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第五章 直角三角形
课题4 勾股定理的实际应用
情景导入
求下列图形中，各直角三角形中指定的边．
解：(1)AB＝＝17；
C
B
A
8
15

(1)
C
B
A

7
6
(2)
(2)BC＝ ＝.
自学互研
知识模块一　勾股定理的实际应用
实数与数轴上的点一一对应，如何在数轴上作出表示实数 和 的点
O
A1
A2
1
1
1
如图，由勾股定理可知，当两条直角边都为1时，该直角三角形的斜边OA1长为，以原点O为原心，OA1为半径画圆弧，与数轴的交点就是表示的点；
当两条直角边分别为，1时，该直角三角形的斜边OA2长为，以原点O为圆心，OA2为半径画圆弧，与数轴的交点就是表示的点．
O
A1
A2
1
1
1
你能在数轴上作出表示 的点吗
归 纳
在解答实际问题时，应先将实际问题转化为数学模型，再利于勾股定理建立数量关系求解．
图中是一位电工师傅准备利用梯子在墙上安装电灯的示意图. 假设梯子长4m，他将梯子靠在墙上，此时梯脚离墙脚的距离为1.5m.他爬上梯子后，发现高度不够，于是将梯脚往墙脚移近了0.5m，那么，梯子顶端是否也上移0.5m？（已知 ≈ 3. 71， ≈ 3. 87）
抽象成数学问题
解决实际问题
实际问题：梯子顶端往上移动的距离.
A'
C'
C
A
B
墙面
地面
梯子
几何问题：
利用勾股定理，
求AB，A'B的长.
解：在 Rt△ABC 中，AC = 4 m，BC = 1.5 m，
由勾股定理得，A'B =
于是，AB = = 3.71(m).
在Rt△A'BC' 中，A'C = 4 m，BC' = 1 m，
A'
C'
C
A
B
地面
梯子
墙面
因此 A'A = A'B－AB≈3.87－3.71= 0.16 (m).
即梯子顶端 A 点大约向上移动了 0.16 m，而不是向上移动 0.5 m.
A'
C'
C
A
B
地面
梯子
墙面
知识模块二　利用勾股定理列方程
例2 (古代数学问题) “今有池方一丈，葭(jia) 生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”意思是：有一个池塘，其水面是边长为 10 尺的正方形，一棵芦苇生长在池的中央，其出水部分为1尺，如果将芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面，问水深与芦苇长各为多少？
武英殿聚珍版《九章算术》
分析 根据题意，先画出水池截面示意图，如图所示. 设 AB 为芦苇，BC 为芦苇出水部分，长 1 尺，将芦苇拉向岸边，其顶部 B 点恰好碰到岸边 B'.
A
B
B'
1 尺
5尺
C
A
B
B'
1 尺
5尺
C
解：如图，设水深 x 尺，则 AC = x 尺，
因为池塘的水面是边长为10尺的正方形，
在Rt△ACB' 中，根据勾股定理得，
AB = AB' = (x + 1) 尺.
所以 B'C = 5 尺.
52 + x2 = (x+1)2，
故芦苇长为 13 尺.
解得 x = 12.
答：水池的水深 12 尺.
A
B
B'
1 尺
5尺
C
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
读懂题意，分析已知、未知间的关系；
构造直角三角形；
利用勾股定理等列方程；
解决实际问题.
归 纳
1．如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，请问水深多少？
例题与练习
解：设水深为h尺．
如答图，在Rt△ABC中，AB＝h尺，AC＝(h＋3)尺，BC＝6尺．
由勾股定理得，AC2＝AB2＋BC2，即(h＋3)2＝h2＋62，
所以h2＋6h＋9＝h2＋36，
解得h＝4.5.
答：水深4.5尺．
2．如图，受某次台风的影响，一棵高18 m的大树断裂，树的顶部落在离树根底部12 m处，这棵树断裂后有多高？
解：设这棵树断裂后高x m.
根据题意，得x2＋122＝(18－x)2，
解得x＝5.
答：这棵树断裂后高5 m．
课堂小结
勾股定理
的应用
用勾股定理解决实际问题
用勾股定理解决点的距离及路径最短问题
随堂检测
1. 从电线杆上离地面 5 m 的 C 处向地面拉一条长为 7 m的钢缆，则地面钢缆 A 到电线杆底部 B 的距离是(　　)
24 m B. 12 m
C. m D. 2 m
D
2. 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是 9 cm，内壁高 12 cm，则这只铅笔的长度可能是(　　)
A.9 cm B.12 cm
C.15 cm D.18 cm
D
3. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于 55 cm，10 cm 和 6 cm，A 和 B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物. 这只蚂蚁爬行的最短路程是多少？
B
A
A
B
C
解：台阶的展开图如图，连接 AB.
在 Rt△ABC 中，根据勾股定理得
AB2 = BC2＋AC2＝552＋482 ＝ 5329= 732.
∴AB = 73 cm.
A
B
C
4. 如图，池塘边有两点 A，B，点 C 是与 BA 方向成直角的AC 方向上一点，测得BC = 60m，AC = 20m.求A，B两点间的距离（结果取整数）.
AB=
=
=40
≈ 57m
完成对应课时练习
作业布置

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