a＝2，b＝4.
解得x＝2(负值已舍去).
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，BC＝3 cm，CD⊥AB于点D，求CD的长．
解：在△ABC中，∵∠ACB＝90°，
∴由勾股定理得，AC2＋BC2＝AB2，
∴AC＝＝＝4(cm).
又∵S△ABC＝AB·CD＝AC·BC，
∴CD＝＝(cm).
B
C
A
D
课堂小结
勾股定理
内容
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，a，b 为直角边，c 为斜边，则有a2 + b2 = c2.
注意
在直角三角形中
看清哪个角是直角
已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论
课堂检测
1.下列说法中，正确的是 （ ）
A. 已知 a，b，c 是三角形的三边，则 a2 + b2 = c2
B. 在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，所以 a2 + b2 = c2
D. 在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，所以 a2 + b2 = c2
C
2.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数，则得到的三角形 ( )
A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形
A
3. 当直角三角形的三边长都是正整数时，称这三个数为勾股数. 如：3，4，5都是正整数，且32 + 42 = 52，所以3，4，5 是勾股数. 下列各组数中，不是勾股数的是（ ）
A. 5，12，13 B.6，8，10
C. 7，24，25 D. 8，15，16
D
4. 图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 ____cm .
8 cm
10 cm
36
5. 求斜边长 17 cm、一条直角边长 15 cm 的直角三角形的面积.
解：设另一条直角边长是 x cm.
直角三角形的面积是
由勾股定理得 152 + x2 = 172，
即 x2 = 172 - 152 = 289 - 225 = 64，
所以 x = 8（负值舍去），
所以另一直角边长为 8 cm.
完成对应课时练习
作业布置

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