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第五章 直角三角形
课题7 角平分线的性质和判定
知识回顾
角的平分线的概念是什么？
几何语言：
所以 OB 平分∠AOC.
如图，因为∠1= ∠2= ∠AOC
角平分线是以一个角的顶点为端点的一条射线，它把这个角分成两个相等的角.
拿出课前准备好的折线与剪刀，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？
情景导入
自学互研
知识模块一　角平分线的性质
A
O
B
P
D
E
C
在∠AOB 的平分线 OC 上任取一点 P，作 PD ⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点 D、E. 比较线段 PD，PE 的长度，它们相等吗？由此你能得出什么结论？
探 究
猜想
PD=PE
如图，∠AOC = ∠BOC，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E.求证：PD = PE.
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ ∠PDO = ∠PEO = 90°.
在 △PDO 和 △PEO 中，
∠PDO = ∠PEO，
∠DOP = ∠EOP，
OP = OP，
∴ △PDO≌△PEO(角角边).
∴ PD = PE.
A
O
B
P
D
E
C
应用所具备的条件：
(3) 垂直距离.
定理的作用：
证明线段相等.
角平分线的性质定理：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
A
O
B
P
D
E
C
归 纳
(1) 角的平分线；
(2) 点在该平分线上；
∵ OC 是∠AOB 的平分线，
∴ PD = PE.
PD⊥OA，PE⊥OB，
(角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等).
证明距离相等时的三个理由，必须写全，不能遗漏.
A
O
B
P
D
E
C
注意事项
几何语言
1.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF，EF与AD交于点G，AD与EF垂直吗？证明你的结论．
解：AD⊥EF.
练 习
A
B
D
C
E
F
G
证明如下：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°.
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(斜边、直角边)，
∴∠ADE＝∠ADF.
又∵DE＝DF，
∴AD⊥EF.
DE＝DF，
AD＝AD，
A
B
D
C
E
F
G
2. 如图，AM 是∠BAC 的平分线，点 P 在 AM 上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是 D、E，PD = 4，则 PE = ______.
4
M
B
C
A
D
E
P
知识模块二　角平分线性质定理的逆定理
角平分线上的点到角两边的距离相等
条件：点在这个角的角平分线上
结论：这个点到角的两边的距离相等
逆命题：
如果一个点到角的两边的距离相等，那么该点位于角的平分线上。
这个命题是否为真命题，应该如何证明呢？
C
A
B
O
D
E
P
如图，点P 在∠AOB 的内部，作PD⊥OA ，PE⊥OB ，垂足分别为点D，E，且 PD = PE.
求证：点 P 在∠AOB 的平分线上.
可以通过添加辅助线，构造三角形来证明.
A
B
O
D
E
P
C
证明：如图，过点O，P 作射线 OC.
OP = OP，
PD = PE，
A
B
O
D
E
P
C
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ ∠PDO =∠PEO = 90°.
在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中，
∴ Rt△PDO ≌ Rt△PEO（HL）
因此OC是∠AOB 的平分线，即点 P 在∠AOB 的平分线OC上.
∴∠AOC =∠BOC
A
B
O
D
E
P
C
例1 如图，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2.求证：
点 B 在 ∠ADC 的平分线上;
(2) BD 平分∠ABC.
证明 (1) 在 △ABC 中，因为∠1=∠ 2，
例题与练习
所以 BA = BC.
又 BA⊥AD，BC⊥CD,
所以点 B 在∠ADC的平分线上，
所以 Rt△BAD ≌ Rt∠BCD（斜边、直角边)
BA = BC，
BD = BD.
(2)在 Rt∠BAD 和 Rt∠BCD 中，
因此∠ABD＝∠CBD,从而 BD 平分∠ABC.
文字语言：
C
A
B
O
D
E
P
角平分线性质定理的逆定理
归 纳
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
如图，∵P 为∠AOB 内部一点，
几何语言：
PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，且 PD = PE，
∴点 P 在∠AOB 的平分线上，即 OP 平分∠AOB.
C
A
B
O
D
E
P
1．如图，点P到∠AOB两边的距离相等，若∠POB＝30°，则∠AOB＝____．
练 习
60°
A
O
B
P
．
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
2．如图，BE＝CF，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC.求证：AD平分∠BAC.
∴∠E＝∠DFC＝90°.
在Rt△BED和Rt△CFD中，
BD=DC
BE=CF
A
E
C
B
D
F
∴Rt△BED≌Rt△CFD(斜边、直角边).
∴DE＝DF.
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC.
A
E
C
B
D
F
课堂小结
角平分线
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
辅助线
添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
随堂检测
1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是 E，F，DE = DF，∠EDB = 60°，则 ∠EBF = °，BE = .
60
BF
E
B
D
F
A
C
G
2. △ABC中，∠C = 90°，AD 平分∠CAB，且 BC = 8，BD = 5，则点 D 到 AB 的距离是 .
A
B
C
D
3
E
3. 如图，在线段MN 上求作一点P，使点P 到∠AOB 两边的距离相等（保留作图痕迹，不要求写出作法）.
答：点 P 在∠AOB 的角平分线与线段MN的交点处，如图所示.
P
4. 如图，BD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．若△ABC 的面积为 70，AB = 16，DE = 5，求 BC 的长．
解：如图，过点 D 作 DF⊥BC 于点 F.
C
A
B
D
E
F
∵BD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DF = DE = 5．
∵S△ABD = AB·DE = ×16×5 = 40，S△ABC = 70，
C
A
B
D
E
F
∴S△BCD = S△ABC – S△ABD = 70 – 40 = 30．
又S△BCD = BC·DF = BC×5 = 30，
∴ BC = 12．
完成对应课时练习
作业布置

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